Теория хаоса

Последовавшие затем в фильме события заставили многих думать, что теория хаоса – это что-то вроде Закона Мерфи: если неприятность может случиться, то она случается. Это неправильно. Математик в фильме говорил о другом. Почему случается неприятность? Потому что всё предусмотреть невозможно.

Вот это в целом правильно и совершенно понятно. Непонятно только, для чего же тут понадобилась целая теория? Вот это мы и попробуем объяснить.

Неудача Пифагора

В Древней Греции хаосом называлось первоначальное состояние вселенной – когда не существовало ни света, ни тьмы, ни жизни, ни правил и законов. А сотворение мира с точки зрения древних греков представляло собой переход от хаоса (беспорядка) к космосу (порядку).

Одним из образцов идеального порядка, полного «космоса», для древних греков была математика. Пифагор создал целую философскую систему, в которой главное место занимали «божественные числа». «В математике, – говорил Пифагор, – нет места хаосу, то есть случайности и беззаконию. А значит, люди должны жить по законам математики».

Учение Пифагора стало настолько популярным, что он и его ученики даже захватили власть в городе Кротоне. Но... простым горожанам совсем не понравилось, когда их «оцифровали». Произошло народное восстание – и пифагорейцев изгнали из города.

Но понятие математически правильного, предсказуемого порядка прижилось. Периодически людям начинает казаться, что можно создать социальную систему, в которой все «неопределённые» и «расплывчатые» морально-нравственные и культурные нормы будут заменены строгими законами и алгоритмами. Очередной всплеск таких представлений мы переживаем сегодня.

Если есть законы, которым подчиняются все явления природы, то должны быть законы, которым беспрекословно должны подчиняться все люди. Так же мы с вами рассуждаем, правда?

Теория Лапласа

Во времена позднего Средневековья начался расцвет механики. Мастера того времени научились создавать удивительные (даже по нашим меркам) механические диковины.

Это были и часы, которые могли предсказывать астрономические явления, например, фазы Луны или затмения Солнца. Это были и разнообразные механические куклы – например, известно описание фигурки мальчика, который прекрасным почерком писал текст на бумаге.

Механика с её сложной системой приводных колёс, рычагов, шестерёнок, пружин и маятников показалась людям настоящим образцом того самого «порядка», которому подчиняется Вселенная.

Своё математическое описание механика получила в основном благодаря работам французского учёного Лапласа. Именно он начал любое явление рассматривать в качестве динамической системы, то есть системы, свойства (параметры) которой изменяются во времени. Для каждого элемента такой системы (например, отдельной шестерёнки в механизме часов) можно указать некое правило, формулу, которая называется законом движения.

Достигнутые результаты привели Лапласа в такой восторг, что он заявил следующее (читаем внимательно):

«Если для некоей динамической системы известны состояние в момент времени t и закон движения, мы сможем безукоризненно точно сказать, в каком состоянии эта система была в прошлом и в каком состоянии она будет находиться в будущем».

Учёный даже описал мифическое существо, которое знает всё прошлое и всё будущее всего существующего во Вселенной – позднее это существо стали называть «демоном Лапласа».

Итак, согласно Лапласу, любая динамическая система ведёт себя, как механические часы. Будь жив Пифагор, он, наверное, очень бы порадовался – ведь теоретическая механика Лапласа была идеальным воплощением пифагоровского математически правильного «космоса». Всё на своих местах, всё раз и навсегда предопределено, всё по строгому расписанию, никаких неожиданностей, никакого хаоса!

Что-то не то...

Надо сказать, что и во времена Лапласа многие учёные к «механической» концепции отнеслись отрицательно. «Ну хорошо, – говорили они, – с механическими машинами это справедливо. А можно ли с помощью вашей теории предсказывать погоду? А как насчёт человеческих отношений – дружбы, вражды?»

Теория Лапласа испытывала проблемы не только с прогнозом погоды или человеческими отношениями. Дело в том, что в математике того времени тоже были сделаны важные открытия, которые концепциям Лапласа ну никак не хотели подчиняться!

Случайные процессы

Первым таким открытием стало создание теории вероятностей – области математики, изучающей случайные процессы. Например, бросание игральных кубиков. Сколько на следующем броске выпадет очков? Можно ли это предсказать с помощью математики? Нет, нельзя.

Хуже того – в дальнейшем оказалось, что математически невозможно вообще описать такое понятие, как случайное число. Любой из нас с лёгкостью придумает какое-нибудь случайное число – а вот написать математическую формулу, которая это случайное число описывает, оказалось невозможно в принципе!

Вторым открытием стал закон всемирного тяготения Ньютона. Довольно простая формула, её в школе в седьмом классе проходят. Но дело в том, что эта формула описывает поведение динамической системы, состоящей из двух тел – например, Земли и Луны. Или Земли и Солнца. Но на самом-то деле таких тел намного больше! Земля притягивает Луну, а Солнце притягивает Землю – но ведь Луну Солнце тоже притягивает, правда? А когда математики попробовали с помощью формулы Ньютона решить задачу для трёх тел, они столкнулись с невероятными сложностями!

Точное общее решение этой задачи не найдено до сих пор.

Теория хаоса

Внимательно изучая эти и другие задачи, к концу XIX века учёные пришли к выводу, что большинство динамических систем в нашей вселенной ведут себя совсем не так, как это описывал Лаплас. Даже если эти системы описываются с помощью простых и точных формул, в итоге их поведение оказывается непредсказуемым – хаотическим!

Так на свет появилась математическая теория хаоса. Или, если говорить правильнее, детерминированного хаоса.

Возьмём, например, движение Луны вокруг Земли. С одной стороны, оно описывается простой формулой – законом всемирного тяготения Ньютона. Луна вращается вокруг Земли по орбите. Но при этом рассчитать точное положение Луны на орбите не получается, хоть ты тресни!

Современные астрономы используют для расчётов особые, очень сложные формулы (в математике такие формулы называют рядами), причём числовые параметры этих формул постоянно уточняются и исправляются на основании реальных наблюдений в телескоп.

Другой пример – погода. С одной стороны, погода на нашей планете – это всего лишь перемещения масс воздуха. И параметров тут всего три – это температура, скорость и влажность. И описываются эти параметры довольно простыми математическими формулами. Только простота формул в итоге ничего не даёт, – как известно, даже прогноз погоды на завтра может ошибаться. А уж предсказать более-менее точно погоду в следующем месяце вам не возьмётся ни один метеоролог. Так что никакого расписания, никакой предопределённости, сплошные сюрпризы и самый натуральный хаос!

Линейность и нелинейность

Почему такая динамическая система, как часы, ведёт себя «по Лапласу», то есть идеально правильно, а погода – нет?

Как показали исследования, хаотической может быть только нелинейная система.

Две сцеплённые между собой одинаковые шестерёнки – это классический пример линейной системы: если мы начнём быстрее вращать одну шестерёнку, автоматически начнёт вращаться быстрее и другая. Причём во сколько раз быстрее мы будем вращать первую, в точности во столько же раз ускорится вторая. Такая система линейна, а потому хаосом быть не может.

А вот в случае с погодой параметры независимы друг от друга: если, скажем, мы увеличим скорость ветра в два раза, ведь его температура при этом не станет в два раза выше, правда?

Возьмём ещё один пример. Допустим, рабочий делает на станке детали и получает деньги за каждую изготовленную деталь. Если он начнёт работать в два раза быстрее, то сделает в два раза больше деталей и получит в два раза больше денег. Такая система линейна, в ней зарплата линейно зависит от скорости работы.

Но заменим теперь рабочего на, скажем, телеведущего. Допустим, телеведущий решил говорить во время выпусков новостей в два раза быстрее – как вы считаете, прибавят ему за это зарплату в два раза? Данная система нелинейна.

Эфффект бабочки

Другой важный вывод, к которому пришла теория хаоса, следующий. При малом расхождении начальных условий динамической системы разброс её конечных состояний может быть очень большим. Что это означает?

Если взять механические часы и повернуть чуть-чуть одну шестерёнку, то вторая, сцеплённая с ней, тоже повернётся чуть-чуть. А вот в хаотических системах совсем не так!

Например, лежит снег на склоне горы. Одна снежинка чуть-чуть подвинула две другие, эти две немножко подвинули соседние – и через 5 минут по склону несётся с огромной скоростью чудовищная лавина снега!

Это явление часто называют эффектом бабочки. Объясняя студентам теорию хаоса, американский учёный Лоренц приводил пример, когда «взмах крыла бабочки где-то над Америкой может в результате сложной цепи событий привести к урагану над Тихим океаном».

Время Ляпунова

Третий важный вывод теории хаоса – ограниченность возможности предсказания состояния системы в будущем. Для каждой хаотической системы существует некое время, называемое временем Ляпунова, за пределами которого её поведение становится полностью непредсказуемым.

Что это означает? С помощью формул и расчётов мы можем в какой-то степени предсказать поведение динамической системы – но только до определённого момента! Скажем, местный гидрометцентр может дать надёжный прогноз погоды на ближайшие 2 часа. Вполне приличный прогноз – на ближайшие 6 часов. Более-менее приемлемый – на завтра. Однако уже прогноз погоды на 3–4 дня вперёд достоверным не будет!

Другой пример – наша Солнечная система. С одной стороны, она управляется по законам небесной механики, и учёные могут очень точно предсказать движение планет, спутников и других небесных тел. Да, это так – но со временем эта точность падает! Для Солнечной системы время Ляпунова составляет 50 миллионов лет – а это значит, что предсказать положение планет и их спутников на 50 миллионов лет вперёд (пускай даже хоть сколько-нибудь приблизительно!) мы не в состоянии. Вообще! Никак!

Так что никакого всезнающего «демона Лапласа» (или «искусственного интеллекта», как сейчас это принято называть) быть не может. Причём не может быть именно согласно науке, на которую так любят ссылаться сторонники «тотальной цифровой трансформации».

Это была статья из журнала «Лучик». Познакомиться с журналом можно по ссылке. В мартовском номере журнала читайте:

• Зачем человеку подвиг? О Сократе, Сикстинской Мадонне и Александре Матросове

• Русские дети. Читаем стихотворение Некрасова и думаем

• Почему над мудрецами, ощупывающими слона, смеются глупцы?

Подписаться на мартовский номер «Лучика» можно до 20 февраля по ссылке

Когда мера становится целью, она перестает быть хорошей мерой

К нежелательным последствиям может привести тренировка нейронных сетей. Подобные системы, натренированные на определённых наборах данных, представляют собой чёрные ящики: мы не знаем внутреннюю логику, на которой строятся решения системы. Это, конечно, риск: кто знает, как поведёт себя система в новых обстоятельствах? У неё есть заданная нами цель, а вот выбор средств часто явно не указывается. Автор рассказывает историю, как нейронку по рентгенодиагностике тренировали на данных из двух больниц, статистика в одной из которых заметно превышала другую. Система научилась различать происхождение снимков и базировать свои выводы на этом. Ведь ей скармливали весь снимок, включая вспомогательную информацию на полях. А то, что надо смотреть лишь на лёгкие, а не буквы L и R, не сказали.

При выработке модели важно также не зайти слишком далеко. Можно интерполировать последовательность 3, 5, 7, 9 простой линейной функцией и заключить, что следующее значение – 11. Но эта функция – не единственная с такими значениями. Через эти точки можно, например, провести кривую четвёртого порядка, следующее значение которой будет 23. Что делать? Не плодить сущности понапрасну и пользоваться бритвой Оккама. То есть использовать минимальное число параметров для объяснения ситуации. В том числе не стремиться подогнать модель под данные с идеальной точностью.

Упомянув про самосбывающееся, трудно пройти мимо пророчества самоотменяющегося. С подобной дилеммой столкнулся ещё пророк Иона в седой древности: Господь повелел ему передать пророчество о разрушении Ниневии, если жители этого города не раскаются. Однако вот ведь какое дело: если они поверят ему и раскаются, то город не разрушится, и тогда само пророчество не сбудется. Ну и кто он будет после этого в их глазах? Вот и попытался спетлять и отправился в плаванье. Но Господа не обманешь. Корабль попал в сильнейший шторм, и когда корабельщики бросили жребий, кого выкинуть за борт, тот пал... да, на Иону. Как только того выбросили, шторм прекратился. Но Иона не погиб в пучине: его проглотил кит, в чреве которого три дня и три ночи он молился. Господь дал ему второй шанс, кит изверг Иону на берег, тот пошёл в Ниневию, стал пророчить о гибели города через сорок дней. Ниневийцы впечатлились и покаялись, их гибель не случилась, а пророчество Ионы – не исполнилось. Автор находит Иону в современности в лице эпидемиолога Нила Фергюсона, предсказавшего смерть полумиллиона британцев, если не бороться с распространением коронавируса. До такого не дошло. Умерло порядка двухсот тысяч. Помог локдаун, вакцинация и другие меры, за которые и выступал Фергюсон. Автор, правда, не сообщает ещё одну цифру из его предсказаний: что при соблюдении карантина число жертв может упасть ниже 20 тысяч.

К неожиданному исходу соперничества может привести недооценка противника. Голиаф может почивать на лаврах и расслабиться, в то время, как Давид будет гореть желанием опровергнуть ожидания и самоутвердиться своей победой над фаворитом. Подобный феномен автор называет эффектом аутсайдера, хотя Википедия имеет в виду нечто другое. Так или иначе, такое развитие событий, наряду с самоотменяющимся пророчеством, представляет собой примеры отрицательной обратной связи.

Если честно, я так не считаю. Это, скорее, примеры того, когда исход не такой, как планируется. Сигнал же обратной связи вычитается из задания на управление для вычисления рассогласования, чтобы узнать, далеко ли мы от цели. Мы выстреливаем в мишень, смотрим, куда попала пуля и делаем поправку. Стоим под душем, крутим ручку и чувствуем изменение температуры. Температуру (а также другие параметры тела) регулирует и наш мозг, используя обратную связь и управляющие воздействия. Разумеется, исход процесса регулирования может оказаться не таким, как хотелось бы. Длинная труба в душе может сделать задачу сложной, мы крутим кран в одну сторону, но пока вода достигнет нашего тела, проходит слишком много времени, и станет слишком горячо. Крутим в другую – опять промахиваемся, слишком холодно. Система входит в колебания. И будет неплохо, если эти колебания не слишком широки. А то при определённых обстоятельствах система может пойти вразнос.

Совет автора читателю очевиден до невозможности: пытаться предвидеть эффект бумеранга. Думать о непредвиденных последствиях. Брать на «слабо». Не всегда идти путём прямых запретов, ведь запретный плод сладок. Практическая ценность таких советов, на мой взгляд, не слишком высока.

Каковы бы ни были наши потенциальные предсказательные способности, иногда приходится признать: они не бесконечны. Приведу пример. Допустим, что совершая действие A, мы уменьшаем какой-то параметр B, который неизбежно должен уменьшить параметр С, что нам и нужно. Но на самом деле наше действие может привести и к росту параметра D, который тоже влияет на C. Единственным способом убедиться в нужном результирующем воздействии этих двух путей влияния будет использование количественной модели. Вербальная качественная модель в этом случае не сработает.

Говоря о непредсказуемости, автор упоминает заблуждение нормальности: мы склонны думать, что в будущем всё будет так же, как сейчас. Мы откладываем написание завещаний, не сразу реагируем на предупреждения о надвигающемся бедствии. Некоторые даже не верят предупреждениям. Чем это чревато, мы можем убедиться на примере судьбы жителей Помпейи, которые даже после начала извержения Везувия далеко не все поспешили покинуть город. Наши современники не намного разумнее их, что показала реакция жителей Нью-Йорка и окрестностей на штормовое предупреждение в октябре 2012 года. Тогда лишь менее половины жителей покинуло зону эвакуации. Результат: смерть 159 человек в результате урагана Сэнди.

Кстати, о погоде. Её мы хоть и умеем предсказывать, но тоже неидеально. Когда-то давно мы полагались на эмпирические приметы вроде красного неба на закате, предвещавшего ясную погоду (в отличие от красного восхода). Эта примета нашла своё отражение даже в Библии.

На закате, увидев, что небо красное, вы говорите: «Будет хорошая погода», а на рассвете, если небо заволокло багровыми тучами, вы говорите: «Будет буря».

Нельзя не отказать Иисусу в правоте: действительно, в умеренных широтах Северного полушария преобладают западные ветры, и область высокого давления с хорошей погодой (которую мы видим как красное небо) появившись на закате, с большой вероятностью пройдёт через нас. Если же мы увидим красное небо на востоке, то, похоже, хорошая погода от нас уже уходит. Красный цвет небу придаёт преломление солнечных лучей в частичках пыли, застревающих в атмосфере при антициклоне.

Но не все приметы выдержали испытание временем. Коровы ложатся на землю по разным причинам, и совсем необязательно перед дождём. Натуралисты в Германии подметили в восемнадцатом веке, что древесные лягушки залезают вверх по деревьям в хорошую погоду. Появилась мода заводить у себя дома лягушку и держать её в кувшине, из которого наверх вела вверх маленькая лестница.

Погодная лягушка

На самом деле, эти животные не предсказывали, а следовали хорошей погоде, при которой мошкара поднимается выше от земли. Разумеется, в домашних условиях своим поведением они не сообщали хозяину ничего путного. А синоптиков на телеэкране немцы иронически по сей день называют «погодными лягушками».

Поводов для иронии и издевательств над синоптиками сегодня тоже хватает, хотя стоит заметить, что мы лучше помним их неудачи, нежели их успехи. Ещё одним поводом для насмешек может являться неясность некоторых понятий. Вы знаете, что такое вероятность осадков? Это не просто вероятность дождя в определённом районе. Её нужно ещё умножить на процент площади с дождём в данном регионе. То есть если в Москве завтра точно будет дождь, но лишь на 75% площади, то вероятность дождя и будет 75%. Стоит знать, что некоторые коммерческие бюро погоды сознательно округляют вероятности осадков в большую сторону: лучше перебдеть и не дать клиенту промокнуть. Далее, они неохотно снимают дождевой прогноз в случае изменения обстоятельств в лучшую сторону: частые изменения прогноза подрывают доверие публики. Вообще, синоптикам и прочим прогнозистам имеет смысл представлять грядущее развитие событий в виде диапазона возможных сценариев с соответствующими вероятностями вместо какого-то одного наиболее вероятного сценария. Чем меньше будет недосказанностей – тем лучше.

Существование закона причины и следствия побудила Лапласа предположить создание супер-интеллекта – демона Лапласа – который бы на основе имеющейся в его распоряжении информации о Вселенной смог бы предсказывать будущее. Если это возможно, то свобода воли – всего лишь фикция. На самом деле, мало того, что у нас не хватит вычислительных мощностей, но и присутствуют фундаментальные вещи, ограничивающие наше точное знание координат и импульса частицы в данный момент времени. А именно принцип неопределённости Гейзенберга.

Так что синоптики, несмотря на определённый прогресс, никогда не смогут порадовать нас прогнозом стопроцентной вероятности. Не только по вышеизложенной причине, но и в силу чувствительности их моделей к изменению начальных условий. Погода – это не как у Жванецкого, у которого из консерватории неизбежно попадаешь в Сибирь. Наоборот. Здесь мы имеем дело со сложной системой. Мы можем очень точно рассчитать состояние подобной системы в будущем. Но стоит измениться начальным условиям совсем чуть-чуть – и прогноз окажется совсем другим.

В шестидесятых годах прошлого века американский математик и метеоролог Эдвард Лоренц создал простую модель атмосферы, которую обсчитывал на своём компьютере. Распечатки результатов выдавались с точностью до третьего знака после запятой, в то время, как внутреннее представление чисел в компьютере имело шесть знаков. Однажды Лоренц захотел повторить свои вычисления, но поленился делать всё с самого начала, а использовал распечатки промежуточных результатов. Он с удивлением обнаружил, что конечный прогноз у него получился совсем другим. Это расхождение было вызвано разницей в исходных значениях, не предвышающей одной тысячной! Это был не баг, нет. Это была фича хаотических систем. Он поделился своим открытием в статье с названием «Вызывает ли взмах крыльев бабочки в Бразилии торнадо в Техасе?» Так в науку вошёл эффект бабочки.

Лоренц удачно назвал феномен. Достаточно взглянуть на траектории его упрощённых моделей, которыми он показывал стремление системы прийти к одному из аттракторов в зависимости от начальных условий.

Бабочка Лоренца

Хаотической системой является движение планет вокруг Солнца. В конце девятнадцатого века Ковалевская вместе с Миттаг-Лефлером поставили гравитационную задачу N тел, за решение которой давалась премия в 2500 шведских крон. Ставился вопрос о стабильности орбит в Солнечной системе. Через три года проблему удалось блестяще решить Анри Пуанкаре на примере трёх тел. Премию он получил, но очень скоро нашёл у себя ошибку и впоследствии доказал, что систему дифференциальных уравнений для движения трёх тел невозможно свести к интегрируемой. Что уж говорить о большем количестве Мы не можем точно рассчитать движение планет Солнечной системы в течение произвольного промежутка времени. Точка.

Итак, даже теоретически мы не можем смотреть достаточно далеко в будущее. Поэтому следует сторониться тех, кто говорят, что совершенно точно знают, что случится. Не знают. Не могут знать.

Кто не верил в дурные пророчества,
В снег не лег ни на миг отдохнуть,
Тем наградою за одиночество
Должен встретиться кто-нибудь.

В эпилоге автор говорит нам, что если есть хоть бы один урок, который можно извлечь для себя из его книги, то это необходимость делать выводы из своих несбывшихся планов и учиться на своих ошибках. Негусто.

Как по мне – получилось эклектично. Какой-то салат из очевидных фактов, вырезок из прессы и пространных поучений. Желание автора в книге на математическую тему обойтись без формул раздуло её аж до четырёх сотен страниц. Хорошо тем, у кого есть время на их усвоение, остальным придётся, чертыхаясь, перепрыгивать абзацы и пролистывать совершенно тривиальные вещи.

Что-то новое можно для себя почерпнуть, но, скорее, фрагментарно. И бессистемно. Но излагает наш автор весьма понятно и увлекательно. Что есть, то есть. Уважаю.