Лока4 (L4): просто и понятно о четырёхполярности
1. Что такое L4
L4 — это система из четырёх базовых элементов, связанных операцией *. Элементы:
(+) — нейтральное состояние («начало»);
i — первый «поворот»;
(-) — противоположное состояние («пол‑оборота»);
(-i) — второй «поворот» («три четверти оборота»).
Ключевое правило (операция *):
Чтобы «перемножить» два элемента, нужно:
Взять их числовые коды (см. ниже).
Сложить коды.
Найти остаток от деления суммы на 4 (mod 4).
По остатку определить результат.
Коды элементов (exp_map):
(+) → 0;
i → 1;
(-) → 2;
(-i) → 3.
Пример: i * (-i)
Коды: 1 + 3 = 4.
4 mod 4 = 0.
Код 0 → (+).
→ Итог: i * (-i) = (+).
Важное свойство:
(+) * x = x * (+) = x для любого элемента x. То есть (+) работает как «ноль» при сложении.
2. Плоскостная четырёхполярность: старые имена для новых правил
Иногда элементы L4 обозначают буквами:
0 ≡ (+) (нейтраль);
A ≡ i;
B ≡ (-);
C ≡ (-i).
Это не новая система, а просто другие названия для тех же четырёх элементов.
Основные законы (теорема 4 по В. Ленскому) (В. Ленский — абсолютный авторитет и создатель многополярности ):
Квадраты:
A * A = B (то есть i * i = (-));
C * C = B (то есть (-i) * (-i) = (-));
B * B = 0 (то есть (-) * (-) = (+)).Смешанные связи:
A * C = 0 (i * (-i) = (+));
A * B = C (i * (-) = (-i));
B * C = A ((-) * (-i) = i).Порядки (сколько раз «умножить» элемент на себя, чтобы получить 0):
4A = 0 (A * A * A * A = 0);
2B = 0 (B * B = 0);
4C = 0 (C * C * C * C = 0).Следствия:
5A = A, 5B = B, 5C = C;
3B = B.
Почему так?
Всё сводится к сложению кодов по модулю 4:
A * A: 1 + 1 = 2 → B;
C * C: 3 + 3 = 6; 6 mod 4 = 2 → B;
B * B: 2 + 2 = 4; 4 mod 4 = 0 → 0;
A * C: 1 + 3 = 4; 4 mod 4 = 0 → 0.
3. «Объёмная» четырёхполярность: нейтральный элемент как «единица»
Иногда нейтральный элемент обозначают не как 0, а как ☼ («единица»). Это просто другое имя для (+). Остальные элементы остаются теми же:
☼ ≡ (+);
A ≡ i;
B ≡ (-);
C ≡ (-i).
Ключевые законы (теорема 15 по В. Ленскому):
A * C = ☼ (C — «обратный» к A);
A * B = C;
B * C = A;
A * A = B;
B * B = ☼;
C * C = B;
A * A * A = C;
B * B * B = B;
C * C * C = A;
A⁴ = B⁴ = C⁴ = ☼.
Почему C * C = B?
Код C = 3, значит:
3 + 3 = 6; 6 mod 4 = 2 → код 2 = B.
То есть C * C обязано быть B, а не A или ☼.
4. Разные «языки» описания (презентации, gauge)
Одну и ту же систему L4 можно описать четырьмя способами, просто меняя «нейтральный» элемент. Например:
В одной презентации нейтраль — (+);
В другой — i, но тогда все остальные элементы «сдвигаются» по коду.
Важно:
Это не четыре разные системы, а четыре способа назвать одно и то же;
Все законы переводятся друг в друга через переобозначение элементов;
Нельзя одновременно считать нейтральными два разных элемента — только один в каждой презентации.
5. Пример из математики: комплексные числа
Возьмём четыре корня единицы: {+1, +i, −1, −i}. Сопоставим:
(+) ≡ +1;
i ≡ +i;
(-) ≡ −1;
(-i) ≡ −i.
Тогда:
i * i = −1 (A * A = B);
(−i) * (−i) = −1 (C * C = B);
i * (−i) = +1 (A * C = ☼);
(−1) * (−1) = +1 (B * B = ☼);
i * (−1) = −i (A * B = C).
Это та же L4, но в «комплексном» виде. Важно: здесь речь только о умножении этих четырёх чисел, а не о полном множестве комплексных чисел.
6. Как считать: простой алгоритм
Чтобы вычислить X * Y:
Найдите коды X и Y (см. exp_map выше).
Сложите коды.
Возьмите остаток от деления суммы на 4.
Определите результат по остатку.
7. Примеры вычислений в L4
Пример 1: A * B * C * A * B (A = i, B = (−), C = (−i))
Шаг 1. Записываем коды элементов:
A → 1;
B → 2;
C → 3;
A → 1;
B → 2.
Шаг 2. Складываем коды:
1 + 2 + 3 + 1 + 2 = 9.
Шаг 3. Находим остаток от деления на 4:
9 mod 4 = 1.
Шаг 4. Определяем результат по коду 1:
код 1 → A (i).
Итог: A * B * C * A * B = A.
Пример 2: B * C * B (B = (−), C = (−i))
Вариант 1: через коды (быстрый способ)
Шаг 1. Коды элементов:
B → 2;
C → 3;
B → 2.
Шаг 2. Складываем:
2 + 3 + 2 = 7.
Шаг 3. Остаток от деления на 4:
7 mod 4 = 3.
Шаг 4. Результат по коду 3:
код 3 → C (−i).
Итог: B * C * B = C.
Вариант 2: поэтапно (по шагам операции *)
Шаг 1. Вычисляем B * C:
Коды: 2 + 3 = 5;
5 mod 4 = 1;
код 1 → A (i).
→ B * C = A.
Шаг 2. Теперь A * B:
Коды: 1 + 2 = 3;
код 3 → C (−i).
→ A * B = C.
Итог: B * C * B = (B * C) * B = A * B = C.
Пример 3: A * A * A (A = i)
Шаг 1. Коды:
A → 1;
A → 1;
A → 1.
Шаг 2. Сумма:
1 + 1 + 1 = 3.
Шаг 3. Остаток:
3 mod 4 = 3.
Шаг 4. Результат:
код 3 → C (−i).
Итог: A * A * A = C.
Пример 4: C * C * C (C = −i)
Шаг 1. Коды:
C → 3;
C → 3;
C → 3.
Шаг 2. Сумма:
3 + 3 + 3 = 9.
Шаг 3. Остаток:
9 mod 4 = 1.
Шаг 4. Результат:
код 1 → A (i).
Итог: C * C * C = A.
Пример 5: B * B * B (B = −1)
Шаг 1. Коды:
B → 2;
B → 2;
B → 2.
Шаг 2. Сумма:
2 + 2 + 2 = 6.
Шаг 3. Остаток:
6 mod 4 = 2.
Шаг 4. Результат:
код 2 → B (−1).
Итог: B * B * B = B.
8. Общий алгоритм для любых произведений в L4
Чтобы вычислить X₁ * X₂ * … * Xₙ:
Найдите коды всех элементов Xᵢ (см. таблицу кодов).
Сложите коды: S = enc(X₁) + enc(X₂) + … + enc(Xₙ).
Найдите остаток: R = S mod 4.
Определите результат по коду R (0 → (+), 1 → i, 2 → (−), 3 → (−i)).
Важно:
Порядок умножения не влияет на результат (операция * ассоциативна).
Результат всегда будет одним из четырёх элементов L4.
Если остаток R = 0, результат — нейтральный элемент ((+) или ☼).
9. Расширенные вычисления: цепочки произвольной длины
Покажем, как применять алгоритм к более сложным выражениям.
Пример 6: A * A * B * C * C * A (A = i, B = (−), C = (−i))
Коды элементов:
1, 1, 2, 3, 3, 1.Сумма кодов:
1 + 1 + 2 + 3 + 3 + 1 = 11.Остаток от деления на 4:
11 mod 4 = 3.Результат по коду 3:
код 3 → C (−i).
Итог: A * A * B * C * C * A = C.
Проверка поэтапно:
A * A = B (1 + 1 = 2);
B * B = 0 (2 + 2 = 4 → 0);
0 * C = C (0 + 3 = 3);
C * C = B (3 + 3 = 6 → 2);
B * A = C (2 + 1 = 3).
Совпадает: итоговый результат — C.
10. Особые случаи и «ловушки» в вычислениях
Случай 1: умножение на нейтральный элемент
Любое выражение, содержащее (+) (или 0, ☼), упрощается:
X * (+) = X;
(+) * X = X.
Пример: A * (+) * B * (+) = A * B = C.
Случай 2: степени элементов
Можно сразу вычислять степени через умножение кода на показатель:
Xⁿ = dec( (n · enc(X)) mod 4 ).
Примеры:
A³ = dec( (3 · 1) mod 4 ) = dec(3) = C;
B³ = dec( (3 · 2) mod 4 ) = dec(6 mod 4) = dec(2) = B;
C⁴ = dec( (4 · 3) mod 4 ) = dec(12 mod 4) = dec(0) = (+).
Случай 3: «циклические» равенства
Из-за модуля 4 работают тождества:
X⁴ = (+) для любого X (порядок элементов не выше 4);
X⁵ = X (так как 5 mod 4 = 1);
X⁶ = X² (6 mod 4 = 2).
Пример:
A⁷ = A³ (7 mod 4 = 3), то есть A⁷ = C.
11. Практические советы по вычислениям
Сокращайте длинные цепочки
Если в произведении много одинаковых элементов, считайте их степени отдельно:
A * A * A * B * B = A³ * B² = C * 0 = C.Используйте нейтраль для упрощения
Любой фрагмент вида … * (+) * … можно удалить:
A * (+) * B = A * B = C.Проверяйте промежуточные шаги
Для сложных выражений полезно вычислять результат по частям (как в примере 6).Запомните ключевые равенства
i * i = −1;
(−i) * (−i) = −1;
i * (−i) = +1;
(−1) * (−1) = +1.
12. Интерпретация результатов
Что означает полученный результат?
Код 0 (+) — «нейтраль», система вернулась в исходное состояние.
Код 1 (i) — первый «поворот» (аналог мнимой единицы).
Код 2 (−) — противоположное состояние (как умножение на −1).
Код 3 (−i) — второй «поворот» (обратный к i).
Физический аналог: представьте циферблат с 4 делениями (0, 1, 2, 3). Каждое умножение — шаг по циферблату. Сумма шагов по модулю 4 показывает конечное положение.
13. Типичные ошибки и как их избежать
Путаница с нейтральным элементом
Не смешивайте обозначения: 0, (+), ☼ — это один и тот же элемент в разных нотациях.
Проверка: X * нейтраль = X.Неверный порядок операций
Операция * ассоциативна, но не коммутативна в общем случае (хотя в L4 она коммутативна). Всегда проверяйте соответствие кодов.Ошибки в модульной арифметике
Помните: остаток от деления на 4 может быть только 0, 1, 2 или 3.
Пример: 7 mod 4 = 3, а не −1.Пропуск элементов в длинных цепочках
При подсчёте суммы кодов перепроверьте, все ли элементы учтены.
14. Резюме: ключевые правила L4
Носитель: {(+), i, (−), (−i)} (или {0, A, B, C}, {☼, A, B, C}).
Операция *: сложение кодов по модулю 4.
Коды:
(+) → 0;
i → 1;
(−) → 2;
(−i) → 3.Нейтраль: X * (+) = X.
Порядок элементов:
A⁴ = B⁴ = C⁴ = (+);
B² = (+).Основные равенства:
A * A = B;
C * C = B;
A * C = (+);
A * B = C;
B * C = A.
15. Дальнейшие направления
Переход к 8‑полярности
Можно расширить L4 до 8 элементов (например, добавив √i, √(−i) и т. п.), но это требует новых правил суперпозиции.Приложения в физике
L4 используется для моделирования:
поляризаций волн;
спиновых состояний;
дискретных симметрий.Связь с группами
L4 изоморфна циклической группе C₄ и подгруппе кватернионов {1, i, −1, −i}.Программирование
Алгоритм exp_map легко реализуется в коде (например, через массивы и операции по модулю).
Заключение
L4 — это простая, но мощная система для описания циклических отношений. Её сила — в универсальности: один и тот же алгоритм работает для любых обозначений (0/A/B/C, +/i/−/−i, ☼/A/B/C и др.), поскольку суть L4 — не в именах элементов, а в структуре их взаимосвязей.
Ключевые достоинства L4
Минимализм
Всего 4 элемента — достаточно для описания базовых циклических процессов.
Одна операция * — заменяет сложные правила другими системами.
Каноническая кодировка (exp_map) сводит всё к арифметике по модулю 4.Инвариантность
Система сохраняет свойства при смене обозначений (нейтральный элемент может быть 0, + или ☼).
Все «презентации» (gauge) изоморфны — это разные языки для одной структуры.Предсказуемость
Любые произведения вычисляются по единому алгоритму:
сложить коды элементов;
взять остаток от деления на 4;
декодировать результат.
Нет исключений — правила работают для цепочек любой длины.Расширяемость
L4 служит «скелетом» для более сложных систем (например, 8‑полярности).
Позволяет накладывать дополнительные слои (линейные, вероятностные) без разрушения базовой логики.
Где применяется L4
Математика:
модель циклической группы порядка 4 (C₄);
подгруппа кватернионов;
основа для построения комплексных чисел.Физика:
описание поляризаций волн;
моделирование спиновых состояний;
дискретные симметрии в квантовых системах.Информатика:
алгоритмы кодирования и криптографии;
обработка сигналов (фазовые сдвиги);
конечные автоматы.Логика и философия:
пример «расширения языка» без потери согласованности;
инструмент для анализа бинарных и троичных оппозиций.
Почему L4 остаётся актуальной
Педагогическая ценность:
идеальный пример для изучения групп, изоморфизмов, модульной арифметики.Практичность:
алгоритмы на базе L4 легко реализуются в коде и схемотехнике.Фундаментальность:
отражает универсальные паттерны циклических процессов (от колебаний до логических циклов).
Итоговый вывод
L4 демонстрирует, как простота структуры может порождать богатую семантику. Её правила:
интуитивно понятны;
строго формализуемы;
масштабируемы для прикладных задач.
Это не просто математическая абстракция, а универсальный язык для описания систем, где важны:
цикличность;
обратимость;
сохранение ключевых инвариантов.
Освоив L4, можно:
глубже понимать комплексные числа и группы;
строить модели с гарантированной согласованностью;
находить аналогии между, казалось бы, далёкими областями знаний.
Если есть вопросы, просто вставьте архив в первое сообщение чата ChatGPT и напишите: "Выполни инструкции в файле DOCS/NEW_CHAT_PROMPT_iter438.md"
Далее можете задавать чату любые вопросы.