Оба происходят от праиндоевропейского *oḱtṓw, что многие объясняют как "дважды четыре" (двойственное число от *oḱtṓ - просто "четыре пальца"). Во всяком случае в авестийском встречается слово ašti, которое означает как раз ширину в четыре пальца и может происходить от *oḱtṓ, а в протокартвельский оно могло быть заимствовано как *otxo, что и значит "четыре" (в современном грузинском - ოთხი [otxi]).
Шагнём на пару тысяч лет вперёд.
💎 Первый звук *о и в протобалтославянском, и в прагерманском превратился в *a.
💎 Второй звук *ḱ - это тот самый, который делит языки на кентум и сатем, и здесь повёл себя классически, в протобалтославянском дал *ś, а в прагерманском *h.
Дальше изменений почти не было, в итоге у нас получилось что-то вроде *aśtо, а у прагерманцев - *ahto.
Время шло, проходит ещё тысяча лет.
💎 Древнеанглийский из *a сотворил "ea", а из *o получил "a", стало "eahta".
💎 Праславяне из *a вернули назад оригинальное *о, звук *ś продолжил свой путь и превратился в *s, а финальный *o стал редуцированным *ъ. Итого, промежуточная форма должна была выглядеть примерно как *остъ. Параллельно произошла какая-то дополнительная магия, и *остъ превратилось в *осмъ - возможно, по аналогии с *седмъ, обитавшим по соседству.
Ну и доезжаем до наших дней.
💎 В среднеанглийском бродило много вариантов, развившихся из "eahta" - например, "eighte", "aught", "eahte" или "ahte". Как вы понимаете, победил первый, разве что, отвалилось последнее "е".
💎 У нас же "осмъ" смягчился и превратился "осмь" (на этом этапе он успел создать такие слова как "осьминог" и "осьмушка"), а потом в начало подставился звук "в" (как, например, "отец - вотчина"), в центре для удобства возник дополнительный "е", и мы получили современный вариант.