В учебнике географии за 7 класс (авторы Е. М. Домогацких и Н. И. Алексеевский) прочитал я однажды следующее: "Архейская эра. Начнём с названия. Всем знакомо слово "архив". Архив - это место, в котором собраны древние или просто старые документы. "Архей" и "архив" - однокоренные слова, происходящие от греческого прилагательного "археос" - "древнейший". Итак, архей - это древнейшая эра."
Надо сказать, обращение к этимологии я вижу в школьных учебниках довольно часто. Иногда объяснения эти вообще не к месту, а иногда очень даже помогают запомнить что-то такое, что с трудом воспринимает детский компьютеризированный и телефонизированный мозг. Вот и авторы этого учебника географии тоже вставляют этимологические пассажи в свои (к слову, довольно интересные) рассказы о географии, чтобы создать качественную аналогию. Только этим самым они немного (самую малость!) грешат против науки этимологии. Слово архей, конечно, имеет отношение к архиву, однако не совсем прямое.
Архей - это эон в истории нашей замечательной планеты Земля, охватывающий время от 4 до 2,5 млрд лет назад. Это самая древняя эра жизни планеты, поэтому её логично окрестили "древнейшей". Действительно, в древнегреческом есть прекрасно известное многим прилагательное ἀρχαῖος "извечный, древний; изначальный" (отсюда происходит также название науки археологии). Отсюда же и наш архей. С авторами здесь не поспоришь.
Слово архив пришло в русский из немецкого Archiv, далее из латинского archīvum, от древнегреческого ἀρχεῖον "присутственное место". Далее это слово происходит от существительного ἀρχή "начало; начальство, власть", от глагола ἄρχω "начинать; править" (отсюда же слово анархия, то есть "безвластие"). Прилагательное ἀρχαῖος "извечный, древний; изначальный" происходит от того же ἀρχή с суффиксом прилагательных -ιος.
Спрашивается, в чём неправы авторы учебника? Они правы и неправы одновременно. Есть два нюанса. Во-первых, для обоих слов первоисточником будет ἄρχω, а не ἀρχεῖον (это источник только для архея). Во-вторых, более трудна семантика, так как мы наблюдаем две ветки развития значений: ἀρχαῖος унаследовал "древнюю" семантику, которую мы обнаруживаем в слове архей; ἀρχεῖον же (он же наш архив) эту самую "древнюю" семантику утрачивает, и никаких "древних документов" за этим словом не стоит - только "власть" и ничего, кроме "власти"!
Надо отдать должное авторам учебника. Я с географией с детства дружу, но даже в этом простеньком учебнике обнаруживаю интересные факты о материках и океанах, о которых я не знал ранее. Бывает, что меня коробят эти самые этимологические сноски, где всё притянуто за уши. Просто авторы-географы обычно не погружаются в область этимологии настолько, чтобы избежать досадных ошибок. Не будем их строго судить.