У нас похожая история, но изначально дома была немецкая овчарка Таймасик, муж подобрал котёнка, кто-то скинул ребенка на их территорию (на работу его).

Таймасик,  как и положено всем собакам, кошек не любил, пытался набросился на котика при возможности. Он у нас в вольере, но периодически если чужие приникают/заходят во двор он перепрыгивает заборчик вольера (1.7 м). И вот он перепрыгнул ринулся на котёнка, который у меня на коленках лежал и тут котик ему такой отпор дал. Но в целом в этот же день их подружили, объяснили собакену, что это маленький и хороший. Все лето котёнок с кликухой Рыжий, не заходил домой, предпочитал обитать в вольере пса, бегают, охотиться на Таймасика, выпрыгивая неожиданно из засады. А вчера картина вообще,  вначале испугалась, потом повеселила: котик наелся и валялся на пороге, собака взяла его за голову и стала таскать туда сюда, а котик лежит и не двигается,  испугалась, выбежала, думала умер котик, а нет, увидев меня встал и побежал дальше за собакой.

Такая весёлая семейка стала. Кстати нужен совет, котик вообще домой не хочет, ему осенью холодно не будет?  Или замёрзнет сам домой просится будет?

Когда привезли домой котёнок был явно домашний и приученный к лотку, очень умненькая, как и собака быстро научился словам нельзя, нет, выйди и ко мне. Вот серьезно. Брат приехал прямо удивляется. Например кормлю собаку, говорю ему сидеть, нельзя,  что б он не лез головой в миску, пока еды не нахожу, потом тоже самое с котом, и вот говорю коту: Рыжый нельзя, а тут собака перестаёт есть и ждет приказа можно ))). Никаких кис кис, только: Рыжий иди сюда, ко мне.

Любимая их игрушка это баклажки, пес берет баклажку в зубы и таскает туда сюда, оставит где-то , тут же кот подбегает и пытается утащить, игра друг у друга умыкнуть баклажку 😁. Мячики и другие игрушки сгрызаются псом за день. Но периодически покупаем ему большие футбольные мячи, они держатся хотя б неделю. Любимая его игрушка, любит футбол играть с нами.

Было где-то видео, но увы не смогла найти.

Решили с мужем сделать доброе дело и помочь одним людям с передержкой щенка. Прошлая семья подобрала его где-то на дороге, но оставить себе не могла т.к. у них уже была крупная собака, которая не приняла щенка, проявляла к нему агрессию. Нового друга мы привезли домой и ему предстояло знакомство не только с нами и новым домом, но и с нашим котом Кузьмой. Было волнительно, первые сутки прошли напряжённо, так как наш добрый и ласковый кот впервые начал шипеть при виде гостя, постоянно ходил за ним и наблюдал. Пёс был настроен дружелюбно, даже слишком, нагло пытался облизнуть коту морду, хотел поиграть с ним. Кузьма в свою очередь шипел, замахивался лапой и уходил подальше. В какой-то момент я начала сомневаться в том, насколько хорошей идеей было брать домой щенка, пусть даже на передержку, ведь поиски новых хозяев могли затянуться на неопределённый срок. Были мысли, что кота и щенка придётся держать по разным комнатам и это совсем не радовало. Меня поддержал муж, сказал не отчаиваться и, что мы так просто не сдадимся, нужно время, чтобы кот привык, а пока будем наблюдать. Через два дня, Кузьма сменил гнев и недоверие на нейтралитет, снова стал ласковым по отношению к нам, к щенку начал относится с интересом, обстановка в доме стала спокойной.
Через несколько дней муж начал задавать вопросы о том, размещены ли объявления о поиске новых хозяев и насколько я готова в случае чего попрощаться с щенком и передать его в другие руки. Пришло осознание, что отдавать эту маленькую радость мне уже не особо то хочется. Муж тоже признался, что не готов никого никому отдавать. После небольшого семейного совета все объявления о поиске новых хозяев были удалены. Потому что хозяева уже были найдены в момент, когда мы забрали щенка и привезли его домой.

Это Сэм и теперь он полноценный член нашей семьи. :)