Разминка для мозгов
На конвейерной линии по производству детских игрушек пять отдельных сборочных этапов производства. Вероятность брака на каждом из этапов составляет 2%. Промежуточные проверки качества отсутствуют, а оценка брака производится только после прохождения всей линии.
Какова вероятность, что произведённая игрушка будет иметь брак?
Помогите найти книгу
!Всё. Помогли найти. Всем рекомендую! Всем добрый день. Взываю к коллективному разуму Пикабу. Давным-давно, годах в 1980-84, когда я учился в школе, у меня дома была книга, называлась по-моему "Занимательная математика". В частности там были доступным языком написаны небольшие занимательные рассказы. Запомнился один, там чел., который говорил что-то типа: "...если я приподниму эту монету над столом и отпущу ее, то с вероятностью 50 на 50, она упадет вверх орлом, или решкой, ставлю доллар (может и не доллар), что она упадет на ребро и останется стоять... Он потом обмакивал в пиво, прислонял к стенке кружке и отпускал... Ещё было, про полоску бумаги которая тоже падала на ребро. Книга была практически без картинок и автор по моему иностранный, хочу такую книжку младшему сыну найти, может кто знает, подскажите.
Говорили же, с детьми весело будет!
У меня есть дочка, 13 лет. Недавно сидим за столом, ну я как обычно спрашиваю, как дела в школе, какие оценки и т.д. Она сказала, что у нее по математике тема непонятная, и попросила помочь разобраться. Спрашиваю тему. Получила ответ:
"Вероятность случайности" ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОСТИ. Оказалось, она имела в виду "Теория вероятностей"..Поржали.
Сколько в среднем очков дает один снежок в новогодней мини-игре Пикабу?
Привет, пикабушники! Как вы, возможно, уже знаете, разработчики Пикабу в преддверии нового года запустили мини-игру, в которой надо кидаться друг в друга снежками. Игра забавная, но порождает довольно интересную математическую задачку - сколько в среднем очков можно получить за один снежок? Результат расчета довольно неожиданный, поэтому если не хотите читать выкладки, советую хотя бы просто пролистать пост почти в конец до жирного шрифта, которым написан ответ.
Хочу однако сразу заметить, что я оказался сам себе злобным буратиной, начав решать задачу и пилить пост до уточнения всех условий. Как оказалось, шансы попасть и промахнуться - не 50%, как я думал, а высчитываются более сложно. Поэтому давайте будем считать, что я решаю задачу не непосредственно для мини-игры, а свою собственную, которая, однако, близка к исходной и может быть использована для примерной оценки ее результата.
Итак, для начала посмотрим на правила. Каждый день нам дается 5 снежков, их можно запускать в других людей, оставляя комментарии. За каждый запущенный снежок с вероятностью 50% может произойти одно из следующих событий:
1. Промах - снежок потратится, и на этом все.
2. Попадание - снежок не тратится, нам дается 10 очков к общей сумме, и еще один дополнительный снежок.
Понятно, что мы можем рассматривать каждый из пяти снежков в отдельности - как только тратится последний снежок из порожденных им, мы считаем его потраченным и рассматриваем следующий снежок на таких же основаниях.
Эти правила порождают дерево возможных вариантов для каждого снежка, которое приведено ниже. На нем черным цветом написано количество снежков ка каждом шаге, зеленым - количество полученных очков на каждом шаге. Стрелки показывают возможные варианты событий, синие дроби над ними - вероятности, с которыми может произойти каждый из вариантов.
В условиях таких правил так уж вышло, что попадание и промах подряд дают одно и то же количество снежков и очков, независимо от того, в каком порядке они произошли, поэтому вместо обычного двоичного дерева можно нарисовать вот такую диагональную сетку. Соответственно, вероятности, приходящие в один узел, складываются, после чего делятся пополам для каждой из выходящих стрелок.
Основные результаты здесь обведены в красные кружки - это вероятности, с которыми мы заработаем соответствующее количество очков, когда у нас закончатся все снежки, порожденные тем одним снежком в начале.
Не буду приводить весь путь своих рассуждений о том, как выразить эту последовательность вероятностей в виде формулы, скажу сразу результат. Это последовательность C_n/2^(2n+1), где C_n - числа Каталана. То есть с вероятностью C_n/2^(2n+1) мы получаем 10n очков, где n⩾0. Тогда, чтобы посчитать среднее количество очков, которые можно получить за один снежок, нужно помножить количество очков на вероятность, с которой можно его получить, и просуммировать все такие произведения:
Проблема в том, что с числами Каталана я не был знаком до этого момента, и, насколько я могу судить, явная их формула слишком нетривиальна, чтобы ее можно было использовать для вычисления суммы этого ряда в явном виде. Однако на Википедии написана их асимптотика, которую можно использовать для оценки суммы:
Тогда сумму ряда можно оценить как:
А из курса матанализа известно, что вот такие ряды, где имеется n в знаменателе в какой-то степени, сходятся только тогда, когда n>1. Этот же ряд, расходится, или другими словами его сумма равна бесконечности.
И таким образом получается, что в описанной выше мини-игре при условии равных вероятностей попадания и промаха среднее количество очков, которое дает один снежок, равно бесконечности.
Весьма неожиданный результат, как по мне. Казалось бы, с первого же шага мы можем потерять снежок, а шанс получить какое-то значительное количество бонусных снежков экспоненциально стремится к нулю. Но тем не менее в среднем количество очков оказалось неограниченным.
Но на этом задачка не заканчивается, дальше еще интереснее. Как я писал выше, в оригинальной мини-игре шансы не 50/50, так давайте и мы рассмотрим разные вероятности. Пусть шанс промахнуться будет α, а шанс попасть - 1-α, где 0⩽α⩽1. Конечно, это тоже вряд ли в полной мере описывает реальные условия, там вероятности, скорее всего, вообще не фиксированы. Но для нашей модельной задачки рассмотреть это все равно будет интересно.
Этот пост, полагаю, уже вышел за рамки понимания среднестатистическим пикабушником, так что выкладок приведу еще меньше. Они в целом аналогичны выкладкам выше, так что кто желает, может проделать их самостоятельно, остальным это и не надо. Но результат меня поразил настолько, что я просто не могу им не поделиться. Вероятность получить 10n очков получилась равной C_n * (1-α)^n * α^(n +1). А со средним картина получается следующая:
1. При α⩾1/2 среднее количество очков получается конечным и равным 10(1-α)/(2α-1).
2. При α=1/2 игра заканчивается с вероятностью 1, и среднее количество очков получается равным бесконечности.
3. При α⩽1/2 с вероятностью (1-2α)/(1-α) игра будет продолжаться бесконечно и не завершится никогда. Среднее количество очков тогда также будет расти бесконечно.
Для меня, который ожидал, что результат будет вообще конечным в любом случае, то, что игра может вообще не завершиться, показалось удивительным. Но такова математика.
За сим все, надеюсь, хоть кто-то дочитал и что-то понял. Кидайтесь снежками реальными или виртуальными, не болейте, с новым годом.
P.S. Для помощи в решении этой задачки я написал небольшую программку на C++ для вычисления вероятностей, код можете взять вот тут, если интересно https://pastebin.com/RhJCzJ8u (кто будет ругаться на говнокод, тот бака)
Поиграем в бизнесменов?
Одна вакансия, два кандидата. Сможете выбрать лучшего? И так пять раз.
Рациональность (2)
Продолжаем знакомиться с книгой Стивена Пинкера "Рациональность. Что это. Почему её, казалось бы, не хватает. Почему она имеет значение".
Все части сложены здесь.
Коротко для ЛЛ: услышав топот копыт за окном - думайте о лошади, а не о зебре. Хотите ужесточить ответственность - будьте готовы к несправедливым приговорам. Не пойдёте добровольцем - рискуете потерять всё. Такова цена неразумности бытия.
В очередной главе автор решил познакомить читателя с основами теории вероятностей. В нашем мире, подчиняющемся неумолимым физическим процессам, есть два способа генерации случайных событий. Первый - эффект бабочки, когда в нелинейной хаотичной системе крошечные изменения начальных условий влекут за собой последствия тектонического масштаба. Второй - феномен, известный всем по подбрасыванию монеты. В нём результат зависит от большого количества мелких причин. Само понятие вероятности допускает несколько определений, будь то классическое (когда мы делим число возможных исходов на общее число случаев), физическое (склонность к определённому исходу), доказательное (степень доверия) или частотное (базируемся на статистике).
Настоящую вероятность мы часто путаем с той, которая доступна нам на основании личного опыта. А он ограничен (и искажён). Американцы считают, например, что в США проживает 28% иммигрантов, а на самом деле 12%. Евреев не 18%, а 2%. Эта иллюзия доступности тоже приведена в книжке Канемана. Известно, что в результате терактов погибает не так уж много людей. Почему же реакция на них столь раздута? В результате всеобщего возмущения. Оно порождает так называемый рассказ жертвы: аллегорию, при которой сам акт освящается, а ущерб от него объявляется невосполнимым и непростительным. Цель такого рассказа - не точность, а солидарное действие. Гремучая смесь популизма и падкой до сенсаций прессы приводит к тому, что люди становятся циничными, думая о том, что наука, демократия и сотрудничество ничем не помогли человеку. Ну а как ещё реагировать, если в новостях - сплошная чернуха и насилие? Так и становятся: кто - фаталистом, а кто - радикалом.
Если мы имеем более одного события, то можем оценить вероятность нескольких одновременно. Результирующая вероятность зависит от того, что независимы ли события друг от друга, а также от того, как мы поставим вопрос. Азартный игрок, бросая монету и словив пять орлов кряду, рассчитывает в следующем броске поймать решку. Однако вероятность орла и решки в каждом броске одинакова и не зависит от того, что выпало до того. Узнать, действительно ли зависимы события друг от друга, порой затруднительно. Одно время учёные опытно опровергли утверждение о феномене горячей руки в баскетболе, когда игрок, поймав кураж, начинает забрасывать всё подряд. Но прошли годы, накопились сомнения, и новые исследовали снова занялись вопросом. Они опровергли старое опровержение. Теперь мы знаем: кураж - не сказка. "Горячая рука" существует на самом деле. Когда у игрока начинает получаться, он на самом деле начинает бросать лучше. Опытные тренеры это видят и пытаются прервать кураж в чужой команде, требуя тайм-аут.
Вероятность одного из двух независимых событий можно посчитать, сложив их вероятности и отняв от результата вероятность наступления обоих сразу. Это понятно. Так, вероятность дочери в семье с двумя детьми не 100%, а 75%. Как понятно и то, что вероятность не наступления события можно вычислить, отняв вероятность наступления от 100%. Но есть ещё такая штука, как условная вероятность: вероятность одного события А, при условии наступления другого Б. Разумеется, если Б не случится, то на А нам рассчитывать не стоит. Потому если событие Б достаточно маловероятно, то А будет, как правило, ещё менее вероятно.
С толкованием вероятностей связано множество человеческих заблуждений. Люди могут выдавать результат за желаемое, нарисовав мишень вокруг пробоины от выстрела. Многие учёные жалеют истраченные средства и не могут удержаться от соблазна подогнать результаты. Недооценивается и возможность простых совпадений. Из сотни тысяч финансовых консультантов, кто-то, да сможет побеждать рынок 15 лет подряд. Вероятность этого события хоть и невелика (1:32768), но и экспертов тоже много. Такого нашли, чествовали, чтобы через пару лет убедиться, что тот в конце концов тоже ошибся. Про ошибку игрока я уже рассказывал. А есть ещё сходная иллюзия кластеризации, когда наш мозг склонен группировать события, распознавая закономерности там, где их нет.
Весьма часто наши заблуждения связаны с условными вероятностей. Получив подтверждение редкого явления, мы склонны судить, что это явление подтверждается. Тем не менее стоит всё же ожидать более вероятного исхода. Раздался топот копыт за окнами - это будет не зебра, но, скорее всего, лошадь. Ведь зебры у нас реже встречаются. Тест на корону оказался положительным - скорее всего он не сработал. Не верите? Извольте, я объясню. Если принять чувствительность теста за 90% (когда тест срабатывает положительно в случае инфекции), а ложноположительный исход - за 9%, то при уровне заболеваемости 1% мы получим вероятность того, что у Вас корона - 0,01 * 0,9 / (0,99*0,09 + 0,01*0,9). Жалкие 9%. А всё оттого, 1% - это довольно низкий процент.
Мы воспользовались формулой Байеса, согласно которой априорная вероятность умножается на правдоподобие данных и делится на заурядность события. Отсюда два дальнейших следствия: доверяем больше, если тест чувствительный (данные правдоподобны) и меньше - если много срабатываний (событие часто случается по другим причинам).
Потому всегда первым делом задаёмся вопросом: насколько часто подобное случалось до того? Если редко - беспокоится ещё рано. Иначе мы превратимся ипохондрика, подозревающего у себя синдром Альцгеймера, случись раз забыть номер телефона. Или будем всю жизнь мечтать о выигрыше в лотерею. Чудеса если и случаются, то чаще всего не в нашей жизни. Особенно часто недооценка априорной вероятности встречается в прессе, падкой до сенсаций. То и дело можно встретить сообщения об опровержении теории относительности или закона сохранения энергии или о прорывном новом открытии, которое изменит всю нашу цивилизацию. Сделайте паузу, задумайтесь - и с облегчением можете сказать: "Чушь!" Стопудово не ошибётесь. Просто потому, что это - маловероятно.
Нашлось в книге место и теории рационального выбора. Согласно которой хомо экономикус всегда максимизирует свой выбор. Пинкер привёл её аксиомы и объяснил, почему они сами по себе разумны. Например, если А для нас лучше, чем Б, а Б лучше чем В, то А должно быть лучше, чем В. Иначе хитрый деляга будет меняться с нами по кругу, получая бесконечный профит. Совершая выбор, мы оцениваем вероятность пользы от альтернатив и выбираем ту, польза от которой, перемноженная на её вероятность, будет выше. При этом учитываются все наши потребности, включая любовь, честность и благотворительность. Не забываем и про закон убывающей пользы: вторая бутылка пива "заходит" хуже первой. Экономисты-классики полагают, что среднестатистически мы представляем собой таких вот хомо экономикусов, непрестанно умножающих и суммирующих предполагаемую пользу. Действительность выглядит по-другому. Мы покупаем лотерейные билеты, основываем компании и стремимся стать звездой, а не зубным техником. И даже аксиомы не столь очевидны. Лишь самые откровенные циники называют цену любви и верности. У нас не хватает ни информации, ни времени, ни памяти. Мы даже можем пасть жертвой деляги, обменяв А на Б, а потом Б на А. А ещё мы очень не любим терять и хватаемся за соломинку, лишь бы не проиграть, хоть и с небольшой вероятностью (свежий пример: страх перед побочкой от прививок). Автор подозревает, что если бы мы вели себя разумно, как хомо экономикус, мы бы в целом больше выиграли, чем проиграли. Во всяком случае не брали бы такое количество бесполезных страховок.
Ещё расскажу о теории обнаружения сигнала. Она применяется при выделении полезной информации из потока. Практическое значение она имеет для принятия решения. Для примера: начиная с какого уровня нужно включить пожарную сигнализацию? При этом на полезный сигнал накладывается шум, и их распределения перекрываются. То есть мы получили некий информацию, но она зашумлена. Реагировать или нет? Надо ставить порог срабатывания. Можно сделать симметрично:
Здесь S - полезный сигнал, а N - шум.
Получили сигнал справа от линии - реагируем. Но бывают случаи, что цена несрабатывания слишком высока. Тогда мы реагируем, как только становится ясно, что довольно вероятно, что сигнал получен, хоть это, скорее, всего и шум. Так называемы либеральный критерий принятия решений:
Такой критерий характерен для систем безопасности.
Но представим себе судью на процессе, который должен принять решение о виновности подсудимого. В этом случае решение будет принято лишь при доказанной вине: слишком высока цена ошибки. У судьи будет жёсткий критерий:
В процессе общественные споры сторонники бескомпромиссной борьбы с преступностью стремятся сдвинуть линию влево, неизбежно порождая приговоры невиновным.
Корень проблемы - в том, что кривая вероятности шума "залезает" на территорию полезного сигнала. Если увеличить качества сбора данных, то горки на диаграмме станут уже, их станет легче разграничить. Профит! Конечно, теория принятия решений не может найти нам истину. Но зато она позволяет нам ограничить ущерб. И это хорошо.
Ну и кратенько про теорию игр. Она важна, поскольку решения в этом мире принимаются не единолично, а независимо многими действующими лицами. Отношения между этими лицами таковы, что при наличии рационального решения ситуации с наименьшими потерями для всех часто складывается по-другому. А именно - проигрывают все. Впрочем, не во всех играх так бывает. Если у нас игра с нулевой суммой (камень-ножницы-бумага, например), то обязательно кто-то выиграет или никто не проиграет. Оптимальная стратегия в этой игре - действовать абсолютно случайным образом. Есть игры с положительной суммой, такие, как дилемма добровольца. При ней сумма положительна, но больше всех выигрывает тот, кто отсиживается за чужими спинами. В играх на координацию (договориться о времени свидания, но забыв договориться о месте с проблемой - куда пойти наугад) помогает наличие некоего общего знания. В "Слабо?" и прочих играх на эскалацию исход может быть катастрофическим для всех. Рациональный выход из неё - зафиксировать убытки и вовремя свалить в надежде, что и другие проявят такую же мудрость. При дилемме заключённого кооперация между игроками принесла бы пользу им обоим, но они не могут кооперировать. "Помогает" круговая порука. Ситуация вокруг экологических проблем - типичная дилемма заключённого. Если каждая страна взяла бы на себя обязательства по защите нашей планеты, то проигрыш был бы терпим для всех. Но в данный момент каждая страна надеяться выгадать для себя. В результате проиграют тоже все, но гораздо больше, чем могли бы. Выходом из тупика были бы действенные договора и правила, работающие для всех.
----------------
Вот так, с миру по нитке, автор набросал в свою книжку модных в среде западных интеллектуалов теорий. Какой-то логики в этом нагромождении я для себя не открыл. Похоже на банальное желание срубить бабла на очередной книжке. Впрочем, в последних главах автор наконец-то доходит до высказывания оригинальных мыслей. Посмотрим.