Учеба за границей

Cah - cosine [is the] adjacent [leg over the] hypothenuse, то есть косинус есть отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Наконец, Toe - tangent is the opposite leg over the adjacent one.

Мнемоническое правило придумали в американских школах где-то в первой половине XX века, если не раньше. Вероятно, несколько позже вокруг этого маразма настроили "легенду", например о племени гипотенов, которые строили дома-треугольники (trigon) у дерева (отсюда trigon-on-my-tree - тригонометрия), а Сокатоа было имя вождя. Упоминаются ранние версии, где это название горы в Южной Америке.

В общем, такую вот чушь проходят американцы в 10 классе. Обычно без пантомим, тут училка перестаралась. Потом в 11 или 12 классе они могут пройти её опять. Ведь в 10 классе из тригонометрии они узнают только определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса и почти ничего не узнают про их свойства, итого шесть бесполезных определений. Так что когда в 11 или 12 классе вводится настоящая тригонометрия (в курсе Algebra-2 или Precalculus), ученики ни черта не помнят и заново проходят определения.

Основы матана, как и другие курсы, в США проходят как правило каждый учебный день, то есть около 180-190 дней по 50-60 минут. И идут туда не все. Стандартный набор математических курсов заканчивается в 12 классе "преданализом", о котором я, возможно, напишу в одной из следующих статей. Чтобы попасть на матанализ, ученик должен как минимум опережать стандартную программу минимум на год. Вероятно, из предыдущего курса он уже имеет представление о пределе (но, в отличие от русских школьников, не имеет представление о производных, - в России к ним готовят уже в 9 классе на физике). Также ученик должен сам пожелать изучать этот предмет: обычно в 12 классе проходить математику не обязательно, и вместо матана можно выбрать математические курсы попроще типа статистики или бизнес-матана. Так что имеем взрослых отборных энтузиастов, занимающихся матаном что-то около 170 астрономических часов в классе, не считая домашек.

Неудивительно, что американский школьный матан гораздо сильнее российского. Как уже сказано в предыдущей статье, для желающих и способных учеников отставание от РФ в средних классах сменяется стремительным опережением в последних классах. В итоге американские отличники не умеют решать алгебраические уравнения, обычные для российских хорошистов, зато заткнут за пояс большинство российских выпускников в матанализе.

Итак, что же проходят американцы в курсе AP Calculus? Курса два: AP Calculus AB и AP Calculus BC. Второй включает всё то же, что первый, и еще немного. Кстати, поэтому для изучавших "сложный" курс BC экзамен по BC оказывается проще, чем по AB: времени на экзаменах выделяется одинаково, задач сравнимое количество, но из-за более широкой программы BC на экзамене даются более простые задачи из подмножества AB. Это, а также то, что курс BC проходят обычно более способные и целеустремлённые ребята (а иногда его сдают те, кто изучал матан целых два года), процент успешно сдавших сложный BC гораздо выше, чем простой AB: 78% со средним баллом 3,75 против 58% со средним баллом ниже 3,0.

Темы, изучаемые в предмете AP Calculus AB:

• графики. Это сравнительно сложная тема, типичная задача - учитель от руки рисует какие-то несимметричные гладкие немонотонные функции 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) и просит нарисовать композицию 𝑓(𝑔(𝑥))

• пределы функций (по Коши), непрерывность

• производные, вывод производных элементарных функций, сложных, неявных, обратных, производные высших порядков

• аппроксимации, правило Лопиталя, теорема о среднем значении

• анализ функций с помощью производных, решение оптимизационных задач, неявные зависимости

• определённый интеграл через суммы Римана, первообразная и неопределенный интеграл, теорема Ньютона-Лейбница

• приёмы интегрирования, практические задачи на интегрирование

• решение дифференциальных уравнений методом разделения переменных на несложных примерах

В предмете AP Calculus BC проходят то же самое и вдобавок:

• больше приёмов интегрирования

• решение дифуров численным методом Эйлера

• движение вдоль гладкой кривой

• производные в параметрических уравнених, полярных координатах, векторных функциях

• последовательности и ряды, определение области сходимости, разложение в ряд Тейлора, оценка остаточного члена

На мой взгляд, это глупо: разложение в ряд Тейлора - чуть ли не основной результат матана, и его стоило изучать на любом уровне сложности. Тем более что американские школьники и большинство студентов не проходит действительные числа, так что о строгости всего матана говорить не приходится. Настоящий матан (Real Analysis) проходят обычно на третьем курсе вуза те студенты, кто выбрал математику своей специальностью.

Сравним американский школьный матан (кстати, он обычно и в вузе засчитывается как предмет 1 курса, даже для будущих математиков) с российским. В российской школьной программе изучается или изучалось:

• действительные числа (на пальцах)

• последовательности - введены в школу в 1960-х (программа Кочеткова), убраны в 1970-х (программа Колмогорова)

• пределы функций (по Коши) - введены в 1960-х, убраны в 1970-х

• производные - введены в 1960-х, с 1970-х даются на пальцах

• приемы дифференцирования

• анализ функций с помощью производных

• интегралы - введены в 1970-х: неопределенные и определенные (нестрого)

Таким образом, американский школьный матан гораздо сложнее российского и по охвату тем больше похож на полтора-два семестра первого курса математических и математикоёмких специальностей в российских вузах. Однако он гораздо менее строг, чем последние, и задачи, которые там учат решать, проще Демидовича (вернее, в Демидовиче есть много задач такой сложности, какой в американских школах не дают).

Обеспечивается такой чудесный результат тем, что:

• в США на матан идут только отборные школьники - опережающие среднюю программу и желающие совершенствоваться. Как правило они несколько старше российских 11-классников и стартуют с более высокого уровня релевантной математики (в алгебре они слабее, зато уже краешком изучали пределы)

• в США матану уделяют раза в два больше времени, чем в России. Российский курс тянется немногим больше года по 3 45-минутных урока в неделю 8 месяцев в году, американский - 9 месяцев по пять 55-минутных уроков в неделю. Причем в российскую программу засовывают еще материал, с матаном не связанный.

Полагаю, иная ситуация в России на углублённом уровне математики: 8 часов математики в неделю (даже если "часы" 45-минутные, и половина из них идёт на геометрию и олимпиадную математику) при более высоком уровне предшествующей подготовки наверняка позволяют учить матан серьезнее, чем в США, если российская физмат-школа поставила это своей целью. Хотя обычно российские ФМШ предпочитают вместо сурового матана проходить теорию чисел, линейную алгебру и другие интересные ветви математики. (Этот абзац может быть интересен @LemurS в свете его комментария.)

Следующие статьи планирую посвятить: "продвинутому матану" (редкий в США курс), "линейке и дифурам" (почти недоступный курс, требующий опережения стандартной программы на три года), "основам статистики" и "преданализу".

Также, возможно, расскажу про "алгебру-2". Этот курс проходит большинство американцев, он не относится к "опережающей" математике, он еще слабый на фоне российской школы, но уже галопом по европам обгоняет её по охвату. Типичный ученик, изучавший "алгебру-2", ничего не научился решать, зато уже слышал про тригонометрию (напомню, вопреки массовым ложным воспоминаниям, что в России тригонометрию изучают только в 10 классе), логарифмы, комплексные числа, основную теорему алгебры.