0 просмотренных постов скрыто
Ахиллес и черепаха: поймай меня, если сможешь
Продолжаем рассуждать о бесконечностях и тем, что с ними связано. В комментариях к предыдущему посту упомянули апорию Зенона об Ахиллесе и черепахе, давайте разберемся, что же в ней происходит.
Собственно, сама апория звучит так:
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Из житейского опыта ясно, что Ахиллес не только догонит, но и перегонит черепаху. Что же здесь утверждается с точки зрения математики? Пусть Ахиллес сначала пробежит тысячу шагов за время t, потом 100 шагов за время 0.1t, потом 10 шагов за время 0.01t, потом один шаг за время 0.001t и так далее. Зенон предлагает найти момент времени, в который Ахиллес догонит черепаху, путем суммирования этих интервалов времени. Поскольку таких интервалов бесконечное количество, то Зенон полагает сумму бесконечной. Иными словами, Зенон постулирует следующее утверждение:
Сумма бесконечного числа слагаемых бесконечна.
Что ж, нам остается лишь показать, почему это не так.
Важное замечание. Слова "последовательность" и "предел" имеют строгое значение в математическом анализе, однако полное изложение основ анализа остается за рамками этого поста. Кроме того, я буду пользоваться некоторыми фактами о последовательностях, не приводя их доказательств. Желающие могут вывести их самостоятельно или обратиться к любому учебнику математического анализа.
Бесконечная последовательность чисел, которую мы хотим просуммировать, называется числовым рядом. Не всякий числовой ряд имеет конечную сумму. Но что есть сумма бесконечного числа чисел вообще?
Мы хорошо понимаем, что такое сумма конечного числа слагаемых, и можем вычислить ее за конечное время. Если мы попытаемся непосредственно вычислить сумму ряда, то никакого конечного времени нам не хватит. За конечное время мы можем лишь просуммировать несколько первых элементов ряда. Будем называть такие значения частичными суммами. Частичные суммы ряда образуют последовательность.
Для примера рассмотрим числовой ряд 1, 0.1, 0.01, 0.001 и т.д., тогда последовательность его частичных сумм имеет вид: 1, 1.1, 1.11, 1.111 и т.д.
А теперь определение:
Суммой ряда называется предел последовательности его частичных сумм, если он существует. Ряд, сумма которого конечна, называется сходящимся (также говорят просто "ряд сходится").
Таким образом, вопрос суммирования бесконечного количества слагаемых сводится к нахождению предела последовательности.
Найдем предел нашей последовательности частичных сумм. [Отметим, что он равен 1.(1), однако в силу сложившейся неоднозначности в понимании этого обозначения мы не будем его использовать.] Для этого воспользуемся уже доказанным фактом: последовательность 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 и т.д. сходится и имеет предел, равный 1. Также будем пользоваться тем, что последовательность можно почленно умножить на одно и то же число: это не влияет на сходимость, и предел новой последовательности равен пределу исходной, умноженному на то же число. Имеем:
0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 ... -> 1, разделим на 9 (умножим на 1/9):
0.1, 0.11, 0.111, 0.1111 ... -> 1/9, умножим на 10:
1, 1.1, 1.11, 1.111 ... -> 10/9.
Таким образом, предел последовательности частичных сумм существует и равен 10/9. Это означает, что ряд имеет конечную сумму (сходится):
1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + ... = 10/9
Возвращаясь к Ахиллесу и черепахе, мы можем убедиться, что Ахиллес догонит черепаху через t + 0.1t + 0.01t + 0.001t + ... = 10/9 * t времени (ряд можно умножать на число так же, как и последовательность). Тем самым утверждение Зенона математически неверно, и противоречия не возникает.
Может показаться, что суммы бесконечных рядов подчиняются тем же правилам, что и конечные суммы, но это не так. В качестве примера приведу красивую теорему (разумеется, без доказательства).
Теорема Римана об условно сходящихся рядах.
Пусть дан числовой ряд, который сходится условно, тогда для произвольного числа можно так поменять порядок элементов ряда, что сумма нового ряда станет равна этому числу. Более того, можно так переставить элементы ряда, чтобы сумма ряда стремилась к положительной или отрицательной бесконечности или же вовсе не стремилась ни к какому пределу, конечному или бесконечному.
Простыми словами: в некоторых сходящихся рядах перестановка слагаемых может привести к изменению суммы ряда. Разумеется, для конечных сумм порядок суммирования не играет роли.
Enjoy)
Показать полностью
Индиана Джонс и Сфера бесконечности
Показать полностью
1
Змейкины погремушки
— Вы гляньте, на монете живой Ленин, что ли? Это что же за монеты пошли, новые? А тяжёлая... Из чего такая? Вить, иди подержи хоть в руке-то.
К Зоиньке, всегда незамужней и потому от комариного зуда возбуждавшейся аптекарше с заразным равнодушием к профессии (после двадцати лет в ней путавшей на слух физраствор с антифризом, который тоже почему-то продавался в местной фармацее, пугая синюшными баклажками покупателей нежных ампул: "вроде в тот раз другой был..."), стянулась элита посёлка.
Почта, библиотека, универсам, салон красоты, учётчик с тока и сварщик шестого разряда. Все в количестве по одному, все работают в упразднённой овчарне, в одном длинном коридоре с перегородками. (Новую перегородку, металлическую, вроде для банковского отделения, "сварной" холостяк Витёк только делает. Облизываясь на металл.) При осмотре тяжеленной вдавленной, как между кирпичами жатой, монеты команда выглядела так, будто набрела на Макдональдс в джунглях, где не ступала нога белого человека.
Устаканили одно — отчеканен на кругляше без суммы не Ленин, этот волосатей и моложе. Да и вместо орла нашего (или уж серпа с молотом) какие-то змейки перекручены. Вроде небольшие, типа полозов, но с маракасами на перекрестии. "С погремушками такими, трещотками для танцев", — отметил познавший мир учётчик, бывший хлебороб и аграрий, спалившийся на конопле средь колосьев могучих..
Он же объяснил, что денег без достоинства не бывает, хоть рупь, хоть пятак возьми. И год не проставлен, не монета это, подсунули тебе, Зой, наверняка заезжий кто, за антифриз.
Нехотя Зоинька раскололась: был с утра один городской, умнищий, как Ленин, но очень неженатый, что и столкнуло их на почву общих интересов... Народ бы послушал про интересы ещё, но по кассе "не билось" всего десять рублей. Со стоном опять одинокой и снова обманутой женщины Зоинька доложила десюнтик и закрыла богоспасаемую аптеку, голубевшую пластиком, наставленным на днём и ночью, с сентября по май, включённый масляный обогреватель античной конструкции.
2. Явно импозантный и очень плечистый мужчина выпустил из квадратного контейнера много мелких змеек и бросил тару в багажник неразличимого в темноте автомобиля, здорового, как странствующее шапито. Чем-то потрясывая в руках, издавая трескучие звуки, пошёл вперёд, светя фонарями со лба и из петлиц люксовой кожанки. Змейки шелестели за ним по жухлой листве-падалице, шокируя незаснувших ежей.
Инкогнито, родственная душа Зои-аптекарши, повторял утренний променад. Но вот и аптека, это длинное здание. Он обшарил старое крыльцо, обделанное в складчину от сырости картонными коробками салона красоты и универсама. Клейма нет... Верные спутники, видящие всё внизу, тоже с пустыми руками. (Не нашли, точнее.)
Мужчина выключил фонарики и щёлкнул погремушками коротко, пронзительно; змейки сразу застыли, подняв головки. Он прилёг пластом на картон и всмотрелся в значительную щель между развалюшным крыльцом и входной дверью. Привстав, дал команду "вперёд!", как костяшками хрустнул, своим тишайшим подружкам. Змейки свободно заползли внутрь и растворились в этом странном торговом центре.
3. Горевшее синим огнём разливного антифриза, клеймо извивалось в центре прогорклого чёрного пятна на кукурузном поле. Там, где дети после случайной искры ещё месяц собирали готовый попкорн, перерождалась озабоченная счастьем Зоя. Она, не заслужившая встречи с чистым сердцем, заслужила чистое прощание с участью, что мертвее самой смерти, — стареющей поселковой крали. На треск, который, словно сухое поленце, издавало шипящее в своём огне клеймо, стекались маленькие змейки. Они обвивали аптекаршу так туго и так долго, пока она не затрещала сама. И её высушенная головка оттенка "шмель во хмелю" не превратилась в дребезжащий маракас...
Спортивно раздвигая чёрные стебли, на естественное капище прорвался импозантный незнакомец. Без куртки, растрёпанный и — напуганный. Он приближался к светящемуся клейму в одной футболке, щёлкая руками изо всех сил, но змейки не реагировали. Вытянув ладони к голубоватому сиянию, как к камину, вдруг в секунду остановился, не завершив шага.
На сухих руках его, почерневших и безжизненных уже до локтей, исчезал оттиск со змейками. Редкая татуха, как он с хохотком трепал девицам, обозначает такого факира, что змей заговаривает.
А позади клейма, из свежезеленеющих вдруг стеблей, восставала новая Зоя. Враждебная, зомбическая, страшная не только на первый взгляд. Дёргая звенящей головой, будто глиняной свинкой-копилкой с катучей мелочью, она несла на себе полчище змеек. Гадов земных, приговорённых к иллюзии управления ими. И на клейме, которое на самом деле — тавро, хозяина метящее, сам собой выдавливался её обыкновенный курносенький профиль.
А рассыпающийся по полю мужчина, правда, стал сильно похож на официозного Ленина, со статно-волевым чеканным ликом, не лишённым любовного прищура.. Когда-то он крутил как с неба посыпавшихся змеек руками, чистый циркач, не пускавший рептилий выше и превративший свои кисти не в маракасы — в кастаньеты.
Щёлкнуть бы сейчас, подумала ненадолго задержавшаяся над кукурузой голова вождя-факира, да ведь нечем, пальцев-то нет. Новой хозяйке в этом смысле поудобнее будет..
4. Зоя-Горгона, извиваясь гибким чудищем, танцующим шагом под музыку, лившуюся сверху (с — а не из — собственной головы), передвигалась по ультрамариновым лужам. Изображая и дальше пазл от Дали, она психоделически растекалась на сбегающих змеек. Потёкшая из расплавившихся уже баклажек незамерзайка пучилась по всему центру поселка, треща как-то иначе. Скромный проводок, отпавший от щитовой сзади аптеки, заставил маракас исполнить свою последнюю мелодию.
Клеймо, не шевелясь, остывало в луже, теряя очертания владелицы. Десятки глазок пристально следили за манким фетишем из кисловатого перегноя.
Прищёлкивая пальчиками и присвистывая, на расползавшуюся синевой площадь вышел пьяненький и залюбленный сварщик Витёк. В лиственной прели началось великое движение.
Клеймо забилось гремучей сердечной жилкой опытного хищника.
Показать полностью
Путеводитель по фрактальной Вселенной: Путешествие через Бесконечность и за её пределы!
Исследуем фрактальную структуру Вселенной, где законы природы повторяются на всех уровнях — от космических объектов до квантовых частиц. Как самоподобие помогает нам понять устройства Вселенной и её связь с голографическим принципом? Мы анализируем влияние темной материи на формирование галактик и космическую паутину, а также её роль в структуре Вселенной. Вдохновляясь идеями Бенуа Мандельброта, исследуем масштабные структуры космоса, такие как Ланиакея и Великая стена Геркулеса-Северной Короны. Мы погружаемся в квантовые эффекты, компьютерное моделирование и изучаем, как голографический принцип изменяет наше восприятие реальности. В заключение мы затронем философские аспекты и размышления о месте человечества в этом бескрайние космосе, а также узнаем о будущих исследованиях, которые могут кардинально изменить наше восприятие Вселенной.
Показать полностью
Белконечность
Показать полностью
1
Ответ на пост «Подход взрослого человека»1
А мне нравится представлять, что время на самом деле не течет, и можно было бы (например, если ты не человек) воспринимать его сразу всё. Тогда теряет смысл большинство человеческих страхов.
Подход взрослого человека1
Показать полностью
1