Почему американская сборная по олимпиадной математике в среднем сильнее российской и нередко становится первой в мире? Если хотите, напишу отдельный пост. Коротко, ребят тренируют не в школе и обычно не к олимпиадам.

Американская школьная математика первые годы понемногу отстает от российской, особенно не по темам, а по глубине знаний и проработке навыков. Как правило только в 9 классе начинается предмет "алгебра", а в 10 проходится геометрия. К алгебре возвращаются в 11 классе. Первая часть алгебры и геометрия - дно отставания программы США от РФ. Мало того, что американцы на годы отстают, сами темы покрываются очень поверхностно и слабо. Упущенное так и не будут наверстано в дальнейших курсах, навыков преобразования громоздких выражений в школах США не дают.

Но сами курсы после геометрии уже не столь плохи. Вторая часть алгебры, по стандартной программе рассчитанная на 11 класс, пробегает по многим темам, которые российские школьники изучали в 8-10 классах: квадратные уравнения (повторение пройденного двумя годами раньше), уравнения с модулями, тригонометрия, логарифмы, прогрессии, азы теорвера... Также проходят комплексные числа. Точный перечень зависит и от принятой в школе программы, и от учителя.

Запланированная на 12 класс математика называется в США "преданализ". Раньше называлась "продвинутая математика", но с распространением матанализа продвинутой математикой стали называть его, а предыдущий курс - "преданализ". Там повторение прежних тем (например тригонометрия, комплексные числа) и новые (вектора), а также не изучающиеся в школах России конические сечения, матрицы и пределы. Точный перечень опять зависит от выбора программы и вкусов учителя. Часть материала - откровенная профанация, например матрицы.

Я описал два последних года стандартной программы, выражаясь фигурально: стандарт как таковой, типа ФГОСа, в США распространяется не на все штаты и хотя и подробно кодифицировал все школьные математические знания, не регламентирует порядок и полноту их преподавания в старших классах. Второй курс алгебры и даже геометрию в США изучали не все выпускники. Преданализ или более сложные курсы изучали только 40%. Средний американец заканчивает школу на алгебре-2, причём мало что усваивает из последнего курса.

Но часть учеников, напротив, идёт с опережением. Распространено перепрыгивание классов по отдельным предметам, обычно по математике. Могу написать подробнее, если интересно - спросите в комментариях. Поэтому 15-20% американских выпускников успели пройти основы матанализа, а некоторые и более сложные курсы.

Американские школьные основы матанализа гораздо слабее матанализа, который вам давали в хороших технических вузах России. (Американские студенты разницы не заметят: им и в вузе на первых курсах дают не очень строгий и сложный матан, а настоящий, серьезный матан проходят заново на третьем курсе математических специальностей.) Но если сравнивать с российскими основами анализа, американские гораздо сильнее.

Я собираюсь написать четыре, может быть пять постов про курсы опережающей математики в американских школах:

1. Основы матанализа - широко распространён в американских школах, его проходит примерно каждый шестой

2. "Продвинутый матанализ" - мало распространён

3. Линейная алгебра и дифференциальные уравнения - встречается в единичных школах очень редких роно. Именно его @LemurS сравнивал с российскими физматами, и он заблуждался

4. Статистика - широко распространён, его проходят и ребята, интересующиеся математикой, и те, кто не хочет проходить матан

5. "Преданализ" - возможно, напишу, там проходят, в чем он отстает и в чем опережают российскую школьную программу и почему я считаю его опережение профанацией.

Для справки. Правильный ответ был бы примерно такой:

Бесконечность не является числом, поэтому в строгой записи такие выражения встречаться не должны. Попытаемся угадать, что имел в виду спрашивающий.

Если речь идёт о бесконечно больших функциях/последовательностях

a_i -> ∞ и b_i -> ∞,

и мы ищем предел квадрата (a_i)^2 и показательной функции 2^b_i, то оба эти предела равны бесконечности, то есть и (a_i)^2, и 2^b_i - бесконечно большие последовательности. Но это не позволяет сравнить сами последовательности (a_i)^2 и 2^b_i.

Если же квадрат и показательная берутся от одной и той же последовательности, то (a_i)^2 возрастает медленнее, чем 2^a_i, то есть в некотором смысле ∞^2 < 2^∞.

Также вопрос мог подразумевать теоретикомножественный подход. В таком случае, как и в случае с пределами, надо понять, одинаковые ли бесконечности имеются в виду в выражениях ∞^2 и 2^∞. В теории множеств не принято использовать значок ∞.

Если имеются в виду одинаковые бесконечности, например ℵ₀, то из теоремы Кантора и того факта, что любое бесконечное множество равномощно своему декартову квадрату, следует, что

∞^2 < 2^∞

Разумеется, для разных бесконечностей это неверно, например

c^2 = 2^ℵ₀.

Чем занимаются историки математики и в чём заключается феномен Ростовской научной историко-математической школы? В лекции будет рассказано о предпосылках формирования в Ростове-на-Дону исследований историко-математической тематики, о наиболее крупных ростовских математиках, работавших в этой области, и их достижениях, о современном состоянии и перспективах историко-математических исследований в ЮФУ.

Рассказывает Вячеслав Пырков, кандидат педагогических наук, доцент кафедры теории и методики математического образования Института математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича ЮФУ.