9 занимательных логических парадоксов⁠⁠

Тут могло быть вступление, но я просто не знаю, что тут можно написать.

1. Парадокс неожиданной казни

"Однажды в воскресенье начальник тюрьмы вызвал преступника, приговорённого к казни, и сообщил ему:

- Вас казнят на следующей неделе в полдень.

День казни станет для вас сюрпризом, вы узнаете о нём, только когда палач в полдень войдёт к вам в камеру.

Начальник тюрьмы был честнейшим человеком и никогда не врал.

Заключённый подумал над его словами и улыбнулся: «В воскресенье меня казнить не могут! Ведь тогда уже в субботу вечером я буду знать об этом. А, по словам начальника, я не буду знать день своей казни. Следовательно, последний возможный день моей казни — суббота. Но если меня не казнят в пятницу, то я буду заранее знать, что меня казнят в субботу, значит, и её можно исключить». Последовательно исключив пятницу, четверг, среду, вторник и понедельник, преступник пришёл к выводу, что начальник не сможет его казнить, выполнив все свои слова.

На следующей неделе палач постучал в его дверь в полдень в среду — это было для него полной неожиданностью. Всё, что начальник тюрьмы сказал, осуществилось. Где недостаток в рассуждении заключённого?"

Решение

Парадокс заключается в том, что путем непротиворечивых логических измышлений заключенный пришел к выводу, что казнить его на следующей неделе не могут, и в результате стал уверен, что его не могут казнить в любом случае. Но в результате этого он уверился в мысли, что его не могут казнить вообще, и поэтому любое объявление о казни становится для него неожиданностью.

2. Парадокс Монти Холла

"Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?"

Решение

Как это ни удивительно, при смене двери вероятность выиграть составляет 2/3, а не 1/2, как кажется на первый взгляд. Люди думают, что возможность нахождения автомобиля за обоими закрытыми дверями остается равновероятной, то есть 50%. Это совершенно не так.

Предположим, что сначала игрок называет правильную дверь, за которой находится автомобиль. Вероятность этого, конечно же, равняется 1/3. Вероятность же нахождения автомобиля за двумя другими дверями в сумме равна 2/3. Затем ведущий открывает одну из двух оставшихся дверей, и вероятность нахождения автомобиля за одной из них падает до нуля, за другой же возрастает до 2/3. В сумме она остается равной 2/3. После этого игрок либо остается с той дверью, которую выбрал изначально (вероятность 1/3), либо переходит к другой (вероятность 2/3). С точки зрения математики выбор очевиден, с точки зрения тлешоу - не очень.

Решение становится гораздо более очевидным в том варианте задачи, при котором изначально количество дверей равно 1000. Игрок выбирает одну дверь из тысячи, вероятность изначально попасть на автомобиль - 1/1000. Ведущий открывает еще 998 дверей, за которыми прячутся козы, и игрок выбирает, поменять дверь или же нет. Вероятность изначально попасть на ту самую дверь с автомобилем крайне мала (всего-то одна тысячная), а вот у другой двери вероятность уже 999/1000. И для гарантированной победы игроку совершенно точно необходимо сменить дверь.

Изначально эта задача появилась в американском телешоу 1963 года. В ней также игроку предстояло выбрать между тремя дверьми, и была возможность сменить дверь после открытия. А ведущим этой программы был... Монти Холл, все правильно.

3. Парадокс дней рождения

"В группе, состоящей из 23 или более человек, вероятность совпадения дней рождения (число и месяц) хотя бы у двух людей превышает 50 %."

Решение

В данном случае это вовсе не неразрешимый парадокс, над которым бьются величайшие умы столетия, а всего лишь легкая математическая задачка.

На первый взгляд число человек, необходимых для достижения желаемых 50% поражает, ну не соответствуют ведь 23 дня из 365 в году и 50%. Но давайте рассмотрим задачу внимательнее.

Возьмем одного человека в классе. Для него вероятность совпадения дней рождения, конечно же, равна нулю. Для двух человек искомая вероятность уже будет равна 1/365 (у второго человека день рождения совпадает с первым), вероятность же того, что дни рождения не совпадут, будет равна (1 - 1/365) = 364/365. С прибытием третьего человека же все еще сильнее усложняется, ведь ему надо свериться с уже двумя находящимися в классе. При этом уже существующая вероятность несовпадения дней рождения умножается на 363/365 (ведь в календаре осталось 363 никем не занятых дня, и 2 занятых). Вероятность же совпадения для трех человек составит 3/365 (примерно).

И так далее. С каждым новым человеком вероятность того, что др совпадут, увеличивается со все более нарастающей скоростью. Для четырех человек искомая вероятность составит почти 6/365, для пятерых - почти 10/365. В итоге с прибытием 23-го человека эта вероятность перевалит за 50%, так как для него останется 343 свободных дня из 365, что уменьшит вероятность несовпадения на 22/365 ~ 9%.

Дальше все пойдет только хуже. Для 60 человек вероятность совпадения дней рождения превысит 99%, а для двухсот - 99.9999999999999999999999999998%. Вероятность же для трехсот людей тут и в две строки не уместится.

4. Парадокс мальчика и девочки

Вопрос 1.

"У мистера Джонса двое детей. Старший ребёнок — девочка. Какова вероятность того, что оба ребёнка — девочки?"

Вопрос 2.

"У мистера Смита двое детей. Хотя бы один ребёнок — мальчик. Какова вероятность того, что оба ребёнка — мальчики?"

Дайте ответ на оба вопроса. Особенно на второй =)

5. Парадокс Ньюкома

"Предсказатель ставит перед игроком две коробки — открытую и закрытую. В открытой коробке находится тысяча долларов, в закрытой — либо миллион долларов, либо ничего. Игрок может взять себе или только закрытую коробку, или обе коробки вместе. Содержимое коробки зависит от предсказателя.

Если он предскажет, что игрок выберет обе коробки, то закрытая коробка будет пустой.

Если предсказывается, что игрок выберет закрытую коробку, то коробка будет содержать миллион долларов.

Какую коробку следует выбрать игроку, чтобы получить наибольшую сумму? Ему известны все условия игры, известно, что содержимое коробки зависит от предсказаний; единственное, что ему неизвестно, — это какое именно из двух предсказаний сделано."

Решение

С одной стороны, да, разумно выбрать только закрытую коробку, так как игрок получит целый миллион долларов вместо тысячи. С другой стороны, на момент выбора коробки результат уже не изменится (коробка то давным-давно запечатана), и в закрытой коробке уже лежит либо миллион долларов, либо ничего.

Поэтому (согласно второму варианту событий), даже если в закрытой коробке на данный момент лежит МИЛЛИОН долларов, то можно взять обе, и получить в придачу к миллиону дополнительную тысячу. Но если выбрать обе коробки, то закрытая гарантированно окажется пустой (только если предсказатель действительно всегда верно предсказывает будущее).

6. Ахиллес и черепаха

"Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху."

Решение

Кроме этой, также существуют другие, аналогичные апории про движение тел, которыми Зенон радовал Древнюю Грецию. Одна, к примеру, доказывает, что выпущенная лучником стрела в любой момент своего полета покоится, и, следовательно, она покоится всегда и не может долететь до своей цели. Другая говорит, что человек (или любое другое живое существо) не может пройти путь от А до В, так как для этого сначала необходимо преодолеть половину пути, а для этого надо преодолеть половину половины, для этого - половину половины половины, и так до бесконечности. Поэтому движение никогда не начнётся.

А вообще, ряды могут в некоторых случаях сходиться, и сумма пройденного черепахой расстояния (1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + ...) всегда будет равна конечному числу, а именно 1.11111111... Именно на этом моменте Ахиллес ее и догонит.

7. Парадокс бутылки Стивенсона

"Герой, житель Гавайских островов по имени Кэаве, покупает бутылку, в которой живёт чёрт. Условия покупки бутылки таковы: чёрт будет выполнять любые желания хозяина бутылки, но за это последний должен будет после смерти гореть в аду, если не успеет при жизни её продать, причём по более низкой цене, чем покупал, то есть с убытком для себя. Другим способом избавиться от бутылки невозможно: будучи выброшенной, она неведомым образом возвращается к хозяину. Кроме того, исполнение желаний приносит несчастья близким хозяина бутылки: герой пожелал стать богатым — и вскоре после этого умерли его дядя и двоюродный брат, оставив ему большое наследство."

8. Неразрешимый спор Протагора и Еватла

"У древнегреческого софиста Протагора учился софистике и в том числе судебному красноречию некий Эватл. По заключенному между ними договору Эватл должен был заплатить за обучение 10 тысяч драхм только в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс. В случае проигрыша первого судебного дела он вообще не был обязан платить.

Однако, закончив обучение, Эватл не стал участвовать в судебных тяжбах. Как следствие, он считал себя свободным от уплаты за учебу. Это длилось довольно долго, терпение Протагора иссякло, и он сам подал на своего ученика в суд. Таким образом, должен был состояться первый судебный процесс Эватла.

Протагор привёл следующую аргументацию: «Каким бы ни было решение суда, Эватл должен будет заплатить. Он либо выиграет свой первый процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит по договору, если проиграет, заплатит по решению суда».

Эватл возражал: «Ни в том, ни в другом случае я не должен платить. Если я выиграю, то я не должен платить по решению суда, если проиграю, то по договору»."

Решение

Однозначно ясно, что единственно правильного решения не существует. По решению суда Эватл должен заплатить только в случае, если он проиграет дело. А по договору он платит деньги только в случае выигрыша.

В данном случае остается только один единственный выход. Для разрешения ситуации они могут обратиться за помощью к Зенону! Главное, чтобы он смог до них дойти.

9. Задача о трех узниках

"Из трёх узников одного должны помиловать, а двоих — казнить. Узник A уговаривает стражника назвать ему имя того из двух других, которого казнят (любого, если казнят обоих), после чего, получив имя B, считает, что вероятность его собственного спасения стала не 1/3, а 1/2. В то же время, узник C утверждает, что это вероятность его спасения стала 2/3, а для A ничего не изменилось. Кто из них прав?"

Решение

Да, эта задача похожа на парадокс Монти Холла. Ответ очевиден, разбор ответов и свои соображения по поводу задачи, если хотите, можете оставить в комментариях.

На этом все. И помните:

ИНФОРМАЦИЯ - ЭТО СИЛА

НАУКА - ЭТО МИР

СВОБОДА - ЭТО РАЗУМ