А. Столяров: геометрия и религия
Невероятно красивая аналогия между геометрией и религией! Есть ли разница между этими двумя понятиями? Кажется, что вопрос не имеет смысла, но не всё так просто.
Невероятно красивая аналогия между геометрией и религией! Есть ли разница между этими двумя понятиями? Кажется, что вопрос не имеет смысла, но не всё так просто.
Спойлер для ЛЛ: данная фраза — это незначительно изменённая цитата французского философа Жана Д’Аламбера, использованная Пушкиным в пересказе.
Выражение «Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии» подписывают без всяких оговорок именем Пушкина в популярных сетевых сборниках цитат. Часто фразу с указанием авторства поэта приводят в соцсетях: на платформе «Дзен», во «ВКонтакте» и в Facebook.
Фраза «Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии» действительно есть в сочинениях Пушкина. В его 16-томном полном собрании сочинений (издавалось в 1937-1959 годах) это высказывание опубликовано в 11 томе. «Отрывки из писем, мысли и замечания», среди которых есть и фраза про геометрию и поэзию, были впервые напечатаны в литературном альманахе «Северные цветы», который издавал в Санкт-Петербурге Антон Дельвиг — поэт, критик и лицейский товарищ Пушкина. Альманах датирован 1828 годом, но вышел он в конце декабря 1827 года, этим годом он датирован и в собраниях сочинений.
В «Отрывках из писем, мыслях и замечаниях» собраны философские высказывания. В некоторых из них указан первоисточник, например, Пушкин приводит цитату из философа и математика Блеза Паскаля: «Всё, что превышает геометрию, превышает нас». Но в случае с фразой про геометрию и поэзию такого упоминания нет.
В именном указателе к тому же 16-томному собранию сочинений эта цитата приводится ещё раз. Составители поясняют, что речь идёт об изменённой цитате из Жана Д’Аламбера — французского философа, математика и соавтора главного памятника эпохи Просвещения, «Энциклопедии наук, искусств и ремёсел».
Титульный лист первого издания «Энциклопедии», 1751. Источник: Wikimedia Commons
Нужная фраза действительно есть у Д’Аламбера, в предисловии к изданию «Энциклопедии» 1763 года, в котором французский философ и математик рассказывает о важной роли каждой из точных наук.
«Воображение созидающего геометра ничуть не меньше, чем у творящего поэта; Архимед заслуживает места рядом с Гомером, Ньютон — с Корнелем».
Пушкин был хорошо знаком с произведениями французских энциклопедистов. Как вспоминала его сестра Ольга Сергеевна, библиотека их отца Сергея Львовича Пушкина «состояла из классиков французских и философов XVIII века». Была полная 35-томная «Энциклопедия» и в личной библиотеке поэта: он выиграл её в карты у своего знакомого Ивана Великопольского, который, предположительно, передал книги Пушкину в 1826 году.
Таким образом, можно с уверенностью сказать, что фраза «Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии» — это незначительно изменённая цитата французского философа Жана Д’Аламбера, не потерявшая в пересказе Пушкина своего первоначального смысла.
Фото на обложке: Wikimedia Commons
Наш вердикт: неверная атрибуция цитаты
В сообществах отсутствуют спам, реклама и пропаганда чего-либо (за исключением здравого смысла)
Аудиоверсии проверок в виде подкастов c «Коммерсантъ FM» доступны в «Яндекс.Подкасты», Apple Podcasts, «ЛитРес», Soundstream и Google.Подкаст
Их есть у нас! Красивая карта, целых три уровня и много жителей, которых надо осчастливить быстрым интернетом. Для этого придется немножко подумать, но оно того стоит: ведь тем, кто дойдет до конца, выдадим красивую награду в профиль!
Товарищи интеллектуалы,спасайте .... есть луковые кольца (и тут как бы все понятно они ж в форме окружности),а если вырастить лук в формочке в виде куба (видел такое с арбузами делают) так вот,допустим,мы на выходе получаем квадратные кольца (если это возможно) , но это же уже не кольца (кольцо по определению форму окружности имеет) и как бы тогда называлось ? квадрат тож не очень подходит (не кто ж не называет луковые кольца кружочками) , так же не подошло бы - дольки или кусочки (ибо технически так можно и кольца назвать,а их называют кольцами,а не этим всем) , также не подходят выдуманные слова по типу квадраолца и т д ... есть ли абсолют описывающий форму квадратного кольца (но не квадратное кольцо , ну кольцо и квадрат друг друга взаимоисключают) в гугле ответа не нашел в общем есть идеи ?
В любой плоскости, имеющая координаты точка, будет иметь собой длину и ширину. По определению в геометрии:
То́чка — один из фундаментальных (НЕОПРЕДЕЛЯЕМЫХ) математических объектов, свойства которого задаются системой аксиом. Нестрого можно представлять точку как неделимый элемент соответствующего математического пространства, определяемого в геометрии, математическом анализе и других разделах математики.
Неопределяемое понятие в аксиоматике — начальное, базовое понятие, определение которого не даётся.
Любая наука и теория строится на некоторых базовых понятиях, которые обычно интуитивно понятны и свойства которых описываются аксиомами данной теории.
Аксиомы:
От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг. Все прямые углы равны между собой. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых углов, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых углов.
В аксиомах не задана величина точек. В плоскости любая точка должна быть высотой и шириной. Следовательно, линия будет непрерывностью этих точек. В плоскости тем самым мы можем иметь кривые линии.
Точка, неделимый элемент соответствующего математического пространства - свойство трёхмерности. В плоскости двумерное. Имеет свои координаты.
А теперь провожу через две точки две прямых, но покажу их через стороны фигур.
На плоскость нанести два квадрата плотно прилегающие друг к другу на прилегающих сторонах отметить две точки. Эти точки будут пересекать стороны двух разных квадратов. Двух фигур. Следовательно, их линии попросту совпадают. Снова обращу внимание, что точкам нет определенной величины в плоскости, заданной аксиомами. Но, любая точка плоскости - длина и ширина
В комментариях к моему посту Геометрия, который набрал неожиданно большое количество лайков (для моей статистики), попросили написать еще что-то подобное. Вот, выкладываю нашу с дядей переписку под этим постом в фейсбуке (Внимание! Впереди очень много букв, если вы не хотите тратить время или вам не нравится философия - пропускайте и не разворачивайте пост и листайте ленту дальше)
Дядя Рома:
Потолкуем о геометрии. Египтяне и индусы, действительно очень много сделали для математики, и в частности для геометрии. Но у них геометрия еще не обрела черты науки. Скорее это были полезные эмпирические обобщения не имеющие системы. Геометрия во всей своей красе оформилась именно в Древней Греции. Ты упоминул Фалеса и Пифагора, как греков, сделавших много для геометрии. Да, это так, но следовало бы упомянуть ключевую фигуру в формировании геометрии именно как науки. И эта фигура - Эвклид. Заслуга Эвклида состоит в том, что он подарил в качестве системообразующего принципа для математического знания аксиоматический метод. Метод построения математической системы на основе минимального количества очевидных разуму утверждений (аксиом) и правил вывода последующих утверждений на основе законов математической логики. Геометрия у Эвклида превратилась в стройное дерево, любое утверждение на истинность в котором проверялось путем регрессионного нисхождения к базовым положениям, истинность которых считалась самоочевидной.
И до Эвклида, и после него геометрия помогала человеку в решении его повседневных задач. Но Эвклид открыл область истинных знаний, которые не были зависимы от окружающего мира. Геометрия (как и вообще математика), несмотря на то, что её рождение было связанно с прикладными задачами, после Эвклида стала причиной самой себя. Геометрии по большому счету плевать на материальный мир. Существовать в геометрии -- значит быть непротиворечивым. Ландау как-то сказал, что наука делится на естественные науки (химия, физика), неестественные (гуманитарные) и сверхъестественные (математика). Геометрия сверхъестественна потому, что она открыла мир вечных истин. Теорема Пифагора, например, может быть, конечно, обобщена для случая искривленных пространств, но тем не менее для эвклидова пространства -- она истина на все времена. Если нам повстречаются инопланетяне, наверняка единственный язык, который может быть понятен и им, и нам, -- это язык математики. И их математика ничем не может отличаться от нашей математики. Могут быть только акценты различные на разных подразделах.
Могли ли египтяне прийти к пониманию того, что диаметр окружности и её длина несравнимы? Другими словами, могли ли они прийти к пониманию существования иррациональных чисел, например, числа ПИ? Вряд ли -- им это не было нужно. Двух знаков после запятой с лихвой хватало им для любых потребностей. А вот греки могли, потому что обладали научной системой. Причем, открытие иррациональных чисел настолько поколебало их представление о гармоничности мира, что некоторые из них даже покончили жизнь самоубийством. Для них была невыносима мысль о том, что невозможно точно вычислить ни длину окружности, ни площадь круга, зная её диаметр.
Геометрия в том виде какой она обрела после "Начал" Эвклида на долгие века стала образцом для науки и для человеческого знания вообще. Спиноза, например, в своем основном труде "Этика" попытался доказать существование Бога, используя геометрический метод. Его философский труд более походит на математический трактат. Аксиомы, теоремы, леммы.
Геометрия со времен Эвклида -- это источник незыблемых истин. Геометрия, а если обобщить, -- математика, это чистое знание, разум, постигающий самое себя. Где ещё мы можем найти такие сферы, где разум постигает себя в зеркале рефлексии, отвлекшись от материального мира? Таких сфер не так много. Это -- логика, философия (не вся, а лишь только гносеология) и методология науки, как пограничная сфера между философией и наукой. Вот, пожалуй, и всё. И математика здесь, разумеется, первая в этом ряду.
Мой комментарий:
Еще одно подтверждение этому - это то, что мой папа и Стивен Хокинг (всемирно известный космолог) пришли абсолютно независимо друг от друга к одному и тому же выводу (папа тогда еще не знал про Стивена Хокинга и его открытия, а Стивен Хокинг не знал моего папу) - Черная Дыра и Большой Взрыв - это одно и то же.
Дядя Рома:
Ну, как сказать -- "одно и тоже".
Чёрную дыру и Большой Взрыв роднит одно -- внутри чёрной дыры есть сингулярность. И большой взрыв возник в точке сингулярности -- это так.
В остальном они не только не одно и тоже, но и прямо противоположны. Черная дыра -- это могильник энергии и материи в нашей вселенной. Всё, что попало в неё не имеет пути назад. Даже с учётом современных поправок на излучение Хокинга. Чёрная дыра с учетом этого излучения является генератором энтропии. Т.е. в неё попадает сложно организованная материя в виде вещества, а взамен в конечном итоге получаем достаточно однородное тепловое излучение.
Большой Взрыв, в противоположность могильнику чёрной дыры, напротив, стал прародителем и источником энергии, материи и всей сложности этого мира.
Если бы вещества в нашей вселенной было бы достаточно для того, чтобы обратить процесс расширения вселенной вспять (замкнутая модель), то можно было бы говорить о том, что мы живём внутри чёрной дыры. А может ли существовать чёрная дыра без сингулярности внутри неё? В случае с моделью замкнутой вселенной, да, может. Но и в этой модели сингулярность тоже существует, но в потенциальной, отсроченной форме. Т.е., завершив процесс "схлопывания" вселенной, всё равно приходим к сингулярности.
Но по поводу закрытой модели -- это всё отвлечённые суждения. Астрофизики и космологи выяснили, что наша вселенная не только будет расширяться неограниченно долго (открытая модель), но и делает, и будет делать это, с ускорением, чему способствует тёмная энергия (пока что непонятная и неизученная физикой форма материи).
Итак, чёрная дыра -- это смерть материи, большой взрыв -- это рождение материи, если коротко. Вот такое вот "одно и тоже".
Мой комментарий:
В буддизме есть выражение "точка рождения и смерти". Я часто слышу в духовных учениях фразу: "Энергия не может быть уничтожена". Если мне не изменяет память, эту же фразу я читал или слышал где-то у ученых, пришедших к такому же заключению. Про рождение и смерть я тоже писал статью - они происходят повсеместно.
Дядя Рома:
Энергия не может быть уничтожена (точнее, материя не может быть уничтожена, поскольку энергия может превращаться в вещество и наоборот) -- это так. Но может быть уничтожена ее ценность. А ценность энергии (возможность её использования, преобразования) напрямую связанна с понятием энтропии. Недаром максимальное значение энтропии во вселенной физики называют тепловой смертью.
Да, на земле рождение и смерть очень сильно переплетены, и смерть одной формы является началом рождения другой. Недаром танец Шивы в индуизме -- это и танец смерти, и, одновременно, танец рождения.
Но в отношении тепловой смерти нашей вселенной все сложней. Когда-то изначальный импульс энергии Большого взрыва будет растрачен. Да, сейчас ещё не закончился процес рождения и умирания звезд и галактик, но энтропия вселенной неуклонно растет. И процесс расширения вселенной ускоряется. И у этого расширения есть вполне определенные последствия. Когда-то погаснут последние звезды, поскольку будет растрачен весь водород во вселенной. На каком-то этапе останутся только нейтронные звезды и черные дыры. Но и это не будет длиться вечно. Черные дыры испаряться, оставив после себя однородное тепловое излучение. Нейтронные звезды остынут и превратятся в черных карликов. К тому времени во вселенной утвердится непроглядная тьма. Черные карлики, окончательно остыв, тоже взорвутся. Это будет последнее значимое событие в холодной вселенной. Останутся только фотоны, энергия которых будет падать, из-за расширения вселенной, а кроме того, плотность фотонов на единицу объема будет из-за того же расширения падать. И рано или поздно соседние фотоны скроются за линией космологического горизонта. Это означает, что они уже не смогут ни при каких обстоятельствах взаимодействовать друг с другом.
Непроглядная тьма, невозможность существования сложных структур, энергия, размазанная по всему пространству вселенной, а потому совершенно бесполезная. Что может родиться в такой вселенной?
Мой комментарий:
Вспомнилось еще одно буддистское выражение: "Даже Солнце умрет". Но в то же время вспомнилась фраза, с которой начинается книга "Курс Чудес", которую я упоминал в статье про шестидесятые. Эта фраза звучит: "Реальному ничего не может грозить". Вселенная в том виде, в котором мы ее наблюдаем - это всего лишь форма, которая родилась 14 миллиардов лет назад, и которой, как и любой другой форме, суждено умереть и раствориться. (Об этом, кстати, тоже написано в книге "Курс Чудес" - что Вселенная растворится, она уже растворяется). Но "реальному ничего не может грозить", даже если она растворится и умрет, сознание, которое вечно и бессмертно, будет эволюционировать через другую форму где-то еще.
В английском переводе книги Дао Дэ Цзин есть фраза: "Было что-то до того, как Вселенная родилась". Это что-то бессмертное и вечное, что не куда не исчезнет и после смерти Вселенной.
Так же, как если уничтожить радио-приемник, то музыка перестанет играть, но она никуда не исчезнет.
В частности, папина теория (так же, как и теория Стивена Хокинга) гласит, что за счет той энергии, которая уходит в черную дыру, в ее сингулярности происходит большой взрыв и в новом измерении рождается новая вселенная. Но за всеми этими вселенными, за всеми внешними проявлениями, конечно, лежит, Одно Сознание, которое иногда называют Бог, Дао или Брахман. (Все эти процессы, описанные мной, были описаны также и в древнеиндийском тексте из Махабхараты, который называется Бхагавад-Гита)
Дядя Рома:
Говоря о космологии, черных дырах, темной энергии, мы вроде как оставались в рамках научного взгляда на мир.
Если же мы начинаем толковать о Дао и Брахмане, то мы покидаем физический срез воспринимаемого мира и становимся на скользкий путь ментальных и супраментальных спекуляций, отложив в сторону и математику, и научный способ познания мира. Религия -- это не наука, даже философия -- это не наука. А там, где нет науки, там возможно всё. Черные дыры -- это поры на теле Шивы. Множественные параллельные вселенные -- это ожерелье из бусин на шее Рудры. Тепловая смерть вселенной -- это нирвана, спроецированная на физический аспект нашего мира. Можно утверждать всё, что угодно, а также высказать утверждения, противоположные высказанным.
Наука -- это наука (физика). Духовный и религиозный опыт это не-наука (метафизика). Поэтому перескоки с одного структурного уровня и объяснение одного другим -- это некорректно в принципе.
Природа Бога такова, что нам нечего о нём сказать, кроме утверждений, составленных в негативной форме: Бог - бесконечен, он вне времени, вне пространства и т.д. Для того, чтобы описать природу Бога у нас нет подходящих категорий и понятий. Это как точка сингулярности до Большого Взрыва. Ученые могут примерно описать, что было после одной тысячной секунды после большого взрыва, после одной миллионной секунды, но в точке 0 физика заканчивается, в формулах физики возникают неустранимые бесконечности, и даже пропадает базовый категориальный аппарат физики, связанный с понятиями пространства и времени. Ученые-космологи честно говорят -- нам нечего сказать о точке 0 (кроме негативных формулировок - это не то, это не это), и в отношении Бога тоже нужно честно сказать -- нам нечего о нём сказать на языке наших конечных ментальных категорий, кроме индийского "Нэти, Нэти". Даже категории из нашего метафизического словаря -- они тоже коренятся в конечной человеческой природе.
Негативная форма суждений о божественной природе не может быть основой для объяснения физических процессов в нашем мире. Поэтому, либо космология, либо богословские диспуты. На выбор.
Мой комментарий:
Из любого правила есть исключения - есть как ученые, которые совмещают науку и духовные учения, так и духовные учителя, которые используют научное знание для более доступного объяснения духовной истины. В конечном итоге и ученые, и духовные учения, приходят к одной и той же истине, в различных областях - например Будда и Лао-цзы говорили о пустоте и пространстве, как об основополагающем принципе Вселенной. Ученые тоже недавно пришли к выводу, что вся материя, которая кажется нам твердой - это на самом деле 99.99% пустого пространства - так широко расстояние между атомами, которые тоже на 99.99% состоят из пустого пространства - так широко расстояние между частицами, которые в свою очередь, находятся в постоянной вибрации - исчезают в пустоту и появляются из пустоты. Вселенная - это в основном пустое пространство, об этом даже Иисус говорил, основной термин в его учении - это Царство Небесное - что тоже указывает на пустоту и пространство - ты чувствуешь их, когда смотришь на небо. Эйнштейн был человеком религиозным, он не считал себя ни атеистом, ни пантеистом - из глубины духовного знания, то есть познания самого себя на духовном уровне, ему и приходили все его гениальные идеи и открытия. Вот его цитата: "Религиозное чувство ученого принимает форму изумленного восторга при взгляде на гармонию природного порядка, который открывает интеллект настолько превосходящий, что по сравнению с ним все систематическое мышление человеческих существ — чрезвычайно незначительное отражение". Среди современных ученых также имеется ряд подобных феноменов, вот например, диалог квантового физика Лотара Шафера, который погрузился в изучение материи настолько глубоко, что на том уровне, до которого он дошел, материя уже перестала быть материей, и он пришел к тем же выводам (опять же, абсолютно независимо), к которым пришел задолго до него второй участник диалога - Экхарт Толле (которого я уже упоминал). Вот их встреча:
Дядя Рома:
Разумеется, среди ученых много было людей верующих. Я так скажу, в 19-м веке, когда физика развивалась особенно динамично, большинство ученых были верующими людьми. Фарадей, Максвелл, Планк, Шрёдингер, Гейзенберг, Томсон. Нобелевский лауреат Комптон -- тот вообще был церковным старостой. Можно и дальше перечислять -- список верующих ученых велик, тоже самое можно сказать и о современных ученых. Так что до некоторых пор совмещение религиозности и учености было скорее правилом, чем исключением.
Кстати, зря ты из этого списка исключил Эйнштейна. Эйнштейн был очень даже религиозным человеком. И его религиозность как раз-таки была очень близка к пантеизму Спинозы. Можно вспомнить очень важное его высказывание -- "Религия без науки слепа, наука без религии хрома". Но вот давай остановимся на примере религиозного Эйнштейна. Две теории Эйнштейна, специальная теория относительности и общая теория относительности. Где в них хоть слово сказано о божественной природе мироздания? Эти теории имеют в своей основе классическую математическую систему, базирующемуся на всё том же аксиоматическом методе. Есть некоторые постулаты, есть принципы, не доказываемые в рамках данной теории, и есть развитие этих идей с помощью специально математического аппарата и математической логики. В этих теориях нет ни слова про участие Бога в сотворении и судьбах вселенной. Все свои религиозные рассуждения он оставил для посиделок с Нильсом Бором, Шредингером и Гейзенбергом.
Вот кстати, обратимся к Нильсу Бору, помимо того, что он был великим ученым, стоявшим у истоков квантовой механики, он был сильным философом в области методологии науки. Им был сформулирован философский принцип дополнительности. Вот, например, перед нами живая картина -- Микеланджело ваяет свою очередную скульптуру. Эту ситуацию можно описать по-разному. Микеланджело, имея в голове некоторый образ, воплощает его в камне. Этот образ предшествует началу работы, представляя собой ее цель. А теперь на эту же сцену посмотрим на другом структурном уровне. Микеланджело и его необработанный камень состоят из элементарных частиц. Каждая из частиц совершает свое движение в силовых полях, описываемых физическими законами. А поскольку каждая частица в отдельности подчинена законам физики, то и их ансамбль тоже подчинен законам физики. Обладая достаточно сложным компьютером, мы могли бы вычислить состояние системы в любой момент времени. Вот перед нами 2 описания. В первом описании причина предшествует ситуации в виде образа в голове Микеланджело, к которому он стремится. А во втором описании, напротив, все причины в виде действующих физических законов предшествуют ситуации. В силу этого данные описания несовместимы на уровне единого описания, т.к. в этом случае возникает неустранимое противоречие. Но это не значит, что одно из эти описаний ложное. Это означает другое -- они прекрасно работают в качестве дополнительных описаний. Одно описание дополняет другое. Но при этом должен сработать некий триггер, переключающий эти состояния.
Если держаться ближе к физике, то корпускулярно-волновой дуализм объектов микромира прекрасно проявляет работу принципа дополнительности. В одном опыте фотон может проявить себя как волна, а в другом как частица. Но не существует опытов, в которых фотон проявлял бы оба эти противоположные качества одновременно.
Возвращаемся к предмету наших рассуждений. Религиозное и научное описанию мира -- это тоже дополняющие друг друга описания. Между ними не может быть диффузии, иначе наука перестает быть наукой, а религия религией. Верующие ученые умеют щелкать этот триггер перехода от науки к религии. Учись это делать и ты.
К примеру, Ньютон, тоже достаточно яркий ученый своего времени, и тоже достаточно религиозный человек, написал помимо главного своего научного труда "Математические начала натуральной философии" большое количество чисто религиозных трудов, которые были обнаружены не так давно. Понимаешь, религия -- отдельно, наука отдельно. При том что это был один и тот же Ньютон.
Именно этот принцип дополнительности я имею ввиду, когда говорю: "...либо космология, либо богословские диспуты. На выбор."
Мой комментарий:
То, что Эйнштейн не считал себя пантеистом, я узнал из одной из его цитат:
"Ваш вопрос (о Боге) является самым трудным в мире. Это не тот вопрос, на который я могу ответить просто «да» или «нет». Я не атеист. Я не знаю, могу ли я охарактеризовать себя как пантеист. Эта проблема слишком обширна для наших ограниченных умов. Могу ли я не отвечать притчей? Человеческий разум, независимо от того, как хорошо он обучен, не может понять Вселенную. Мы подобны маленькому ребёнку, зашедшему в огромную библиотеку, стены которой забиты книгами на разных языках до потолка. Ребёнок понимает, что кто-то должен был написать эти книги. Но он не знает, кто и как их написал. Он не понимает языков, на которых написаны книги. Ребёнок замечает определённый порядок этих книг, порядок, который он не понимает, но смутно представляет. Это, как мне кажется, отражает отношение человеческого разума, даже наилучшего и самого культурного, к Богу. Мы видим, что Вселенная устроена удивительно, подчиняется определённым законам, но мы понимаем эти законы лишь смутно. Наш ограниченный разум не способен постичь загадочную силу, которая качает созвездия."
В продолжение этой цитаты сразу идет следующая фраза:
"Я очарован пантеизмом Спинозы. Я ещё больше восхищаюсь его вкладом в современную мысль. Спиноза — величайший из современных философов, потому что он первый философ, который относится к душе и телу как к одному целому, а не как к двум разным вещам."
Отсюда вытекает третье описание действий Микеланджело, которое вы забыли, я говорю это из своего опыта, так как именно так происходит написание всех моих статей, постов и комментов - его действия происходят абсолютно спонтанно, слова возникают по ходу написания, я не знаю, какое слово я напишу через секунду. Потому что душа и тело действуют - как одно целое, а не как две разные вещи - как это замечательно сказано в цитате Эйнштейна. Как сказал Иисус: "Не я действую, а Отец действует через меня". То есть для полноты картины нам опять же нужно вернуться к источнику - к Одному Единому Сознанию, которое действует и творит, используя тело и ум, как инструмент. Без этого любая модель и описание, какими бы гениальными и точными в научном плане они бы ни были - не полны. Поэтому Иисус сказал: "Я хочу, чтобы вы нашли Полноту Жизни" - то есть чтобы вы пришли к осознанию собственного сознания, и знали себя, как сознание. Тогда ваше тело и ваш ум становятся прекрасными инструментами для творения и создания новых форм - Вселенная любит создавать формы, но она так же хочет узнать сама себя на глубоком уровне - это два движения Вселенной - движение во вне и возвратное движение вглубь обратно к источнику. Для счастливой и полноценной жизни нужен баланс между двумя этими движениями, двумя измерениями. Отрицая любое из этих измерений жизнь становится либо чудовищно деструктивной (множество примеров мы знаем из истории, особенно истории ХХ века - 150 миллионов человек было убито от безумия, создаваемого человеческим умом), либо чудовищно скучной - есть индийские йоги, которые лежат в кровати, и им лень даже открыть рот, чтобы им туда положили еду. Баланс необходим, как прекрасно было сказано кем-то в Древней Греции (не помню кем, возможно, табличка с этой надписью висела в храме Аполлона в Дельфах, где пребывал Святой Оракул) - "Ничего сверх меры". Другими словами - всегда нужен баланс.
То, что Эйнштейн не употреблял религиозных терминов в своей теории - это скорее вынужденное действие, нежели чем его собственный выбор - если бы он начал это делать, никто из ученых даже не стал бы рассматривать теорию. Я не вижу ничего плохого в совмещении религии и науки, наоборот, полностью за это объединение. В конечном итоге, рано или поздно наука придет и к этому, иначе ей неминуемо грозит кризис или она станет очень деструктивной и станет угрозой для человечества (а в каком-то смысле она уже ей является). Все мы видим, какое воздействие на людей оказывают электронные гаджеты, используемые без сознания. Дети уже не играют во дворе, они все сидят в гаджетах. Еще пара-тройка поколений - и человечество легко может превратиться в зомби, ходящих уткнувшись в гаджеты, и неспособных ни на какое творчество и даже неспособных решать элементарные повседневные бытовые задачи. Тут уже нужна дисциплина, Арианна Хаффингтон - известный американский деятель, рекомендует избавляться от всех гаджетов хотя бы на несколько часов в день. В спальне у нее нет телевизора, компьютера, и она не берет туда с собой телефон и планшет. Хорошее правило, я бы тоже так делал, но компьютер у меня никуда из комнаты не перенести) А, ну да, еще я забыл упомянуть такие пагубные влияния науки без сознания на планету, как загрязнение - сценарий мультика WALL-E вполне себе реален, если человечество не проснется и не осознает свое единство с целым.
Дядя Рома:
"...Для счастливой и полноценной жизни нужен баланс между двумя этими движениями, двумя измерениями. Отрицая любое из этих измерений жизнь становится либо чудовищно деструктивной..."
Если ты внимательно прочитал то, что написано мной о принципе дополнительности, то ты должен понять, что принцип дополнительности не отбрасывает, не отрицает ни одну из систем дополнительного описания. Наоборот, именно в комплексе они и дают описательную полноту. Но не надо их смешивать, иначе вместо гносеологических контрастов познания получишь нечто теплое и мутное. Как иллюстрация: Господь создал мужчину и женщину. Разведя нас по этим полюсам он породил все богатство взаимоотношений между ними, иногда драматичное, иногда запредельно восторженное, а иногда и трагичное. Но стоит ли это всё богатство подменять ровными взаимоотношениями гермафродитов? Неужели гармония должна иметь такую форму? Я бы очень не хотел становится дождевым червём.
Древняя натурфилософия не зря разделилась в свое время на науку и философию. Добавим сюда религию. Это разделение было необходимым и плодотворным. Поскольку мир предстает перед нами во множестве граней, и для каждой из них необходим соответствующий инструмент. Стали мы слабее, когда наше познание разделилось на свои несовместимые формы? На религиозное познание, на научное познание, на философское? Нет, мы стали сильнее, мы стали знать больше. Око нашего познания, раздвоившись, размножившись, дало нам возможность обрести в познании стереоскопическую глубину. Плоская картина мира обрела глубину, объем, новые смыслы и модальности.
Да, как мы отметили, многим ученым были свойственны глубокие религиозные чувства. Возьмём для примера уже упомянутого Гейзенберга, создателя квантовой механики. В какой-то момент он внес в свои уравнения матричной механики такие дополнения, что в целом они перестали противоречить незыблемому закону физики -- закону сохранения энергии. В этот момент он понял, что наконец создана теория, позволяющая заглянуть в глубины мироздания, ранее недоступные человеческому познанию. Он испытал глубокое мистическое чувство, он заглянув в эту бездну, и там он самым непосредственным образом почувствовал присутствие, присутствие Бога, что он впоследствии так ярко описал в свои воспоминаниях. Поэтому лично я считаю Гейзенберга великим йогином, джнани-йогином. Он не рассуждал о Боге, цитируя чьи-то труды, не приводил примеры авторитетных глубокомысленных рассуждений об абсолюте, а он сам, благодаря своему пути познания, ощутил реальность Бога.
Но при этом, заметь, нигде в его трудах по матричной квантовой механике нет ни слова про божественное начало во вселенной. Нет этих слов и у глубоко верующего Ньютона в трудах по классической механике, нет их и в теории относительности Эйнштейна, тоже достаточно религиозного человека.
Андрей, ты, считая, что в науке должно звучать имя Господа, полагаешь, что ты превзошел Ньютона, Эйнштейна и Гейзенберга вместе взятых, людей очень неглупых даже в вопросах религии? Я же считаю, что эти господа правы в этом своем стремлении к чистоте жанров, и что именно таков наш путь познания и развития в этом мире -- познавая многое, приближаемся к единому. В противном случае, получаем не синтез, а пренебрежение.
Мой комментарий:
Палец, указывающий на Луну - это не Луна, Дао, которое может быть выражено словами - не есть истинное Дао. Чтобы ученому познать величайшую загадку Вселенной, ему нужно стать мистиком и заглянуть внутрь самого себя. В Курсе Чудес написано, что все, что происходит - происходит внутри, а не снаружи. Без твоего сознания не было бы мира. Пока достаточное количество людей не придут к этой реализации (которая не имеет никакого отношения к вере) - жизнь на планете не изменится, и человечество будет все вновь и вновь воссоздавать страдания и безумие, которые оно создавало на протяжении многотысячелетней истории. Британский психолог Стив Тейлор провел исследование, в котором он изучал мифологию различных культур, находящихся в различных точках планеты, и во всех этих культурах есть миф о Золотом Веке - когда-то человечество жило в гармонии, в библии это рай. Но потом, когда начал развиваться человеческий ум, поначалу это было прекрасно, но потом человек начал полностью отождествлять себя со своими мыслями, и мы видим к какому огромному количеству безумия и страданий это привело на протяжении истории. Если мы не разотождествимся со своим умом, и не откроем в себе более глубокий вселенский интеллект - человечество просто уничтожит само себя. Буддисты, например, не верят в Бога, когда Будду спрашивали о Боге, он сохранял благородное молчание. Далай-лама говорит: "Моя религия - это любящая доброта". Наука без духовного измерения не спасет мир - она только лишь ускорит процесс усиления безумия, создаваемого людьми. Стив Тейлор, кстати, которого я упоминал выше, недавно написал книгу "Spiritual Science", в которой тоже говорил о необходимости совмещения науки и духовных учений. Вот его сайт, там в свободном доступе есть много его статей, еще он пишет стихи stevenmtaylor.com
Остальные комментарии не влезают в максимальное количество символов
продолжение следует...
При упоминании имени Пифагора в нашем сознании всплывает далекое, школьных лет воспоминание, что кажется была даже Теорема Пифагора. А поэтому, думая о заслугах и достижениях этого древнегреческого персонажа, мы однозначно (как правило) заявляем, что, мол, прославился Пифагор тем, что вывел одноименную теорему - Пифагор придумал Теорему Пифагора - в той или иной степени кривизны, эту мысль могут высказать абсолютное большинство тех, кто учился когда-то в школе, не важно на какую оценку.
Сформулировать Теорему Пифагора сейчас могут уже не все, кто слышал имя Пифагора. Некоторые скромно довольствуются тем, что знают о ее существовании, но это - все, что они знают. Им больше и не надо, ведь Теорема Пифагора, хоть и присутствует в школьном курсе геометрии, но по сути своей находится далеко за пределами простых человеческих надобностей - сдачу в магазине посчитать, например, или годовую бух.отчетность подбить...
Иногда на помощь (если кого-то вдруг невзначай спросят о Пифагоре и его Теореме) приходит стишок-дразнилка - "Пифагоровы штаны во все стороны равны" и невинная улыбка до ушей (О! - что-то умное сказал!) в большинстве случаев помогающая выкрутиться из сложной ситуации, в которой совсем не хочется показаться полным дураком (Да он неграмотный!), но еще больше не хочется неуместно показаться "Самым умным" или представителем "Хомо Ботаникус".
Поэтому, совсем трудно вообразить, каков процент из народонаселения "всея Руси" может не моргнув глазом взять и доказать ее - пресловутую Теорему Пифагора о штанах и треугольниках. Я, например, этого сделать не мог. В школе я всегда имел по математике твердую пятерку, но не помню, что бы в 7-м (в 7-м ли?...) классе наша математичка нам приводила доказательство этой теоремы. Кажется Валентина Викторовна преподнесла нам ее как аксиому опираясь на авторитетность древнегреческого философа. А может быть просто я пропустил этот момент, а дальше это уже нигде не требовалось и в институте мы на мат.анализе и аналитической геометрии занимались делами куда более сложными, Теорему Пифагора не доказывали.
Где-то год назад я вдруг уперся в мысль (а Вы когда-нибудь упирались в мысль? или... может быть когда-нибудь мысль упиралась в Вас?) что к своим 40-ка годам я не знаю, как доказывается Теорема Пифагора.
Я ехал в метро и у меня было минут 30 времени на раздумья, тетрадка и ручка. Задумайтесь между этими строками о том, как хорошо быть математиком! Какие счастливые они - математики, если для счастья им всего-то надо это : бумага, ручка и урна (выкидывать неверные решения). Это сильно воодушевляет и сразу хочется опять стать математиком. Но подумав немного можно догадаться, что философом быть еще счастливее, потому, что философу нужно для счастья еще меньше - бумага и ручка. Урна не нужна. А у меня ее и не было с собой, и может быть поэтому я исписав страницы три я так ничего не доказал, запутался в уравнениях и вдруг услышал название своей станции - выходить пора, урок математики окончен.
Потом я эту тетрадку куда-то далеко засунул, урной так и не разжился, и вспомнил о Теореме Пифагора лишь позавчера - ближе к ночи.
- Непорядок - подумал я, взял лист бумаги, ручку и...
Давайте еще немного поговорим о Пифагоре, потому, что за свершениями великих порой теряются они сами. За первым полетом Гагарина мы не заметили самого человека, потому, что ореол славы вокруг него был в тысячи раз больше скромного летчика ростом в полтора метра, а за культом личности Сталина тоже было незамеченно много всего такого, что лучше совсем не знать.
Вот про Пифагора знать было бы полезно. Я к сожалению знаю мало, да и вообще трудно знать о человеке сталь давней эпохи что-то достоверное - чем дальше в прошлое уходит его тень, тем более искаженной она выглядит, все большими небылицами обрастает. И в какой-то момент становится понятно, что нет никакой возможности разделить вымысел, догадки и объективную историческую хронику - все сильно условно, метафорично, символично...
Родился Пифагор 26 веков назад на греческом острове Самос и не носил штанов (в древней Греции штанов не носили). Это был красивый лицом и отлично сложенный юноша с ясным пытливым взором - тогда и десятилетия спустя его сравнивали с Аполлоном, а кто-то даже пускал слухи о том, что связь между Аполлоном и Пифагором действительно есть и одно бедро Пифагора из золота и в этом он чуть-чуть Аполлон. Но звали его тогда не Пифагором. Это прозвище он получил лет через 40 за свою способность убеждать речь (Пифагор по древне-гречески - "Говорящий Убедительно").
За полвека он посетил Египет, Вавилон, Индию. Его интересовали науки и мудрости стран востока. Постигнув многое из этого он вернулся на Самос и попытался создать на острове свою школу. Я не говорю "философскую школу", потому, что не было тогда философии и само понятие "философии" годы спустя принес в наш мир именно Пифагор, но это случится на на Самосе, а на севере Италии в Кротоне, где бежавший вскоре с Самоса от преследования за свои аристократические убеждения Пифагор провел более 30 лет, создал крупнейшую в ту эпоху школу (уже философскую) и подарил миру множество открытий, теорем и мыслей, которые до сих пор интересны и часто выше понимания большинства из ныне живущих, как Теорема Пифагора.
Сейчас бы философскую школу Пифагора назвали бы сектой. Всякий входящий в нее должен был добровольно расстаться со всем своим имуществом в пользу школы. Всякий вступающий в эту философскую общину давал довольно серьезные клятвы и обещания, которые сейчас очень коррелируют со вступительными процедурами в то или иное религиозное общество. Так, в частности, ученики Пифагора клялись не причинять насилие, не проливать крови, как человеческой, так и животных, не есть мяса и не поддерживать тех, кто занимается забоем скота, хранить тайны своей философской школы, тайны учителя и тайны своих друзей, не обучать других за деньги, а только за то, что ученик достоин быть обученным и приобщенным к знаниям и мудрости.
Полный курс обучения в Пифагорейской школе длился 15 лет. 5 из них ученик ничего особенного не делал, но ему воспрещалось разговаривать - молодой пифагореец не имел права проронить ни слова, будь он на базаре и приобретая еду, будь он в школе среди других молодых философов, будь один на один с собой в пустыне. Следующие пять лет ученик мочка слушал лекции Пифагора не смея задавать вопросы и даже видеть лица своего учителя. Только последние 5 лет он имел право спрашивать, дискутировать, спорить. Но к тому времени все подобные желания, как правило, иссякали и ученики продолжали слушать - учителя или богов, но именно в этом времяпровождении им и открывались тайники наук и искусств.
Одновременно в школе обучалось до 2000 учеников, а по тем временам это было - население небольшого города, а в Древней Греции даже небольшой город мог быть самостоятельным государством и статус независимого государства у Пифагорейской школы был - эта небольшая страна в которой правили Философия, Математика, Астрономия и Музыка Сфер (впервые Музыка Сфер была упомянута тоже Пифагором) просуществовала более трех десятилетий без всякой армии, казначейства и политики, а когда в Кротоне вспыхнула смута, школа была разорена и 90-летний Пифагор погиб с мечом в руке.
Кто-то из учеников Пифагора спасся. В частности Платон, благодаря которому споры о некогда существовавшей Атлантиде не стихают и по сей час. Философы-беженцы рассеялись по всей Ойкумене и знания их стали достоянием греческого и римского миров. Впоследствии на них базировались учения Птолемея, Аристотеля и даже Николая Коперника. Многие мысли высказанные Пифагором и его учениками в их изначальном виде обсуждаются до сих пор : это вопросы смысла бытия и странствия души в подлунном мире, ведь согласно Пифагору душа перерождается многократно терпя муки в нашем мире и очищаясь от греховных страстей и привычек, и чем строже мы соблюдаем Пифагоровы заповеди о не причинении вреда другому и не пролитии крови человеческой и животных, тем скорее наша душа обретет пристанище в небесном мире, где нет страдания.
Впрочем, о Пифагоре и его последователях можно говорить очень долго. Жаль, что у нас не всегда на это есть время и тем более жаль, что как правило разговор этот начинается "штанами", "штанами" и заканчивается...
Итак. Поздним вечером я вновь начертил на листе бумаги прямоугольный треугольник. Примерно такой, как на иллюстрации выше. Для тех, кто подзабыл или не знал, я объясню на всякий случай: Прямоугольным он зовется за то, что один из его углов прямой (90° по транспортиру). Причем, можно догадаться, что двух прямых углов в одном треугольнике не бывает - остальные два обязательно острые. Во всем остальном прямоугольные треугольники могут различаться - их стороны прилегающие к прямому углу могут быть как равными, так и сильно различающимися по длине. Я нарисовал один из бесчисленного количества вариантов. Но сути это не меняет и от различий в соотношении сторон треугольника мое доказательство не потеряет справедливости.
Треугольник ABC с прямым углом при вершине C имеет катеты a и b, и гипотенузу c. Катетами зовутся стороны треугольника образующие прямой угол (перпендикулярные друг другу). Гипотенуза соединяет катеты и лежит напротив прямого угла. Гипотенуза - всегда самая длинная сторона треугольника.
Требуется доказать, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
c² = a² + b²
Если бы где-то поблизости был нарисован квадрат со стороной c, то c² как раз была бы его площадь. Предлагаю нарисовать такой квадрат - построить его на стороне c нашего треугольника.
Я осмелился так же провести две прямые линии - одну из вершины A параллельно стороне треугольника BC (получилась прямая AA'), другую из вершины B параллельно стороне AC (прямая BB'). Меня заинтересовала точка их пересечения C1 и новая, построенная таким образом фигура.
Нетрудно заметить, что вновь построенный треугольник ABC1 во всем равен треугольнику ABC поскольку ACBC1 - прямоугольник, а диагональ AB делит его на два конгруэнтных (равных, совпадающих при наложении) треугольника. Стороны BC = AC1 = b , AC = BC1 = a, угол при вершине C1 - прямой.
Теперь нам ничто не мешает построить аналогичным образом по аналогичному треугольнику на каждой стороне квадрата ABDE.
Что бы Вам не запутаться в чертеже, я раскрасил вновь построенные треугольники в немного разные цвета, но сами треугольники, будучи конгруэнтными (равными по всем своим параметрам) очень удачно сложились в мозаику внутри нашего квадрата ABDE со стороной c покрыв почти всю его площадь (c2) и пустым осталось лишь маленькое квадратное окошко C1C2C3C4.
Теперь мы знаем, что площадь большого квадрата (ABDE) равна четырем площадям треугольника ABC и одно попугайское крылышко плюс площадь маленького квадрата в середине (C1C2C3C4) - для простоты обозначим ее S.
Из школьного же курса геометрии мы помним, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Это и доказывать не надо, ведь мы только-что это видели воочию, когда строили первый внутриквадратный треугольник являющийся ровно половиной площади от прямоугольника ACBC1.
Распишем это выражение:
c² = 4 × ab/2 + S = 2ab + S
Нам осталось узнать значение S.
Из рисунка видно, что, поскольку треугольник ABC1 = треугольнику ABC и отрезок AC = отрезку BC1 = a.
В тоже время, BDC2 = треугольнику ABC и отрезок BC2 = отрезку BC = b.
Получается, что сторона квадрата C1C2C3C4 = b - c, а его площадь S = (b - a)².
(b - a)² - бином Ньютона второй степени или говоря более простым школьным языком - квадрат разности.
раскроем скобки:
(b - a)² = (b - a) × (b - a) = b × (b - a) - a × (b - a) = b² - 2ab + a²
S = b² - 2ab + a²
Подставим значение S в предыдущее равенство:
c² = 2ab + S = 2ab + b² - 2ab + a²
Обратите внимание на два одинаковых по модулю слагаемых, но участвующих в нашем равенстве с разными знаками: 2ab и - 2ab. Они взаимовычитаются и исчезают из выражения.
И посмотрите, что в нем остается:
c² = 2ab + b² - 2ab + a² = b² + a²
c² = b² + a²
Все. Теорему мы доказали. У меня ушло на это пол тетрадного листа и пять минут времени. Почему это не получилось год назад? - я очевидно пошел в рассуждениях другим путем и заплутал в шуме мчавшегося по тоннелю поезда. А тут - в спокойной обстановке - все благоприятствовало успеху.
Пифагор был не первым из мыслителей, кого волновало решение этой задачи. Древние египтяне уже знали секрет треугольника со сторонами кратными целым числам 3, 4, 5 и с помощью веревок соответствующей длины точно отмеряли прямые углы при строительстве пирамид - они решали задачу обратного характера - при каких соотношениях сторон треугольник будет прямоугольным. Что-то об этом знали мыслители Вавилона. Но в общем виде и с алгебраической точностью задачу удалось впервые решить Пифагору. Он долго не мог найти это решение и в его поисках долго постился и молился двенадцати олимпийцам - древне-греческим языческим богам - проводя в медитациях дни и недели. И когда решение было найдено, Пифагор счел его сильнейшим из своих достижений, что вполне соответствует реальности, ведь за доказательство этой теоремы прежде всего мы и знаем теперь Пифагора.
В последующие века и тысячелетия были предприняты тысячи попыток найти новые способы доказательство теоремы Пифагора. И они были найдены. На сегодняшний день их известно около четырех сотен. То, которое привел я Вам, значится в числе ортодоксальных, но есть и совершенно уникальные решения с применением дифференциальных уравнений и пр. Думаю, что они имеют совсем другой смысл - не доказать то, что сто раз уже доказано, а просто попрактиковаться в решении дифференциалов, что для математиков, безусловно, полезно, а нам может показаться совсем непонятным.
В заключении я хочу немного вернуться к моему доказательству и обратить Ваше внимание на частный случай, когда у прямоугольного треугольника катеты равны и треугольник является равнобедренным. Тогда наш маленький квадратик вырождается. Длина его стороны становится равной нулю, но этот частный случай не умаляет справедливости решения.
Как познать истину и как улучшить наш мир? Путь к ответам на эти вопросы лежит через основной вопрос философии - вопрос о соотношении материального и идеального. Сегодня мы решим этот вопрос, пользуясь материалом науки геометрии.
Здравствуйте, товарищи. Сегодня у нас вторая беседа из цикла «диамат, истмат и физмат».
Надо сказать, что наши беседы касаются такого обширного материала, который одному человеку трудно переработать и невозможно вынести на экран. Поневоле придётся оставлять за кадром многие интересные подробности физических теорий. И всё-таки мы будем решать важнейшую для плодотворной практики задачу – задачу разобраться в истинном устройстве действительного мира. Сегодня, на примерах точных наук, в частности, геометрии, мы постараемся раскрыть основной вопрос философии – вопрос о соотношении материального и идеального.
…
То, что существует в действительности независимо от нас, а в нашем присутствии проявляет себя воздействием на наши органы чувств (непосредственно или посредством к-л. прибров), по определению относится к сфере материального.
То же, что возникает в нашем сознании в результате такого воздействия (непосредственно или опосредствованно), относится к сфере идеального.
Некоторые желающие быть марксистами на этом ставят точку, полагая, что тем самым полностью с марксистских позиций разрешили основной вопрос философии. К сожалению, склонность принимать поверхностное знакомство (и запоминание формальных определений) за понимание сути вопроса, прочно вошло и никак не может выйти из моды.
А между тем формулировки определений и научных принципов – не исходный пункт исследования, а его результат… И кто хочет сразу без лишних хлопот овладеть этими готовыми выкристаллизованными результатами, рискует оставить за их рамками всё самое интересное и важное, в результате наука оказывается у него оторванной от практики, а практика от науки. Чтобы этого не случилось, мы не будем изображать понимание там, где его не имеем, а будем его настойчиво добиваться. И постараемся при этом не забывать то, на что указывал в своё время Маркс:
«...в науку нет широкой столбовой дороги и только тот может достигнуть её сияющих вершин, кто не страшась усталости, карабкается по её каменистым тропам.»
— предисловие к французскому изданию «Капитала»
Любой объект из действительного мира предстаёт перед нами во всей сложности и многкрасочности. Так, например, голубой цвет, робоэдрическая форма и твёрдая консистенция не могут существовать в действительности как таковые, сами по себе. Они существуют лишь как неотъемлемые свойства материальных предметов, в частности, кристаллов медного купороса.
Тем не менее эти самые свойства мы можем отвлечь, абстрагировать от (материальных) предметов и рассматривать сами по себе. Можно рассматривать такую абстракцию, как число. Числа тоже не существуют как таковые. В самом деле, всякая совокупность предметов, будь то стадо овец или поленница дров существует и непосредственно воспринимается во всей своей конкретности и сложности. Выделение в ней отдельного свойства – числа есть результат известного анализа… И на примере числа понятно, что если абстрактное не существует как таковое, это не означает бесплодность, ненужность абстракций. Напротив, способность отвлекаться от второстепенного и рассматривать предметы и явления действительности в существенных для данного рассмотрения признаках и отношениях – важнейшая способность человеческого разума.
И такая форма отражения (в частности, в нашем разуме) предметов и явлений в существенных признаках и отношениях называется понятием.
Но если понятие – результат деятельности разума, есть ли понятия объективно, независимо от нашего сознания или, как утверждают позитивисты, понятие – только результат деятельности разума, соединяющего элементы нашего опыта (или элементы сознания) согласно принципу «экономии мышления»?
Принцип «экономии мышления» был сформулирован знакомым нам по первой беседе Эрнстом Махом. А вот что писал Энгельс в работе «Анти-Дюринг. Переворот в науке, произведённый господином Евгением Дюрингом» еще до того как подобный переворот произвёл господин Мах:
«…мышление, если оно не делает промахов, может объединить элементы сознания в некоторое единство лишь в том случае, если в них или в их реальных прообразах это единство уже до этого существовало. От того, что сапожную щетку мы зачислим в единую категорию с млекопитающими, – от этого у нее еще не вырастут молочные железы.»
Энгельс не застал результатов дальнейшего развития принципа «экономии мышления» Ленин уже отчасти застал. В упомянутой в прошлой беседе работе «материализм и эмпириокритицизм» ему пришлось доказывать, «куда растёт» позитивизм. Дальнейший ход истории показал, куда он действительно вырос (мы этого касались в прошлой беседе).
…
Объективное бытие понятий не означает, конечно, что существует где-то параллельно материальному платоновский идеальный мир, в котором живут понятия; мир идей, где можно встретить не какой-то конкретный стол, а «стол вообще», где можно встретить числа сами по себе, не привязанные к овцам или дровам, где можно встретить не прекрасного человека или прекрасное произведение искусства, а прекрасное как таковое…
Объективное бытие понятий означает просто, что объективно есть всеобщее, воплощённое или могущее воплотиться в бесчисленном множестве конкретных проявлений. … Объективное, не зависящее от нас бытие стола вообще означает, что объективно всем единичным столам присуще то общее, некие общие для всех столов признаки и соотношения, которые делают эти предметы столами. Также понятие натурального числа – не условность. Оно отражает свойство совокупности предметов, одинаковое для совокупностей, предметы которых можно сопоставить по одному.
…
Итак, всеобщее, идеальное есть объективно, но не иначе как в своём воплощении в единичном, материальном. Мы можем и во многом должны в своей практике абстрагировать всеобщее от единичного. Мы абстрагируем одни (существенные для данного рассмотрения, для данной практической задачи) свойства предметов от других (несущественных). Но, более того, бывает полезно абстрагировать весь этот идеальный мир от его материальных воплощений.
Мы только что отказали платоновскому идеальному миру в существовании, но не можем отказать ему в бытии. Если мы говорим: «нечто существует», у нас вправе спросить: «где и когда существует». Если мы говорим о чём-то, что оно есть, такой вопрос неуместен, Если вы спросите, где и когда есть теорема Пифагора, вряд ли можно ответить что-то лучше, чем то, что она есть в идеальном мире и ныне и пристно и во веки веков.
В этом идеальном мире живут и развиваются научные теории в определённой степени независимо от материального мира. В прошлой беседе мы сказали, что наука зависит от практики. Нет ли здесь противоречия? Противоречия в формально-логическом смысле (как наличия в мышлении взаимоисключающих друг друга суждений в одно и то же время в одном и том же отношении) здесь нет. Здесь есть противоречие в диалектическом смысле как свойства, присущего не (ошибочному) мышлению, а самому объекту.
Диалектические противоречия встречаются нам на каждом шагу, но метафизически настроенный ум от них открещивается, в результате часто попадая впросак. Один из примеров диалектического противоречия есть в понятии «изменение». Изменяющееся с одной стороны перестаёт быть равным себе (иначе оно было бы неизменным). С другой стороны оно остаётся равным себе (иначе его бы просто не стало: если вы стали старше, умнее, в чём то поменяли привычки – то вы изменились, но вы остались собой. Если же вы, боже упаси, померли, сказать о вас, что вы изменились, было бы уже неуместно по причине того, что вас просто нет. И, кстати, если сказать, что капитализм со времён Маркса изменился, значит признать, что он продолжает оставаться собою со всеми присущими капитализму вообще прелестями)
Вообще, часто бывает, что если об одном и том же можно высказать противоречащие и даже противоположные по форме высказывания, истина не где-то в середине, а в единстве противоположностей, каждая из которых в диалектике именуется моментом этого единства.
…
Теперь, после краткого отступления, вернёмся к нашему идеальному миру и скажем, что в нём есть момент независимости от материального мира. Основанием такого утверждения является возможность получения нового знания без обращения к опыту.
На практике это выглядит так. Вместо многокрасочного мира вообразим себе чистое ничто. Ну или ладно, да простит меня Гегель, не ничто, а сущую мелочь – точку:
Первая фраза знаменитых «Начал» уважаемого нами товарища Эвклида такова: «точка есть то, что не имеет частей». Как видите, сущая мелочь.
О точке самой по себе, кроме того, что она есть, можно сказать только то, что она не имеет частей и вообще лишена каких-либо свойств.
Давайте теперь внесём в наш идеальный мир ещё одну точку.
Теперь помимо того, что точки у нас есть, что каждая лишена каких бы то ни было свойств, мы можем сказать, что их 2. И более того, мы можем провести от одной до другой отрезок и сказать, что он имеет некоторую длину:
Но мы ещё не можем измерить эту длину (т. к. её не с чем сравнивать). Мы также не можем говорить о направлении, в к-м расположена одна точка относительно другой, ведь для этого нам бы пришлось привязать систему координат к чему-то внешнему по отношению к тому, что только дано: к 2 точкам.
Ну что, товарищи, пока наш идеальный мир какой-то сухой и блеклый. Не волнуйтесь, мы его раскрасим. А пока позволю одну ремарку. То, что творится в нём, в нашем идеальном мире порождается не из чистого мышления. Чтоб внести в этот мир 2-ю точку, нам нужно представление о том, что в пространстве можно расположить 2 точки, а эта простейшая аксиома обоснована опытом взаимодействия с материальным миром.
То есть мы тут занимаемся тем, что впускаем жителей в идеальный мир из мира материального. Скоро мы увидим, что только они там по видимости обоснуются, размножатся, обретут независимость от материального мира, как нам придётся их из идеального мира выпускать обратно в материальный, иначе они там … не выживут…
Но вернёмся в наш идеальный мир и внесём в него третью точку.
Имея 3 точки мы можем провести 3 отрезка и теперь мы можем измерить их длины, сравнивая друг с другом и приняв один из них за единицу измерения:
Кроме того, теперь мы можем ввести в рассмотрение понятие угла между отрезками. Получившуюся фигуру, состоявшую из 3 точек, попарно соединённых отрезками мы можем как-то назвать. Например, треугольником:
А теперь самое интересное. Имея уже некоторый набор понятий, мы более ничего не привнося извне, в самом этом идеальном мире, можем получить новые сведения. Например, такое: каким бы ни был треугольник, сумма его углов будет одна и таже (180 градусов):
Мы, конечно, не будем здесь заниматься доказательством этой и других теорем, устанавливающих соотношения между элементами треугольника. Хотя, как говорил Ломоносов, математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит. Наша задача пока привести в порядок в уме лишь понимание отношения идеального к материальному.
А именно, мы начинаем понимать, что абстракные понятия как бы начинают жить своей жизнью в идеальном мире. И жизнь эта заключается во всеобщей связи понятий друг с другом.
В этом мире царит абсолютная точность и логическая непреложность. Например, если бы мы стали «доказывать» теорему о сумме углов треугольника в грубом материальном смысле, нам следовало бы по возможности аккуратно напилить сотню треугольников, вооружиться угломерным инструментом и калькулятором. Обработав статистический материал, мы теорему «доказали» бы с погрешностью, положим, не более четверти процента для некоторой статистической выборки. В идеальном мире теорема доказывается с абсолютной точностью для бесконечного множества треугольников.
…
Мы со школы, надеюсь, помним теорему Пифагора, которая тоже в идеальном мире доказана с абсолютной точностью без каких-бы то ни было измерений. Применить, однако, её можно ко вполне материальным предметам в форме прямоугольного треугольника. Это настолько очевидно, что мы не отдаём себе отчёта о первостепенной важности связи теории с практикой.
Но интереснее (для раскрытия философии вопроса), что на практике теорему Пифагора можно применить не только к материальным треугольникам. Как вы думаете, что это такое?
Это т. н. треугольник сопротивлений. … Оказывается, по теореме Пифагора можно рассчитать не только длины сторон материального треугольника, но и полное сопротивление переменному току цепи с активной и реактивной нагрузкой.
Здесь мы имеем пример того, как обычная школьная геометрия как наука о пространственных формах находит более широкое применение, чем только для описания обычного физического пространства. То есть, физический треугольник может быть моделью цепи с активной и реактивной нагрузкой, и эта цепь может быть моделью физического треугольника. При том эти совершенно разные вещи имеют одно представительство в идеальном мире. В идеальном мире теорема Пифагора не похожа ни на то ни на это… Так возникает важная мысль, что идеальное есть отражение одного объекта в другом. Философское понятие «отражение» означает перенос структуры из одной системы в другую (система – это множество элементов, но не просто множество, а имеющее некую структуру. А структура – это подчиняющаяся неким закономерностям связь между элементами).
К философскому понятию «отражение» очень близко математическое понятие «отображение», что означает, что каждому элементу одного множества по опред. правилу ставится в соответствие элемент другого множества, ну, к примеру, активному и ёмкостному сопротивлениям ставятся в соответствие катеты, а полному сопротивлению – гипотенуза прямоугольного треугольника. При этом отражаться (или отображаться) один объект в другом может не только в результате непосредственного воздействия на него, но и оттого, что оба объекта, будучи хоть в разных галактиках, подчиняются одним законам.
Когда мы говорим «отражение», обычно уточняем, в чём это отражение – в нашей голове или на каком то ином носителе – на чертеже, в историческом документе, на киноплёнке, на жёстком диске компьютера. Когда мы говорим «идеальное» - мы имеем в виду отражение, отвлекаясь (абстрагируясь) от того, в чём отражается, отвлекаясь от конкретного носителя и как бы проектируя отражение в идеальный мир.
И в сознании человека (и в идеальном мире где бы он ни был) отражается действительный мир. Сознание – это высшая форма отражения, но не единственная. (Ленин в «материализме и эмпириокритицизме», в частности, писал: «…логично предположить, что вся материя обладает свойством, по существу родственным с ощущением, свойством отражения…»).
Итак, в результате отражения действительности, в сознании возникает её модель. А с моделью можно совершать действия вместо оргинала (не обращаясь к нему), а результат переносить на оригинал. Теория – тоже модель некоторой реальности. И её можно сколь угодно развивать. В геометрии можно дойти до исчисления площадей и объёмов различных криволинейных геометрических фигур, которые суть абстракции от форм материальных тел действительного мира … Затем можно мысленно выйти в 4-мерное пространство, пространство, в котором можно провести 4 взаимно перпендикулярные прямые, и строить в нём 4-мерные графики функций 3 переменных, к-е в свою очередь отражают действительные процессы действительного, 3-мерного мира. То есть, даже такие высокие абстракции, как многомерные и даже бесконечномерные пространства, оказываются моделями некоторых явлений действительного мира.
…
И при всём том кажется, что условием самой возможности математических рассуждений являются «чистые», данные априори, независимо от опыта, представления о пространстве. Примерно таких взглядов придерживался Иммануил Кант – мыслитель действительно великий, давший толчок развитию диалектики, создавший гипотезу образования Солнечной системы естественным путём из газово-пылевой туманности и много других интересных мыслей высказавший, но при этом нагородивший искусственных преград в теории познания.
С математической стороны кантовскому априоризму неожиданно нанёс удар математик Николай Иванович Лобачевский.
…
С древности предпринимались попытки доказать аксиому о параллельных, то есть логически вывести её как теорему из других аксиом. Аксиома о параллельных – одна из аксиом, положенных в основу построения геометрии Эвклидом и сформулированная им в вышедшей в 3 веке до нашей эры книге «начала» так:
«…если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых (меньше 180 градусов), то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.»
В современных курсах геометрии обычно приводится другая, равносильная формулировка этой аксиомы: «Через точку, не лежащую на данной прямой, нельзя провести более 1 прямой, параллельной данной»
По-видимому, Джироламо Саккери в начале 18 века впервые попытался доказать аксиому о параллельных от противного, то есть, принял за исходное противоположное ей утверждение и развивая из него следствия, надеялся придти к противоречию. Пришёл он не к внутреннему противоречию теории, а к вопиющему противоречию с тем, что мы видим на чертежах. Через 100 лет Лобачевский проделал в общем-то то же самое, но он первый сделал из этого верный вывод. Вот что он пишет: «напрасное старание со времён Эвклида, в продолжение 2000 лет, заставило меня подозревать, что в самих понятиях ещё не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты.» («новые начала геометрии», 1835)
Лобачевский показал, что исходя из иного набора аксиом, иной аксиоматики, которая противоречит аксиоматике Эвклида, можно строить внутренне непротиворечивую теорию…
Чертежи упорно показывали эвклидовость пространства, но Лобачевский рассуждал о геометрии как о логической теории, где нужно заботиться о логической строгости рассуждений, а не о согласии с привычными чертежами. В своей геометрии он дошёл до исчисления площадей и объёмов и неэвклидовой тригонометрии. И нигде этой теории не было видно конца – чем больше теорем доказано, тем больше новых возможностей её развития возникает. И при этом нигде не предвидится, что мы рано или поздно придём к логическому противоречию.
Таким образом Лобачевский привнёс новое понимание о взаимоотношении материального и идеального. Можно строить разные идеальные теории исходя из разной аксиоматики, а соответствие той или иной теории к тому или иному кругу явлений может показать лишь опыт.
Опыт, в частности, показывает, что действительное пространство лучше и проще описывается геометрией Эвклида. Геометрия Лобачевского казалась абстрактной моделью без оригинала. Лишь после смерти Николая Ивановича наглядное истолкование его геометрии нашёл Бельтрами.
В своей работе ЛОР врачи пользуютя такими вот ушными воронками:
….
К ушным воронкам ни Лобачевский, ни Бельтрами отношения, скорее всего не имеют, но…уж больно форма этого инструмента напоминает псевдосферу. А это поверхность, на которой, как показал Бельтрами, реализуется часть плоскости Лобачевского, если только прямые геометрии Лобачевского интерпретировать как геодезические линии псевдосферы. Тогда в полном согласии с геометрией Лобачевского выясняется, например, что сумма углов треугольника меньше 180 градусов:
Кстати, попробуйте привести пример реализации такой геометрии, где сумма углов треугольника всегда больше 180 градусов.
Заметим отсюда, что ставить вопрос об истинности теории как таковой некорректно. Можно говорить об истинности того или иного суждения в рамках той или иной теории. Например, в рамках геометрии Эвклида истинно, что сумма углав треугольника всегда = 180 градусам, в рамках геометрии Лобачевского – что она всегда меньше 180 градусов и лишь в пределе стремления площади треугольника к нулю к этой величине стремится. Но это лишь формальное понимание истины как свойства присущего тем или иным объектам теории.
Материалистическая диалектика вкладывает в понятие об истине иной смысл. Истина – это соответствие теории по отношению к некоторой конкретной действительности. Иными словами, истина всегда конкретна.
Даже, казалось бы, такую очевидное теоретическое положение, как «1+1=2» на практике нужно применять с умом. Если вы сложите яблоко с грушей, то получите 2 фрукта, если же кошку с мышкой – результат может быть иной. Если сложить литр воды с литром спирта, то получится лишь примерно 1,93 литра смеси, а при сложении вероятностей 1+1 будет ровно 1 (вероятность больше 1 быть не может по определению). Есть разные объекты – векторы, матрицы, которые можно складывать, но по правилам, отличающимся от правил сложения действительных чисел.
Но диалектик-материалистическое понимание того, что истина всегда конкретна в корне противоположно позитивистскому пониманию, что наука должна заниматься описанием конкретных явлений, отказываясь от поисков объективной истины. Согласно марксизму наше обладание истиной – не результат того, что нам удалось экономно описать наши ощущения и её объективность не в том, что нам удалось договориться о характере такого описания. Наше обладание истиной означает, что нам удалось верно отразить в теории существенные для данного исследования стороны объекта, при этом истина в диаматовском смысле всегда объективна, а это означает, что существование отражаемых в теории объектов и их свойств не зависит от нас.
Природа не обязана подчиняться нашим законам. И если мы хотим подчинить природу, то должны подчиниться её законам (которые мы должны познать как объективную истину). Причём это касается не только законов неживой природы, но и законов общественной жизни (естественно, речь об объективных, а не о юридических законах). А подчиниться законам как раз означает получить возможность господства над обстоятельствами. Вот такая диалектика.
Спасибо за внимание. До новой встречи, в которой мне хотелось бы поговорить уже не о геометрии, а о ньютоновой механике и в связи с нею об абсолютной и относительной истине.
(конец второго выпуска)
Алексей Дмитриев
Выспаться, провести генеральную уборку, посмотреть все новые сериалы и позаниматься спортом. Потом расстроиться, что время прошло зря. Есть альтернатива: сесть за руль и махнуть в путешествие. Как минимум, его вы всегда будете вспоминать с улыбкой. Собрали несколько нестандартных маршрутов.