Словом, как мы уже имели случай сказать, «нет ничего абсолютно абсолютного», и потому математика в своем существе содержит противоречие, содержит свое собственное отрицание как науки, которое постоянно разрешается и преодолевается в процессе ее внутреннего развития, в ее взаимодействии с другими науками и практикой. Если мы понимаем ее теперь как «идеальную технику», то, можно сказать, она и развивается как техника в ее применении к производству продуктов потребления и машин, обслуживающих другие области, в своих внутренних потребностях совершенствования. Она есть могущественное и универсальное орудие дознания и решения задач всюду, где выявляются достаточно четко определенные структуры. Но само выделение таких структур, так же как формирование новых принципов математики, выходит за пределы ее собственных методов, подобно тому как существенные, революционизирующие преобразования техники имеют источники вне нее. Если математика абсолютизирует свои абстракции, то прежде чем быть закрепленными, они должны быть образованы, а именно это и есть самое трудное и важное в развитии теоретического познания.
Таким образом, самое математику обусловливает более первоначальный, фундаментальный и более универсальный метод теоретического сознания — диалектика, логика образования новых понятий, логика, в частности, формирования и общего исследования аппаратов — понятий, формальных теорий математики. «Всесторонняя, универсальная гибкость понятий, гибкость, доходящая до тождества противоположностей,— вот в чем суть. Эта гибкость, примененная субъективно, = эклектике и софистике. Гибкость, примененная объективно, т. е. отражающая всесторонность материального процесса и единство его, есть диалектика, есть правильное отражение вечного развития мира». Так писал В. И. Ленин [2].
Но: «Мы не можем представить, выразить, смерить, изобразить движения, не прервав непрерывного, не упростив, углубив, не разделив, не омертвив живого. Изображение движения мыслью есть всегда огрубление, омертвление,— и не только мыслью, но и ощущением, и не только движения, но и всякого понятия. И в этом суть диалектики. Эту-то суть и выражает формула: единство, тождество противоположностей» [3].
В тем большей степени происходит упрощение, огрубление, разделение, когда абстрактное понятие закрепления, абсолютизируется, и потому тем больше необходимость его уточнения, изменения, усовершенствования, развития,— необходимость отрицания его как закрепленного и восхождения через объективную гибкость мысли к новым и более совершенным понятиям.
Вместе с тем: «Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит, если оно правильное (NB),... от истины, а подходит к ней. Абстракция материи, закона природы, абстракция стоимости и т. д., одним словом, все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее» [4]. «Познание есть отражение человеком природы, но это не простое, не непосредственное, не цельное отражение, а процесс ряда абстракций, формирования образования понятий, законов etc., каковые понятия, законы etc. (мышление, наука = „логическая идея") и охватывают условно, приблизительно универсальную закономерность вечно движущейся и развивающейся природы... Человек не может охватить = отразить = отобразить природы всей, полностью ее «непосредственной цельности», он может лишь вечно приближаться к этому, создавая абстракции, понятия, законы, научную картину мира и т. д, и т. п.» [5].
Так математика, в нескончаемом процессе формирования ее абстракций и создания ее аппаратов, позволяет охватывать природу познанием все глубже, вернее и полнее. Понимание диалектики ее движения практически важно, в частности, для того, чтобы не делать фетишей из отдельных его моментов и направлений, а видеть их условность, ограниченность, необходимую взаимосвязь и переходы в общей связи и развитии математики. Об этом мы уже говорили в конце § 2. Все споры «чистых» математиков в прикладников о том, кто важнее, споры сторонников актуальной бесконечности и ее противников, канторианцев и ультраинтуиционистов и т. д.- все это только непосредственно жизненное проявление борьбы противоположностей в развитии математики. Если стороны не страдают непониманием диалектики, их спор оказывается более продуктивным, ведет к взаимному обогащению и общему развитию, иначе они расталкиваются и только закрепляются во внешнем противоречии. В таком виде всякий оттенок понимания математики легко обращается в заблуждение, в метафизику, в идеализм. Примером может служить интуиционизм, который в его толковании математики оказался субъективным идеализмом. Однако более рациональное понимание оснований и устремлений интуиционизма привело к интерпретации интуиционистской логики как логики задач и потом к «конструктивной установке» с ее конкретными математическими результатами без всякого идеализма.
«Философский идеализм есть только чепуха с точки зрения материализма грубого, простого, метафизического. Наоборот, с точки зрения диалектического материализма философский идеализм есть одностороннее, преувеличенное развитие (раздувание, распухание) одной из черточек, сторон, граней познания в абсолют, оторванный от материи, от природы, обожествленный» [6]. Конвенционализм Пуанкаре, интуиционализм Брауэра и др.,— это лишь преувеличенное, одностороннее развитие отдельных сторон математики, как условность ее аксиом, абсолютизированная Пуанкаре, или также превращенная в абсолют Брауэром интуитивная ясность построения натурального ряда прибавлением единиц в отличие от интуитивной неясности актуальной бесконечности.
Возвращаясь к определению В. И. Лениным сути диалектики, приведем следующие его примечательные слова, которыми начинается его краткая, но необычайно богатая мыслями заметка «К вопросу о диалектике». Ленин писал: «Раздвоение единого и познание противоречивых частей его есть суть (одна из „сущностей", одна из основных, если не основная, особенностей или черт) диалектики. Так именно ставит вопрос и Гегель... Правильность этой стороны содержания диалектики должна быть проверена историей науки. На это сторону диалектики обычно (например, у Плеханова) обращают недостаточно внимания: тождество противоположностей берется как сумма примеров [„например, зерно"; «например, первобытный коммунизм». Тоже у Энгельса. Но это «для популярности»...], а не как закон познания (и закон объективного мира)» [7]. Данная работа представляет собой некоторое выполнение сказанного В. И. Лениным: доказать правильность сути диалектики историей науки, в данном случае — математики, и показать, что и «тождество и борьба» противоположностей в математике есть закон ее движения и, стало быть, закон познания. Мы также старались показать, что общие понятия диалектики представляют хорошее средство общего описания и выявления закономерностей развития математики. Понятно, мы не могли все это сделать с достаточной полнотой. Но думается, нам все же удалось показать, насколько глубоко видел Ленин задачи теории познания, насколько и здесь он был прав.
[1] Начало греческой математики связано особенно с именами Фалеса, Пифагора, Демокрита; создание анализа обязано Декарту, Лейбницу, Ньютону (которого лишь по незнанию его сочинений не оценивают как философа-мыслителя); далее можно назвать Лобачевского, Римана, Кантора, Пуанкаре, Брауэра, Гильберта, Винера и др.
[2] В. И. Ленин, Сочинения, изд. 5, т. 29, стр. 99.
[3] Там же, стр. 233.
[4] Там же, стр. 152.
[5] Там же, стр. 163-164.
[6] Там же, стр. 322.
[7] Там же, стр. 316.
Часть 1
https://beskomm.livejournal.com/107649.html
Часть 2
https://beskomm.livejournal.com/107934.html
