О вопросе стандартизации математических записей
.......................................................................
1). Деление одночленов со знаком ":" (двоеточие).
Такое деление многие педагоги описывают только словами, однако, ими же выполненная практическая запись явно вступает в конфликт с их словами. Например:
14 a³ b² : 2ab = 7a² b; -?? ( Неверное решение). В таком виде, многие из них, предпочитают выполнять свою запись деления одночленов, опираясь только на заявленный вслух предполагаемый порядок действий в отношении данной мат. операции. Но этого, - совершенно недостаточно. Поскольку, с учетом требований нашего отечественного Стандарта написания, всегда следует оформлять такую запись только строго со скобками:
(14 a³ b²) : (2ab) = 14 a³ b² : (2ab) = 7a² b; -!! ( Верное решение !).
В то время, как запись без скобок, мы обязаны решать правильно совершенно иначе и оно (это решение) уже не будет выглядеть так, как полагается выполнять стандартное деление одночленов.
14 a³ b² : 2ab = (14 a³ b² : 2)·аb = (7 a³ b² ) · ab = 7a⁴ b³; *
..................................................................
2). Деление дробей со знаком ":" (двоеточие).
Подавляющее число педагогов не записывают дроби в скобках. О чем здесь идет речь?
а). ½ : ¼ = ?;
Такая "двухэтажная" запись с линейным знаком деления "двоеточие" , читается последовательно: Сверху, вниз и Слева, направо:
• "1" разделить (чертой) на "2" разделить (двоеточием) на "1" разделить (чертой) на "4"•
Теперь переведем, таким образом прочитанное выражение в Эквивалентную ему,- Дробь:
1
______ = 1/8;
2*1*4
А теперь, давайте поступим иначе: заключим исходные дроби в скобки, затем прочтем и решим новое выражение.
б). (½) : (¼) = ?;
В скобках получили два отдельных и независимых, друг от друга, выражения. А общее линейное выражение читается уже иначе:
• выражение в скобке "(½)" разделить (двоеточием) на выражение в скобке "(¼)" •
Выражения в скобках получили персональное собственное имя: "Дробь", поэтому теперь выполняют именно деление одной дроби на другую, опираясь на свойства дробей, и получают искомый правильный ответ:
(½) : (¼) = ½ : (¼) =2;
При делении одной дроби на другую, обе дроби обязательно записывают только со скобками! (А при решении, скобки первой дроби - убираются, поскольку операцию деления этой дроби уже выполнили в порядке ее чтения: "сверху, вниз"). Точно так же поступают и тогда, когда пишут любого вида дробь в составе линейного выражения со знаком деления ":", записанного непосредственно перед нею. То есть, такую дробь Обязательно заключают в Скобки ! К слову сказать: при сложении и вычитании дробей их записывать со скобками - совершенно нет никакой нужды.
.........................................................
3). Умножение дробей со знаком "·" (точка).
Пускай дано выражение:
а). ½ · ¼ =?;
Предварительно, прочтем это выражение:
• "1" разделить (чертой) на "2" умножить (точкой) на "1" разделить (чертой) на "4" •
Запишем этот порядок действий в виде эквивалентной ему дроби, получим:
1 · 1
_____ = 1/8;
2 · 4
Теперь запишем дроби в скобках, затем прочтем и решим такое выражение:
б). (½) · (¼) =?;
• выражение в скобке "(½)" умножить на выражение в скобке " (¼) " •
Коли выражения в скобках называют дробями, тогда их умножение будем выполнять в соответствии с правилами умножения дробей. Решение будет выглядеть так:
(½) · (¼) = 1/8;
Вывод: из равенства выражений "а)." и "б)," мы можем уверенно говорить о том, что при умножении дробей нет строгой необходимости обязательно записывать в их в скобках (в отличие от деления тех же дробей), но я очень советую и при умножении дробей, и при умножении дроби на буквенные или числовые сомножители, дробь все равно заключать в скобки. Потому, как при написании эквивалентных им выражений уже в форме однострочной записи со знаком деления "/", - писать скобки надо Обязательно! Например, Формула подсчета объема шара звучит, чаще всего, в таком устном виде:
• объем шара = "четыре третьих, пи, эр - в кубе"•
Теперь сравните такие эквивалентные записи, выполненные в форме "двухэтажной" стандартной дроби и в форме, эквивалентной ей, однострочных написаниях:
4
__ πr³ = (4:3)·πr³ = (4/3)·πr³ = 4·(π/3)·r³ = 4π·(r³/3) = 4 πr³ /3 ;
3
Здесь выражения: "(4:3)" ; "(4/3)"; "(π/3)"; "(r³/3)" ; ( кроме последней: "4 πr³ /3 ")- в таких эквивалентных однострочных записях, надо Обязательно Записывать в Скобках ! В печатном варианте, вертикальную дробь: "Четыре третьих" набирают так, чтобы последующие за ней сомножители ( πr³ ), располагались строго напротив "горизонтальной" черты дроби.( Возможно именно так и принято в печати подчеркивать написание дроби, которая выполняется в совместно с другими сомножителями, - я этого не знаю). Возможно это распространенный частный случай Стандарта, применяемого конкретно для печати, но при "ручном" оформлении этой же формулы желательно, и даже очень желательно, - записывать подобную вертикальную дробь, так же, со скобками. Почему это столь важно, я постараюсь показать на примере ниже.
_________________________________________
Посмотрите вот по этой ссылке на авторский обучающий ролик известного блогера и профессионального преподавателя математики и остановитесь на его конкретном фрагменте со временем "03:54".
Здесь педагог, по просьбе своих виртуальных учеников, совершенно формально заменяет знак "двоеточие" на дробную черту (т.е гориз. черту) и заявляет, что такая замена вполне правомерна. А мы разрешим себе более пристальнее рассмотреть его запись. Напомню, что он, ранее, рассматривал решение примера в другом написании, вот в таком:
36 : 3(8-6)
________ = 24/6 = 4; *
6
Мало того, что он не посчитал нужным отметить этот "правильный" ответ одной "звездочкой", которая напомнит читателю, что такой ответ не будет считаться единственным в своем роде. Оказывается, что есть и другое такое же "правильное" решение:
36 : 3(8-6)
________ = 6/6 = 1; **
6
Просто ответ "4" считается единственно "правильным" в тех странах, в которых строго предписывается решать примеры с "двоеточием" по Правилу условного приоритета Деления над умножением (Или пример может решаться сразу последовательно: слева, направо,- в порядке написания чисел в примере). Так предписывается решать такие примеры ученикам в большинстве стран мира (В том числе и в Р.Ф.). А ответ "1" считается правильным лишь в отдельных странах, где ученикам предписывается решать такие примеры строго по Правилу условного приоритета Умножения над делением. Но об этом факте педагог явно не догадывается.(Впрочем, не он один такой). Но сейчас речь пойдет не об этом. Нам важно будет выяснить другой не менее важный вопрос. А будет ли ответ измененного, по написанию, примера такой же, или он будет другой?! То есть:
36
__
3 · (8-6)
_________ = 4; -?
6
..................................................
Не знаю как Вы, но я читать такое выражение затрудняюсь! Автор записал свою дробь: "тридцать шесть третьих" через короткую гор. черту, полагая, что этого вполне достаточно. Он даже не попытался несколько "приподнять" скобку "(8-6)" немного вверх, до уровня "торца" короткой черты, стараясь придать своему написанию намек на возможный "печатный стандарт". Математика никогда не учитывала величину гор. черты. Математика "видит" вместо "двухэтажной дроби уже полноценную "трехэтажную" дробь, в которой числа: "36"; "3" и "6" - записаны на своих "законных" местах, а скобка: "(8-6)" - "подвешена" в каком -то неопределенном месте записи. Поэтому следует рассмотреть два возможных варианта ее "законного" размещения.
Вариант №1.
36 · (8-6)
________
3
________ = (36 · 2) : 3 : 6 = 4;
6
Вариант №2.
36
_______
3 · (8-6)
_______ = 36 : (3 · 2) : 6 = 36 : 6 : 6 = 1;
6
.........................................
Вывод: Только вариант: "№1." - дает ожидаемый ответ: "4". Тогда следует другой вопрос: обязательно ли писать, вместо ранее рассматриваемого выражения со знаком "двоеточие" , другое, эквивалентное ему выражение, но уже со знаком: "гор. черта" - в виде такой очень громоздкой "трехэтажной" дроби?
Конечно, Не обязательно! Упомянутому педагогу следовало бы свою дробь: "тридцать шесть третьих" сразу заключить в общие вертикальные скобки. Тогда "трехэтажная" дробь, по своему значению, автоматически обратилась бы в штатную "двухэтажную" дробь. Потому, как любое выражение в скобках считается уже Отдельным и Независимым Самостоятельным Выражением, а форма его написания для всего примера уже не будет иметь никакого значения.
Вертикальную дробь, записанную со скобками, нет нужды приводить к более "причесанной" однострочной записи, но поскольку вопрос задавался школьником, то не помешало бы педагогу выполнить и такое Эквивалентное преобразование. (Я не умею, в этом редакторе, писать скобки для верт. дроби, поэтому запишу дробь словами словно я написал ее нужными числами, а поясняющие дробь слова, - возьму в обязательные скобки). Числитель финальной дроби можно записать в таких возможных вариантах:
( Дробь: "тридцать шесть третьих" ) · (8-6) = (36 : 3) · (8-6) = (36/3) · (8-6) = 36 · (8-6) /3;
• Если Вы пожелаете написать в числителе выражение: "(36 : 3)", то это не будет считаться ошибкой, но вам ненавязчиво так подскажут, что писать такой знак " : ", во "взрослой" математике, уже категорически Не принято. Таким знаком еще "разрешается" пользоваться только школьникам до 4-го класса начальной школы, и только !
• Если Вы намереваетесь записать в числителе выражение: " 36 · (8-6) /3", то и это не будет считаться ошибкой, на вас мягко пожурят и напомнят, что в математике считается "дурным тоном" записывать в числитель дроби выражение с "открытым" знаком деления "/". "Открытый" дополнительный знак деления нарушает общую концепцию написания дроби, которая предусматривает ее построение по классическим канонам , то есть такой дроби в которой и в числителе, и в знаменателе присутствуют выражения исключительно только в качестве сомножителей.
• Если Вы решитесь записать в числитель выражение: "(36/3) · (8-6)" , то это и будет считаться совершенно корректным выбором. Поскольку в: "(36 /3)" , - знак деления "спрятан" в скобках, тогда и все выражение в скобках считается Единым Выражением ( Или отдельным сомножителем). Поэтому такой сомножитель, при желании, вполне можно записать эквивалентным отдельным числом.То есть, в таком виде: "(36/3)=12".
ИТОГ. Преподавателю полезнее было бы, во всех отношениях, свою вертикальную дробь: "тридцать шесть третьих" сразу записать в скобках и оставить ее в таком виде, или наглядно продемонстрировать школьникам возможное ( Кстати сказать: совершенно не обязательное ! ) дальнейшее ее преобразование в иную еще более наглядную строчную форму написания. То есть:
36:3(8-6)
________ = (смотри на продолжение этой записи, ниже) !
6
.........................................
(Дробь:тридцать шесть третьих) · (8-6)
________________________________________ = ( смотри на продолжение этой записи, ниже) !
6
............................................
(36/3) · (8-6)
____________ = 12 · 2/6 = 24/6 =4; * (конец записи ).
6
__________________________________________________________________
Так о чем моя статья?! Я попытался обратить внимание моего читателя на важнейший вопрос, который касается СТАНДАРТИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАПИСЕЙ !!
Не должен школьник искать "на стороне" какие - то справочники или безоговорочно опираться на мнение только своего школьного учителя в те критические моменты, когда у него возникает сомнение в правильном понимании какого -либо примера или мат. выражения. Да и где прикажете ему искать эти самые справочники. Всегда найдется глубокий "знаток" со стороны, который заявит, что ваш справочник уже якобы устарел и он стал не так актуален, как прежде.
ШКОЛЬНЫЙ УЧЕБНИК - Вот тот необходимый первичный Справочник по математике! Материал Учебника ежегодно должен проходить критическую экспертизу и всестороннюю оценку своего содержания с учетом современных требований. Привлекаться к этому делу должны, несомненно, самые крутые "Ученые Шишки" нашей страны. После этого, такой учебник уже может быть рекомендован к применению в качестве обязательного основного учебника на текущий учебный год. В таком Учебнике должно быть отведено необходимое количество печатных страниц посвященных коренной тематике на предмет стандартизации написания мат. выражений. Все здесь должно быть по -взрослому. И даже даваться ссылки на "полезные" академические справочники тех авторов, которых вполне допустимо и полезно цитировать: год издания таких справочников и прочие сопутствующие прибамбасы. Весь первичный материал по действующим, на данный момент времени, стандартам написания мат. выражений должен скрупулезно собран воедино и кратко описан на последних страницах такого школьного учебника. Тогда какие, вообще, могут возникать спекулятивные разногласия вокруг решения какого -либо примера. Открывай этот полезный справочник в конце учебника и опирайся на его содержание, как на безальтернативную базу данных. Да вот беда. Похоже на то, что в нашей стране уже почти не осталось светлых мозгов для реализации такого грандиозного проекта. Слишком сильны сейчас позиции разного рода "Троечников". Им стало чертовски удобно недогружать свои ленивые мозги, и они насобачились цитировать свою маньячную мантру, приспособленную на все случаи жизни: "Сначала, - скобки, потом: слева, направо". Так они научились думать сами, так теперь они обучают думать других. И мы не заметили такую мелочь, как уверенно откатились на 51 -52 место в мире по уровню образования. А еще каких -то 40 - 50 лет назад, наше отечественное образование признавалось одним из лучших в мире. Похоже на то, что из той глубокой ямы, в какой мы все оказались по милости вот таких всезнающих "Педагогов - троечников", выхода похоже, - уже не прощупывается никаким боком!
______________________________________________________________________________