Парадокс ДР или 4 синих поло в одном зале
Давайте поговорим о достаточно странной теме для Лиги упоротых расчетов - о заблуждениях. И сегодня у нас праздник, а именно парадоксы теории вероятностей, которые в строгом понимании даже парадоксами не являются, и это тоже парадокс. Математики угорали по пост-иронии до того, как это стало мейнстримом!
С какого начнём? С моего любимого, с парадокса дней рождений, а заодно проведем серию упоротых расчетов! Текст будет изобиловать странным юмором, так что не забудьте помыть руки перед прочтением! А если кто-то хочет прочитать кое-что запрещенное (можете посмотреть на список блокировок в аккаунте), то переходите в телеграмм-канал ХТ, широко известного в узких кругах.
Так в чем же парадокс?
Всё знают, что в году 365 дней, это много. А вероятность совпадения дня рождения у двух случайных людей 1/365, или примерно 0.3% - не густо. А теперь вопрос: вот мы набили в комнату 23 человека, и какая вероятность того, что хотя бы у двух подопытных совпадёт день рождения? Как считает обычный человек? Ну, намвермное, намдо умномномжить 23 на 0.3% и помлумчить 7% же?
Pathetic! Делюсь со всеми секретом математологической магии: на самом деле вероятность около 50% (и да, я в курсе за 0.5, но мы же сейчас не с Лавлендом спорим).
Как такое вышло? Давайте считать по хардкору! Берём рандомного Ваньку и сравниваем с кем-то, считаем вероятность: 1/365 получилось. "Но мы это уже видели, пëс, так и считали изначально" - заметит наблюдательный читатель. Но подождите! Теперь берём второго кого-то: и вероятность попасть уже выше, 2/365, так как у нас 2 даты заняты. Уот так уот! И таких вероятностей 23-1 (или n-1, если в общем виде). В этом и весь фокус! Для дальнейшей магии мы берем обратную вероятность или вероятность НЕ СОВПАДЕНИЯ дня рождения:
И получаем окончательную формулу, расркрыв скобочки, как в 5 классе учили!
Но зачем нам этот парадокс, спросит читатель? А я отвечу: не далече как в марте, весь интернет бурлил с того, что в одном концертном зале собралось 4 мужчины в поло одного цвета в разных местах тысячного зала на одном известном видео. Некоторые сразу заговорили о кровавой руке ГэБни. Не будем фокусироваться на событии, а просто попробуем применить нашу математологическую магию уже сюда!
Первым шагом объявим, что всего у мужчин есть 20 тысяч вариантов футболок, рубашек или маек. Почему столько? Мы пошли на О₃ - маркетплейс с таким странным названием, и попытались посчитать там. Рядом с категорией нас цифра не устроила по простой причине: большая часть товара на озоне "в истории" и не доступна для заказа, но красивые счетчики должны быть красивыми для привлечения покупателя, а нам нужны рабочие ссылки. На момент написания статьи последняя рабочая ссылка с товаром на озоне имела номер 278 (если будете читать в будущем, то может заменить последнюю цифру из ссылки на что-то большее и получите ошибку, что товара никакого нет больше), что дает 278 страниц с 36 карточками товаров на одной, что дало нам 10 007 вариантов, так как на последней странице не хватает одного товара, но будем округлять в большую сторону. Еще раз повторю: это вообще все футболки с самого большого нормального, а не клоунского, маркетплейса! Мы не стали считать повторы и прочее, среди этих 10 007 РАЗНЫХ футболок и поло и того меньше!
Теперь давайте считать? Модифицируем формулу сначала того, чтобы у всех были разные футболки:
Посчитаем это выражение и получим… А это выражение не считается обычными способами, уж слишком большие числа получаются, поэтому перейдем в логарифмическую шкалу и будем считать степени 10, а не само число. Это даст нам примерное число, но не точное его значение. Итак, для начала вычислим 20 000! Для этого мы воспользуемся специальным математическим калькулятором. В итоге выходит число с 77 337 знаками (где еще в этой лиги вы видели подобные числа?), но на самом деле мы считали не точно, возможно и ошиблись, но на чуточку, так как считается по формуле Стирлинга (кляту википидорию гэть).
Теперь посчитаем знаменатель и начнем со множителя, который возводится в степень. Это число можно легко вычислить даже без всяких калькуляторов и в нем будет 4 000 нулей и 2 в тысячной степени во главе, что примерно эквивалентно еще 333 знакам, или 4 333 знаков всего. На самом деле больше, так как 2 в десятой степени больше чем 10 в третьей, но нам лень считать точно (состоял бы в лиге лени, если бы не было лень туда вступать). Тоже славим логарифмы!
Второй множитель у нас выдает 73 047 знака, посчитали его тоже по формуле Стирлинга. Таким образом в знаменателе у нас число с 77 380 знаками, против числа с 77 337 знаками, что как бэ намекает, что получится очень маленькое число, близкое к нулю, перед чем-то значимым там будет 47 нулей. Для осознания масштаба, если бы это число было бы метром, то этот метр спрятался бы где-то в пространстве от нас, до галактики Андромеды, ближайшей к нам галактике. То есть, если бы мы застроили все пространство от нас до галактики Андромеды концертными залами и набили бы их людьми, то только в одном зале были все чуваки в разных футболках.
И даже если мы настроим нашу формулу так, чтобы посчитать не для 2, а для 4 мужчин, то ответ не сильно изменится (на самом деле сильно и застраивать придется не все пространство до Андромеды, а только Млечный путь, но сути это не поменяет). Теперь, надеюсь, этот мир не выглядит таким удивительным и странным, а все совпадения вам кажутся только совпадениями!
Послесловие
Ссылка на канал с упоротыми расчетами и другим волшебством статистики, нейросетей и некоторых чувствительных для Пикабу тем. Можно обсуждать всякое, я с удовольствием отвечу на многие вопросы!
Парадокс треугольника бесконечности
Заранее извиняюсь за простоватые и местами кривые картинки и графики. Хотел сделать красиво, но пока искал редакторы и пытался их освоить, шли годы, так что решил, или выложу как есть или неизвестно когда.
Для лл, кому лень читать, видео выложил на моём ютуб канале:
Итак начнём. Данный парадокс, я обнаружил, ещё учась в школе, делая уроки по геометрии. Всюду, где бы ни сталкивался с чем-то необъяснимым, я пытался следовать логике. Как известно, геометрия - одна из математических наук, которая больше других опирается на логику.
Для начала вспомним, чему равна сумма углов треугольника на двумерной линейной плоскости? Правильно, 180 градусам.
Также есть ещё одно правило, которое гласит, что только один из углов может быть тупым или прямым.
Нужно ли пояснять, что если хотя бы два угла будут прямыми или более, то стороны треугольника не соединятся и третьего угла попросту не будет.
А теперь представим, что у нас есть основание треугольника и по краям данного основания мы разместили по мощному лазеру, направленными к вершине третьего верхнего угла и которые мгновенно пронзают ткань пространства и уходят в бесконечность (рис. 3).
Там, где эти лазеры пересекаются, образуется верхняя точка треугольника и его верхний угол. Отбросим физику и сделаем допущение, что лазеры мгновенно создали по бесконечной прямой. Сейчас углы, образованные основанием треугольника и лазерами, острые. А теперь, начнём постепенно разводить эти лазеры в стороны, постепенно увеличивая углы у основания (рис. 4).
Как видно, точка пересечения этих лазеров сдвинулась выше. Давайте ещё раздвинем эти лазеры. Обратите внимание, что углы у основания тоже увеличились. (рис. 5).
Раздвинем их ещё немного. Точка пересечения ушла ещё выше (рис. 6). Сейчас она прошла путь, примерно за пару галактик. Если бы мы раздвигали лазеры с постоянной скоростью, то данная точка имела бы постоянное ускорение в астрономической прогрессии.
Продолжим ещё немного раздвигать лазерные лучи... А я напоминаю, что по условиям данного мысленного эксперимента, наши прямые, образованные лазерами, идеально прямые, простираются бесконечно, а следовательно и точка на их пересечении, по логике, должна при раздвигании лазеров, двигаться бесконечно... Но, вот мы ещё на микрон сдвинули наши стороны треугольника и, вуа ля! Оба угла стали равны 90 градусам, а стороны стали параллельны вместе с исчезновением точки пересечения (рис. 7).
Здесь также следует отметить любопытную деталь, что верхний угол у нас постоянно уменьшался, но (вдруг кому пригодится эта деталь) через нуль он так и не прошёл. Откуда я это взял? Всё просто. Верхний угол треугольника мог бы быть нулевым, при условии, что обе стороны треугольника лежали бы одна на другой, то есть основание треугольника было бы нулевым. Но у нас есть условное основание (рис. 8). И если оно не нулевое, то и верхний угол, перед тем, как перестать существовать, не мог пройти через нуль.
Вопрос, как же возможен данный парадокс?
Лично я пришёл к единственной гипотезе, которая состоит в том, что даже в цифровом мире, есть какой-то предел счисления, который мы называем условной бесконечностью, однако, по факту бесконечностью не являющийся.
Я пытался задать этот вопрос многим, кого считал сильными в математике, информатике и других науках. К сожалению среди моих знакомых и коллег нет математиков профессорского уровня, а поэтому никто из них не дал ответ, откуда берётся данный парадокс. Поэтому, теперь, если здесь есть кто-то кто имеет познания в данной области, буду рад прочитать ваши комментарии.
Спасибо если дочитали до конца! Заранее извиняюсь, если где был не точен в математических терминах, так как я всё же гуманитарий. ))
Поиграем в бизнесменов?
Одна вакансия, два кандидата. Сможете выбрать лучшего? И так пять раз.
Как комик во время Великой Депрессии дал название парадоксу из раковой биологии
В 30-ых годах 20-ого века Уилл Роджерс пошутил о волнах миграции: „Когда оклахомцы переезжают в Калифорнию, они повышают уровень интеллекта в обоих штатах“. Шутка основана на том, что мнению автора, даже самые глупые оклахомцы были умнее среднего жителя Калифорнии. Уже в 80-ых в честь этой цитаты был назван феномен Уилла Роджерса – любопытный математический парадокс, когда перемещение объекта из одной группы в другую повышает среднее значение признака в обеих группах. Это явление оказалось важным в исследованиях рака
При появлении новых методов диагностики можно обнаружить рак на более ранних стадиях. Это приводит к „миграции“ людей из множества здоровых в множество больных. Так как у них выше шанс развития заболевания, вычёркивание из списка здоровых приводит к повышению средней продолжительности жизни в этой группе. С другой стороны, у этих людей только начальные стадии заболевания, поэтому продолжительность жизни в группе больных также растёт. Может возникнуть неприятный эффект улучшения показателей на бумаге, даже если ранняя диагностика не помогает лучше лечить пациентов
Чудеса, да и только!
Х = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...
Х = 1 + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...)
Х = 1 + Х
0 = 1
Диалектика и математика
Противники диалектической логики, непонимающие Гегеля, считающие его шарлатаном и спекулянтом, часто указывают на математику и ее формальную логику, как на образец строгости и четкости, то, к чему нужно стремиться и на что ориентироваться, а диалектика, по их мнению, такими свойствами не обладает и потому не может служить методом подлинно научного познания.
Мало кто знает, но если мы достаточно глубоко погрузимся в основания математики, то увидим, что там также нет никакой строгости, четкости и вообще определенности. Бертран Рассел писал:
"Чистая математика целиком состоит из утверждений следующего типа: если какое-то предложение истинно в применении к какому-нибудь объекту, то в применении к тому же объекту истинно такое-то предложение. Здесь существенно то, что не подлежит обсуждению вопрос о том, истинно ли на самом деле первое предложение, и что не должно быть указано, что представляет из себя тот объект, в применении к которому первое предложение предполагается истинным. <…> Таким образом, математика может быть определена как наука, в которой мы никогда не знаем, о чём мы говорим, и никогда не знаем, истинно ли то, что мы говорим".
Иными словами, мы используем математику для описания нашего мира, но мы не имеем абсолютно никакой уверенности в том, что сама по себе математика исходит из истинных предпосылок и ни проверить этого, ни доказать мы никак не можем.
Из-за этого в математике периодически возникают различные парадоксы, которые не получается решить средствами формальной логики. Когда таких парадоксов становится слишком много, а пути их решения неясны, возникает кризис оснований математики. Так было в конце XIX - начале XX вв. Масло в огонь подлил в 1930-е гг. Курт Гёдель и его теорема о неполноте, согласно которой, система, основанная на арифметике, может быть либо неполной, либо противоречивой, но не может быть одновременно и полной, и непротиворечивой. В наши дни проблема усугубляется развитием теории струн, которая требует такого математического аппарата, который еще не придуман, а существующие математические методы не подходят этой теории в полной мере.
Математика постепенно признает парадоксы и противоречия не чем-то отклоняющимся и ошибочным, но нормой и учится с ними работать. Однако существующей логики по-прежнему недостаточно для этого. Вот что, например, писали математики А.А. Френкель и И. Бар-Хиллел о парадоксе Рассела:
"С самого начала следует уяснить, что в традиционной трактовке логики и математики нет решительно ничего, что могло бы служить в качестве основы для устранения антиномии Рассела. <..> Мы полагаем, что любые попытки выйти из положения с помощью традиционных способов мышления, до сих пор неизменно проваливавшиеся, заведомо недостаточны для этой цели. Некоторый отход от привычных способов мышления явно необходим, хотя место этого отхода заранее не ясно."
В чем заключается этот парадокс Рассела? Данный парадокс относится к математической теории множеств и один из вариантов его формулировки выглядит так. Пусть "K" — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли "K" само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению "K", оно не должно быть элементом "K" — противоречие. Если нет — то, по определению "K", оно должно быть элементом "K" — вновь противоречие. Это противоречивое множество называют "расселовским множеством" (сокращенно РМ). Суть его состоит в том, что РМ - это такое множество, для которого одновременно верны два противоположных утверждения: оно и содержит, и не содержит себя в качестве своего же элемента. Как такое возможно, как это понять и объяснить?
В шутку и для простоты понимания переведем парадокс на более человеческий язык. Назовем такие множества, которые не включают в себя самих себя как свой элемент обычным (например, общество – это обычное множество, оно состоит из людей, но человек - это не общество). А такое множество, которое включает самого себя в качестве своего элемента, назовем необычным (например, множество всех множеств - оно является множеством и состоит из множеств, или какой-нибудь абстрактный интернет-каталог, который описывает разные сайты и сам является сайтом и поэтому описывает и самого себя). Представим, что во Вселенной существует только Бертран Рассел как множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Он состоит из органов - это множества, не содержащие себя в себе как свои элементы: желудок не состоит из желудка, как сердце из сердца - эти органы, которые можно рассматривать как множества, состоят из других элементов (клеток, молекул и т.д.). Тогда является ли Бертран Рассел обычным множеством или необычным? Содержит ли Бертран Рассел себя в качестве своего элемента? Нет, ведь для этого достаточно взглянуть на Бертрана Рассела - он состоит из рук, ног и головы, но не из самого себя. А раз так, то по нашему определению он должен входить сам в себя (ведь Бертран Рассел, по условию задачи, это множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента). Но раз так и он включает себя в себя же, значит он снова противоречит условию задачи (Бертран Рассел - это множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента). Таким образом, "Бертран Рассел" - это одновременно и обычное и необычное множество, чего с точки зрения формальной логики быть не может.
Возможный вариант решения данного парадокса или хотя бы путь, по которому можно отыскать это решения, находится в диалектике Гегеля. По сути, расселовское множество на языке диалектики представляет собой Для-себя-бытие - бесконечное, постоянно возвращающееся к себе бытие через отрицание нечто к иному и от иного обратно к нечто, ибо иное иного есть иное. Как только мы хотим сказать, что расселовское множество является обычным, то есть оно не содержит себя как свой собственный элемент, мы идентифицируем его как нечто, которое тут же переходит в свое иное, ведь по определению расселовское множество — это множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента, а раз РМ не содержит себя, значит оно должно быть частью себя (исходя из определения опять же) - так иное переходит в свою противоположность - в свое иное, то есть обратно в нечто. Для-себя-бытие - это и есть бесконечное движение от нечто к иному и обратно, но на новом уровне (через отрицание отрицания).
Так и что же это нам дает, чем же является РМ и почему оно такое противоречивое? Всё дело в том, что расселовское множество - это такое множество, которое нужно рассматривать как изменяющееся. То есть получается, что в нашей изначальной формулировке расселовского парадокса «K» — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента, и в то же время «K» содержит свою прошлую версию, в которой «K» еще не содержало себя. «К» изменяется во времени, и несмотря на отличие текущего множества и его же в прошлом, это то же самое множество. Подобно тому, как человек содержит себя прошлого в себе, но не является тем, кем он был 10 лет назад, но всё-таки и является тем же самым человеком. Информация и материя, как известно, неуничтожимы и то, что человек содержит в себе прошлого себя - не философская абстракция, а физический факт. Развивающийся, изменяющийся, живой человек одновременно и равен, и не равен самому себе, так как буквально ежесекундно он изменяется хотя бы на одну клеточку, но всё-таки остается собой же. Очевидно примерно так и ведет себя расселовское множество, которое является не статичным, но изменяющимся.
А отсюда следует вывод, что возможно, именно в этом и заключается путь будущего развития математики - из науки, рассматривающей статику, стать наукой, умеющей работать и с процессами, в противном случае всё новых парадоксов и кризисов математических оснований будет не избежать.
Спасибо, что дочитали. Ну а теперь приглашаю вас жестко побомбить в комментариях прямо здесь, ну или может быть у меня в тг-канале.
Мое видение "Парадокса лжеца" через математическую модель
Всем привет!
Классическое выражение данного парадокса достаточно громоздко и тяжело для восприятия, поэтому, я решил упростить его через математический язык.
Словесно - упрощенно звучит оно так (моими словами): Лжец признается, что он лжец, что значит, что чтобы он ни сказала, он будет всегда лгать. Выстраивая матем. модель, мы и увидим всю красоту парадокса. Доказывается оно доказательством "от обратного" или "от противного", что значит, что двойное отрицание утверждения будет равно самому утверждению. Так вот, представим, что "Я лжец" это "Ложь":
Мы пришли к зацикленности, или к циклу с бесконечным периодом (рекуррентным).
Интересно мнение, что лжец может вертеть фактами тогда как угодно, автоматически себя оправдав во лжи, так как он вроде сказал правду, а вроде и нет.
Всем спасибо за внимание, буду рад и дальше продолжать свои умозаключения по математике.
Прощу не судить строго, так как я совсем еще только начинающий в стезе Великого Математического Языка, где очень много красот и его разнообразных проявлений!
Я хочу добавить, что наше мышление отнюдь не бинарное, как тут представлено, так как в человеке существует такая вещь, как сомнение, что означает присутствие амбивалентности, или "0" и "1" одновременно... .
Готовы к Евро-2024? А ну-ка, проверим!
Для всех поклонников футбола Hisense подготовил крутой конкурс в соцсетях. Попытайте удачу, чтобы получить классный мерч и технику от глобального партнера чемпионата.
А если не любите полагаться на случай и сразу отправляетесь за техникой Hisense, не прячьте далеко чек. Загрузите на сайт и получите подписку на Wink на 3 месяца в подарок.
Реклама ООО «Горенье БТ», ИНН: 7704722037
Парадокс неожиданной казни
Парадокс неожиданной казни был обнаружен профессором математики Леннартлм Экбомом. Он был опубликован в 1948 году.
Учитель объявляет своим ученикам: «На следующей неделе будет внезапная контрольная.»
Уточним терминологию. Нам известны следующие факты:
1.Контрольная состоится во время урока либо в понедельник, либо во вторник, либо в среду, либо в четверг, либо в пятницу.
2.Непосредственно перед контрольной допроса учащийся не может быть уверен, что она состоится.
3.Будет проведена ровно одна контрольная работа.
Сообразительный студент рассуждает так: «если в четверг вечером контрольная не состоится, то я буду уверен, что она будет в пятницу. Так что это уже не будет сюрпризом. Поэтому контрольная не может быть проведена в пятницу, потому что это последний возможный день. Но поскольку контрольная не может быть проведена в последний день, то предпоследний день фактически становится последним возможным днем.» Таким образом, путем повторения рассуждений отсюда выводится, что контрольная вообще не может иметь места.
Судя по всему, это всего лишь вводящее в заблуждение утверждение того же характера, что и парадоксы соритов. Это тип рассуждения, составленный из ряда предложений, расположенных в форме: все А есть В, или все В есть С, или все С есть D, следовательно, все А есть D. Сориты — это расширенный силлогизм.
Однако учащийся может продолжить рассуждения. Из первого вывода он должен сделать вывод, что профессор солгал. Но как он солгал? Если в пятницу вечером преподаватель заставит класс решать контрольную работу, то ложь будет только в элементе неожиданности. Но поскольку учитель — лжец, экзамена может и не быть вовсе. Таким образом, первоначальные рассуждения больше недействительны: контрольная действительно будет внезапной, даже если она будет в пятницу. Наконец, профессор не будет лгать тогда и только тогда, когда его примут за лжеца. Таким образом, мы обнаруживаем парадокс лжеца.
Этот парадокс на самом деле присущ слову неожиданность и понятию случайности.
Похожий логический парадокс, названный «парадокс сатанинской бутылки Стивенсона» был описан в рассказе «Сатанинская бутылка» Роберта Льюиса Стивенсона (1893).
Кэаве, гаваец, приехавший в Сан-Франциско, покупает бутылку. В этой бутылочке сидит черт, исполняющий все желания своего владельца. Однако, под страхом проклятия, последний должен в обязательном порядке расстаться с этой бутылкой перед смертью. И единственный способ избавиться от этой дьявольской бутылки — продать ее дешевле, чем было заплачено за ее приобретение. Другого способа избавиться от бутылки нет: выброшенная, она неведомым образом возвращается к хозяину. Кроме того, исполнение желаний влечет за собой несчастье для близких владельца бутылки. Герой пожелал разбогатеть, и вскоре его дядя и двоюродный брат умерли, оставив ему большое наследство.
В этом рассказе автор создает парадокс: по какой минимальной цене можно продать бутылку? Очевидно, что если вы купите её по минимально возможной цене, например, за одну копейку, продать её с убытком уже не получится. Поэтому её нельзя продать за одну копейку, потому что любой покупатель, зная все условия сделки и последствия, которые она влечет за собой, откажется покупать ее, потому что он не может ее перепродать. Точно так же нельзя продать его за две, три копейки, или сумму приближающуюся к ним, потому что ваш потенциальный покупатель, скорее всего, выразит сомнения в целесообразности такой сделки. В самом деле, ведь он может и не найти покупателя на бутылку. С другой стороны, если цена бутылки все еще достаточно высока, всегда есть шанс найти покупателя на эту бутылку. Но с каждой продажей вероятность найти такого покупателя уменьшается, а убыток от продажи бутылки увеличивается.
В рассказе есть возможные решения помощи главному герою. Например, разброс валютных курсов между разными странами, самопожертвование близкого человека, готового выкупить бутылку по крайне низкой цене в ущерб своему спасению и, наконец, равнодушие этого персонажа к последствиям для его души (потому что что он такой грешник, что будет гореть в аду и без этого проклятия). Однако ни одно из решений не отвечает на поставленный вопрос: какова наименьшая цена, по которой можно продать бутылку?
Если сравнить этот парадокс с описанным выше, становится ясно, что ответа на поставленный вопрос нет. Для каждого покупателя бутылки, кроме последнего, ответ на этот вопрос будет зависеть только от случая. Логически подсчитывать свои шансы продать бутылку здесь бессмысленно, как и в случае с контрольной-сюрпризом.