На ноль делить нельзя. Но нельзя не в том смысле, будто кто-то запретил, типа "на красный свет дорогу переходить нельзя", а в том смысле, что это невозможно. Для того, чтобы разобраться, почему это невозможно, нужно обратиться к определению деления.
Делением чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию:
а : b = с тогда и только тогда, когда b ⋅ c = а.
Проще говоря, 12 : 4 = 3, потому что 4 ⋅ 3 = 12. И наоборот. Напомню, что результат деления называется частным, и перейду к очевидной вещи, о которой вы, скорее всего, не задумывались.
Если частное существует, то оно единственно.
Например, если мы снова разделим 12 на 4, то получим 3. И только 3. Другого результата нет и быть не может. Вроде пока всё ясно.
Так что же не так с делением на ноль?
Предположим, я вдруг захочу выполнить деление: 12 : 0
Согласно определению, ответом является число, которое при умножении на 0 даст 12.
Очевидно, что абсолютно любое число при умножении на 0 даст в ответе 0, а не 12. Получить 12 при умножении на 0 невозможно, а значит и ответа нет. Разделить 12 на 0 невозможно (как и любое другое число).
А что если я попытаюсь ещё раз? Например, 0:0?
Давайте снова смотреть в определение. Ответ — число, которое при умножении на 0 даст 0.
А вот здесь раздолье! Ведь абсолютно любое число при умножении на 0 даёт 0. Ответом является и 1, и 2, и 3, и 4, и 5, да хоть сто тыщ мильёнов! Так ведь, так?
Пришла пора вспомнить о второй цитате. О той самой очевидной, что если частное существует, то оно единственно. Получается, что ни одно из чисел не может называться частным просто потому, что их много. А точнее больше одного.
Вот и всё. Получается, что деление на ноль действительно невозможно. Никогда. Если мы делим на ноль любое число, отличное от нуля, то ответа не существует. А если мы делим ноль на ноль, то ответов бесконечно много, поэтому они тоже не могут считаться частными.
Но почему же тогда все вокруг орут "Делить на ноль можно! Вот же, есть пределы!"? А всё потому, что эти люди не очень-то внимательно слушали лекции по математическому анализу. Действительно, существуют пределы. Не углубляясь в теорию, грубо скажу, что эти самые пределы позволяют выполнять действие на практике очень напоминающее деление на ноль. Но даже здесь математики выполняют деление на бесконечно малые, стремящиеся к нулю числа. Ключевое слово здесь "стремящиеся", а не сам чистый ноль. Таким же образом, пределы позволяют оперировать бесконечно большими числами, стремящимися к бесконечности. Но никто ведь не орёт, что делить на бесконечность можно? :)
Так что выпустите из плена своего учителя младших классов, на ноль делить он вас не научит, потому что это невозможно.
