Некоторые из задач тысячелетия (Millennium Prize Problems). За решение каждой из них институтом Клэя предложен приз в 1 млн долларов США.
1. Равенство классов P и NP:
Если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро (за полиномиальное время) проверить, то верно ли, что и сам ответ на этот вопрос можно быстро найти?
2. Гипотеза Ходжа:
Для особенно хороших типов пространств, называемых проективными алгебраическими многообразиями, так называемые циклы Ходжа являются комбинациями объектов, имеющих геометрическую интерпретацию, — алгебраических циклов.
3. Гипотеза Пуанкаре (доказана):
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Для любого натурального числа n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.
4. Гипотеза Римана:
Все нетривиальные нули дзета-функции Римана имеют действительную часть ½.
5. Теория Янга — Миллса:
Для любой простой компактной калибровочной группы G квантовая теория Янга — Миллса для пространства существует и имеет ненулевой дефект массы.
