Действительность предстоит перед нами в разнообразии ее элементов, связанных многообразными отношениями. В самом общем смысле совокупность или, как говорили прежде, — многообразие каких-либо элементов с какими-либо отношениями называется структурой. Наука выделяет и исследует более или менее определенные структуры той или иной степени общности. Физика выделяется среди других наук тем, что исследует наиболее общие взаимосвязи и соответственно структуры природы. Первой общей структурой, ставшей предметом практического овладения и отображения в первоначальных абстракциях, была структура конечных множеств с их отношениями включения, суммирования и др. и соответственно «арифметическая структура» — натуральные числа с их отношениями. Формирование понятия о все бoльших и бoльших числах было чрезвычайно длительным и лишь в итоге достаточно сложного процесса привело к ясному представлению о неограниченной продолжаемости натурального ряда. Здесь арифметика окончательно вышла за пределы данного в область потенциально возможного и превратилась в теорию чисел, отделившуюся от практической науки счета. Из физики конечных множеств выросла математическая арифметика.
Одновременно шло практическое и теоретическое овладение другой общей структурой — «геометрической», охватывающей пространственные отношения тел и их частей и, тем самым, их пространственные формы. Геометрия складывается как эмпирическая наука и по своему первоначальному содержанию несомненно относится к физике. Только долгий и сложный путь развития привел к превращению геометрии в математическую науку с ее логической связью — доказательствами утверждений и отвлечением ее предмета от исходного содержания. Эмпирическое основание элиминировалось; ссылка на опыт исключается из числа аргументов математической геометрии, хотя и сохраняется в идеализированной форме обращения к чертежу и в таких стандартных оборотах, как «проведем прямую AB», «наложим треугольник ABC на треугольник A₁B₁C₁» и т. п.
Разрыв с эмпирией был резко обозначен открытием несоизмеримости стороны и диагонали квадрата. Это открытие было логическим выводом, исходящим из теоремы Пифагора, и хотя последняя была первоначально вовсе не теоремой, а геометрическим фактом, эмпирически установленным физическим законом, тем не менее логический вывод привел к результату, из опыта не выводимому и в точном смысле не имеющему прямого эмпирического содержания. Если раньше еще можно было думать, что неточность связана с ограниченностью наших возможностей измерения, то теперь известно, что реальные тела не имеют точных размеров, и есть все основания полагать, что всякая физическая величина за некоторыми пределами уточнения теряет свой смысл, количественное уточнение влечет переход к другому качеству; это во всяком случае несомненно для всех макроскопических величин.
Именно в указанных двух пунктах разрыва с эмпирическими данными — в представлении о неограниченном ряде чисел и в открытии несоизмеримых отрезков — наиболее ясно обозначилось формирование математики в ее существенном отличии от физики, которой она принадлежала по своему происхождению и первоначальному содержанию. Логическая связь выводов, касающихся идеализированных объектов, характерна для всякой развитой науки. Выводы одних законов физики из других осуществляются не только применением математического аппарата; специфический для физики прием мысленных экспериментов, широко примененный еще в механике и термодинамике (например, цикл Карно), в принципе не отличается от мысленного эксперимента геометрии, состоящего в проведении отрезков и дуг окружности, наложении треугольников и др. Точно так же в физике рассматриваются такие идеализированные объекты, как материальные точки, абсолютно черное тело и др. Однако всякая нематематическая теория подразумевает проверку опытом, и соответственно его показаниям изменяются применяемые понятия. Особенность же математики состоит в том, что она абсолютизирует свои абстракции; ее понятия, возникнув и определившись, закрепляются и рассматриваются как данные, сравнение же их с действительностью является задачей не самой математики, а ее приложений. Предметом математики служат сами идеализированные объекты, «чистые формы», числа, а не совокупности вещей, геометрические фигуры, а не тела. Соответственно математика, как она сложилась еще в древней Греции, определяется как наука о количественных отношениях и о пространственных формах, взятых в идеализированном, отвлеченном от содержания виде. Ее чисто дедуктивный метод является неизбежным следствием такой фиксации ее предмета, поскольку идеализированные объекты тривиальным образом не могут быть предметом опыта.
Однако нет ничего абсолютно абсолютного, всякое абсолютное также и относительно. Абсолютизация абстракций математики имеет свои границы, выход за которые в самой математике порождает трудности, требующие уточнения, развития этих абстракций и способов оперирования с ними. Тем не менее исходные ее абстракции были выделены столь хорошо что указанные трудности не возникали очень долго, так долго, что эти абстракции представлялись как абсолютные. Не они сверялись с действительностью, но эта последняя подчинялась им.
Физика нового времени в ее представлении об абсолютном пространстве, мыслившемся как само по себе евклидово, приняла это понятие из геометрии. А позже Кант придал этому пространству статус априорной формы созерцания. Словом, источник геометрии, ее возникновение как второй, вслед за физикой конечных множеств, главы физики было основательно забыто, хотя грекам оно было хорошо известно. Понадобился гений Лобачевского, чтобы вернуться к пониманию подлинной связи геометрии с физикой и найти в этом возврате основание для совершенно нового и еще более абстрактного ее развития.
Развитие математики не сводится к установлению новых теорем, изобретению новых методов и определению понятий в круге уже сформировавшихся. Оно содержит также выработку существенно новых понятий, включение новых предметов и построение принципиально новых теорий. Такие наиболее существенные изменения обозначали этапы в развитии математики, как, например, этап, определенный возникновением анализа, или этап перехода от греческой геометрии к развитию алгебры, имевший важнейший источник в Индии. Однако как ни были существенны эти изменения, математика оставалась наукой о количественных и пространственных отношениях и формах действительности, хотя и исследуемых в виде абсолютизируемых абстракций. «Переменные» представлялись не более как идеализированными образами реальных переменных величин физики, так же как функции — идеализированными образами реальных зависимостей. Кривые и поверхности дифференциальной геометрии были такими же идеализированными образами реальных нитей и поверхностей, как, например, абсолютно твердое тело или материальные точки в механике. Правда, появившиеся еще в XVI в. комплексные числа оставались мнимыми, реальный смысл их был непонятен, но они не играли существенной роли и выступали как «чудесное» пособие для решения некоторых вещественных задач.
Новое развитие математики с начала XIX в. было вызвано главным образом потребностью решить ее собственные проблемы, приобретшие, можно сказать, характер загадок. Первой по времени ее появления была загадка постулата Евклида, напрасные попытки доказательства которого тянулись уже две тысячи лет. Решение этой загадки было дано утверждением Лобачевского, что выводы из отрицания V постулата представляют собой возможную или, как он сам говорил, «воображаемую» геометрию. Решение было завершено последовавшим через 40 лет доказательством непротиворечивости геометрии Лобачевского. Вместе с другими новыми «геометриями» это превратило геометрию в науку о разного рода пространствах. Общее понятие пространства, включая и функциональные, было явно выражено Риманом в его работе «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии».
Второй загадкой была загадка мнимых чисел — проблема обоснования их применения. Ее решение, данное определением комплексной плоскости и сделавшее мнимые числа «действительными», повлекло развитие теории функций комплексной переменной и образование понятия о гиперкомплексных числах. Третьей загадкой была проблема решения алгебраических уравнений; она должна была представляться загадочной потому, что хотя уравнения 3-й и 4-й степени были решены еще в XVI в., все усилия и грандиозные успехи математики не помогли пойти здесь дальше. Решение этой проблемы в теории Галуа, повлекшее разработку теории групп, дало, вместе с гиперкомплексными числами, толчок совершенно новому развитию алгебры, превратившему ее из учения о формальных действиях с числами и решении уравнений в науку о разнообразных алгебраических системах. Наконец, четвертой была загадка, лежавшая в самом анализе, в понимании самих его основных понятий: бесконечно малых, функции и переменной. Вопрос, можно сказать, шел о смысле выражения lim f(x): что значат в нем lim, f, х? Решался он именно в такой последовательности, противно логике. Коши изгнал мистические бесконечно малые, определив предел, далее последовало общее определение функции и, наконец, в начале 70-х гг. было дано определение вещественного числа х, более пригодное для теории, чем старое его определение как отношения любых величин, которое давал еще Омар Хайям. Но главным было все же не само по себе решение «загадки х», а создание Кантором в этой связи общей теории множеств. Так загадки науки в своем решении влекут совершенно новые теории, преобразуя всю науку в целом: в физике загадка — объяснить закон излучения абсолютно черного тела — повлекла квантовую теорию, а загадка опыта Майкельсона — теорию относительности.
Появление воображаемой геометрии выдвинуло вопрос о ее непротиворечивости, который для геометрии Евклида, естественно, не ставился, поскольку ее основания представлялись очевидными и безусловно достойными признания: самое слово «аксиома» означает «достойное признания». Отсюда и из других внутренних вопросов математики пошло развитие аксиоматического метода, остававшегося без движения со времени создания его греками. Вместе с этим методом свободное оперирование произвольными множествами дало общие приемы определения понятий математики, позволившие охватить единым образом все ее сложившиеся и вновь возникающие объекты.
Согласно этой теоретико-множественной точке зрения, всякий предмет математики есть структура, т. е. множество каких-либо объектов с теми или иными отношениями между ними и подмножествами. (Функция уже включается в это общее понятие, если определить ее как множество упорядоченных пар.) При этом либо природа объектов и отношений остается вовсе не определенной и лишь фиксируются в аксиомах формальные свойства этих последних, как, например, в аксиомах группы, либо объекты и отношения определяются псевдоконструктивно, исходя из объектов и отношений, считающихся данными, как вещественное число определяется исходя из рациональных, т. е. в конечном счете из целых чисел. Тот же псевдоконструктивный прием применяется для построения структур, служащих моделями для структур, определяемых актиоматически, причем наличие такой модели принимается как свидетельство непротиворечивости аксиоматического определения и строящейся на нем теории.
Соответственно этому математика определяется как наука о любых возможных «чистых» структурах, возможных — в смысле логически мыслимых, хотя бы в остальном лишь «воображаемых» и «мнимых», и «чистых» в том смысле, что их элементы и отношения не содержат ничего, кроме данного в самом определении этих структур [1]. Свобода теоретико-множественных определений дала основание Кантору сказать гордые слова: «Сущность математики — в ее свободе!» Однако действительная свобода требует понимания необходимости, ибо иначе субъективно свободная деятельность может вести к неожиданным результатам или даже вовсе не осуществляется, оказываясь, тем самым, объективно вовсе не свободной. Так произошло со свободой, провозглашенной Кантором: вместе с грандиозными успехами она привела к парадоксам. Теоретико-множественная установка оказалась подорванной, и вместе с нею оказалось подорванным все стройное здание математики. В верхних его этажах шло энергичное строительство: кирпичи теорем, соединяемые цементом логики, укладывались в рамки уже определившихся разделов и воздвигались каркасы новых теорий, но в теоретико-множественном фундаменте обнаружились расширяющиеся трещины парадоксов и под ними зыбучие пески и топи логических трудностей. Архитекторы и инженеры — логицисты, интуиционисты, эффективисты, конвенционалисты, реалисты, формалисты — выдвигали разнообразные проекты вплоть до разрушения существенной части всего здания, как предлагали поступить интуиционисты, в частности, с чистыми теоремами существования. Единство в понимании математики было утрачено и было заявлено, например, что для интуициониста математическая истина — в голове математика, а для формалиста — на бумаге.
Во спасение прекрасного здания математики Гильберт выдвинул свой проект подвести под него прочный фундамент формализации. Математика должна опираться на строго определенные правила оперирования с символами, а так как сами эти символы, их комплексы — формулы и последовательности формул — суть достаточно определенные внешние предметы, то всякая зыбкость оснований будет исключена этой внешней предметной ясностью. Однако этот проект оказался неосуществимым; его собственное развитие привело к доказательству того, что никакая сколько-нибудь содержательная часть математики не может быть полностью формализована, а для той, которая формализована, непротиворечивость не может быть доказана в рамках формализовавшей ее системы. Так не на философском, а на математическом уровне было установлено, что бесконечность не может быть полностью включена в конечное и что анализ и упрочнение оснований математики не имеет пределов, не может быть завершено. Оно оказывается столь же нескончаемым процессом, как воздвижение на этих основаниях новых теорий. Но так же как это было с решением загадок математики начала XIX в., главным последствием исследования оснований, математики в начале XX в. явилось развитие существенно преобразовавших математику новых теорий: математической логики [2], теории алгорифмов, теории автоматов и связанной с ними теории математических машин, а также кибернетики с возникшими из других источников теориями информации, игр и др. В этих теориях в той же свойственной математике форме абсолютизированной идеализации исследуется прежде всего сама деятельность человека: возможности математического вывода и решения задач теми или иными данными средствами, передача информации, управление и др. В этом смысле математика стала гуманитарной наукой [3]. А появление математических машин сделало ее наукой технической. Соответственно всему этому можно говорить о существенно новом этапе в развитии математики, оформившемся в 50-х годах.
[1] Это определение математики перефразирует то, которое было дано А. Н. Колмогоровым в его статье «Математика» в первом издании БСЭ.
[2] Хотя математическая логика зародилась еще в 40-х гг. XIX в., она оставалась на границах математики и философии, но теперь стала действенной частью математики со своими практическими приложениями.
[3] Суждение о математике как о гуманитарной науке и о том, что теоремы скорее изображают, чем открывают, я впервые слышал от А. А. Маркова уже довольно давно.
§ 2. Что такое математика
Современный этап в развитии математики не дает основания отказаться от ее определения как науки о возможных чистых структурах. Но как при переходе к теоретико-множественной точке зрения изменилось представление о возможности и чистоте, т. е. о допустимых абстракциях, так оно изменяется и теперь при переходе к современным точкам зрения. Для уточнения мы воспользуемся принятой терминологией, различающей математику и метаматематику, хотя, как нам представляется, последняя и есть то, чем занимаются математики, и является поэтому собственно математикой. В указанной терминологии под математикой понимается совокупность формальных теорий, т. е. развиваемых по достаточно точно определенным правилам систем формальных выводов. При этом мы можем иметь в виду несколько различные уровни формализации; крайним представляется тот, который позволяет превратить теорию в определенным образом действующую машину. Но построение и исследование формальных теорий выходит за пределы математики в этом смысле и составляет предмет уже метаматематики, так что можно сказать: «Метаматематика есть наука о математике». Формальные теории сами по себе являются структурами, а другие структуры, входящие в сферу математики вообще и понимаемые с той или иной степенью содержательности на том или ином уровне абстракции, служат предметом формализации либо для интерпретации формальных теорий. Разумеется, они остаются предметом математики в общем смысле.
То же представление о математике можно выразить более наглядно. Подобно тому как материальная техника извлекает из природы разнообразные материалы, преобразует и комбинирует их, создавая человеку средства для овладения природой в практической деятельности, так и математика, извлекая из природы путем абстракции свои первоначальные понятия, преобразуя и комбинируя их, создает средства для теоретического овладения природой. Она может быть поэтому определена как «идеальная техника». Такие ходячие выражения, как «математический аппарат квантовой механики» и т. п., совершенно ясно выражают это техническое значение математических теорий. Математика в общем смысле, или, говоря уже,— метаматематика, является, стало быть, наукой об этих математических аппаратах, и в этом смысле оказывается наукой технической. Как технические науки исследуют не саму по себе природу, а возможности ее использования человеком, так и математика исследует возможности человека — как мы можем решить ту или иную задачу. Как экспериментальная техника дополняет естественные органы человека своими аппаратами, позволяя проникнуть туда, куда эти органы не достигают, так математика дополняет естественную мыслительную способность человека своими аппаратами и позволяет строить теории других наук и решать задачи, не доступные ни воображению, ни непосредственному мышлению. Но так же как всякий эксперимент завершается тем, что человек воспринимает и затем интерпретирует показания приборов, так и применение математического аппарата необходимо завершается непосредственным восприятием и пониманием его результата. Математические машины представляют не что иное, как материальную реализацию тех же аппаратов математики.
Математика и зародилась как идеальная техника — техника счета, техника решения практических задач измерения участков земли и др. Арифметика есть именно аппарат, созданный человеком путем абстракции из природы, практики понятий о числах и действий с ними. Для миллионов людей, которые пользуются арифметикой, она является таким аппаратом. То же демонстрирует возникновение анализа. Ньютон был вынужден изобрести аппарат для выражения законов механики и решения ее задач: дифференциальное и интегральное исчисление и явилось таким аппаратом. Уже «изменение движения», о котором говорится в ньютоновской формулировке его второго закона, в точном значении означает производную от количества движения по времени, как определение движения по скорости или ускорениям требует интегрирования. Возникнув, анализ явился могущественным средством решения массы других задач и в свою очередь получал импульсы к развитию из физики. Напомним лишь один пример: обобщенные функции, которые в виде δ-функции были введены физиками до того, как математики создали теорию обобщенных функций. Из примеров, когда заготовленный внутри математики аппарат оказался решающим орудием развития физики, упомянем использование римановой геометрии в построении общей теории относительности; задач на собственные значения — в создании квантовой механики; теории групп — в классификации спектров и в создании теории элементарных частиц. В познании этих глубоко скрытых от нашего прямого восприятия и недоступных наглядному представлению областей природы роль математики становится особенно значительной и выступает с чрезвычайной отчетливостью. Физики сначала создают математическую форму теории, как они говорят — «математический формализм», и лишь потом начинают понимать его, что оказывается по большей части делом более трудным. Написание уравнений Шрёдингера и Дирака предшествовало пониманию их смысла, и до сих пор идут дискуссии об интерпретации квантовой механики среди тех, кто с успехом применяет ее математический аппарат в решении разнообразных конкретных задач.
Современный этап в развитии математики в ее отношении к другим наукам характеризуется не только этим математическим конструированием новых физических теорий. Не меньшее значение имеет проникновение математики во все науки: в биологию, экономику и т. д., вплоть до филологии. Но в этом, пожалуй, нет ничего удивительного. Поскольку всякий предмет любой данной науки есть некоторая структура, то лишь только эта структура в каком-либо ее аспекте и части оказывается достаточно четко определенной и фиксированные в ней отношения оказываются достаточно богатыми, чтобы дать почву для ее исследования в качестве чистой структуры, как она, тем самым, уже входит в сферу математики. Математика вырастает как универсальное средство всякой науки. Такой она была, впрочем, с самого начала, ибо ни одна наука не обходится без счета, но теперь дело идет о применениях математики не только в решении несравненно более сложных задач, но и в самом формировании понятий и теоретических представлений той или иной науки, как это было уже давно в физике и в сравнительно недавнее время стало в экономике или лингвистике.
Понимание математики как идеальной техники выясняет, далее, вопрос об истине в математике. Трудность его состоит в том, что идеальные объекты математики не только не сопоставляются в ней с действительностью, но и не имеют в этой последней достаточно точного прообраза. Достаточно вспомнить иррациональные числа, не говоря уже о таких вещах, как бесконечные множества различных мощностей. Когда в аксиоматическом определении какого-либо предмета математики речь идет о некоем множестве объектов «произвольной природы», то правильным оказывается афоризм Рассела, что «математика есть доктрина, в которой неизвестно, о чем мы говорим и верно ли то, что мы говорим». Решение проблемы состоит однако, попросту, в понимании того, что этой проблемы нет. Математика создает свои аппараты, и бессмысленно говорить о том, истинны они или ложны: аппарат либо работает, либо не работает, а если работает, то либо продуктивно, либо плохо. Совершенно так же нелепо спрашивать: «Истинный это станок или ложный?»; станок просто есть, и осмысленным является вопрос о том, как он работает, на что он годится. Так и идеальная техника математики с ее аппаратами просто есть, она существует как особая форма социальной действительности и работает в своей сфере не хуже материальной техники. Вопрос об истине встает лишь в применениях математики, и ответ зависит уже не от нее самой, а от того, насколько правомерно данное ее применение. Конечно, сказанное упрощает и утрирует фактическое положение, так как от истины фактов, лежащих в началах математики, идет цепь переходов к формальной правильности ее абстрактных аппаратов.
Значение и оправдание математики заключается в ее применении, как я значение и оправдание техники. И как никто всерьез не занимается бесплодными техническими выдумками, так и в математике получают особенное развитие те направления, которые наиболее плодотворны в применениях. Однако техника имеет свою необходимую структуру. В станке важна не только его непосредственно работающая часть, скажем резец: лучший резец ничего не даст без всего станка в целом. Никакое современное производство не возможно без техники, обслуживающей его собственные нужды и обеспечивающей его нормальный ход. Аналогично, идеальная техника математики имеет свою структуру и без областей, обслуживающих ее собственные нужды, не может работать и развиваться сколько-нибудь удовлетворительно. Поэтому забота об одних приложениях подобна тому, как если бы в станке заботились только о резце или в промышленности — только о производстве предметов потребления. При такой заботе само это производство очень скоро пришло бы в упадок. Так же и забота о приложениях без должного внимания к опережающему развитию самой математики вела бы только к упадку развития науки.
Соответственно снятию вопроса об истине в математике решается вопрос о ее основаниях. Основания всякой науки лежат в самой отражаемой ею действительности, но поскольку предметом математики служат идеализированные объекты и обращение к опыту исключается из ее аргументов, то вопрос о ее основаниях или обосновании имеет особый характер н трудности. Теперь мы можем сказать, что этот вопрос касается общих принципов построения аппаратов математики. Аксиоматический метод является одним из них. Требования непротиворечивости можно понимать как то, что аксиоматически определенный аппарат вообще может работать. Из формального противоречия, как учит математическая логика, следует все что угодно, а для аппарата это бессмысленно. Вместе с тем уже вовсе не представляется необходимым, чтобы аппарат работал по правилам обычной формальной логики. В принципе не видно причин, почему правила его работы — правила вывода — не могли бы быть совсем другими, вроде того как машина может быть не механической, а построенной на иных принципах, лишь бы она работала продуктивно. Фактически на место прежнего логического монизма математики, требовавшего обычной формальной логики, сложился логический плюрализм с разными логиками: обычной формальной, конструктивной, минимальной, многозначной и др. Точно так же исследуются и принимаются или отклоняются разные уровни абстракции — от абстракции актуальной бесконечности в классическом Духе Кантора до ультраинтуиционистского взгляда, допускающего лишь ограниченные множества целых чисел. Теперь представляется совершенно ясным, что, как уже было сказано выше, исследование и развитие математики не имеет конца, как не вообразим какой-то конец развития техники, когда все возможные принципы, приемы и возможности ее создания будут установлены и останется разве лишь задача их разнообразного воплощения.
Острота прежних споров разных направлений в математике представляется чрезмерной, если посмотреть на них с более широкой точки зрения. Есть разные уровни абстракции, разные уровни строгости и даже разные логики, есть строгость на уровне инженера, физика, простого или утонченного математика и, наконец, специалиста по математической логике. Но даже эта последняя не является абсолютной. В обычном изложении оснований геометрии для университетов аксиоматика Евклида изображается негодной, а аксиоматика Гильберта идеальной. Однако это не верно, так как у Гильберта подразумевается теоретико-множественная позиция, сама подверженная критике и нуждающаяся в выяснении ее оснований. Такой же наивной претенциозностью является распространенная манера говорить о совершенной строгости университетского курса анализа, третируя курс для инженеров или анализ времени Эйлера как нестрогие. Конечно, строгость на уровне Вейерштрасса — Кантора, принятая в нынешних курсах анализа, выше строгости Эйлера, она выше в «Основаниях геометрии» Гильберта, чем у Евклида. Но все это лишь ступени в развитии строгости математики.
Точно так же разные уровни абстракции и разные подходы к основаниям математики — только ступени в их углубляющемся движении. Когда один подход выхватывается из общей связи развития и выдвигается как единственно правильный, он извращается и доходит до заблуждении. Конечно, алгорифмическое решение глубже и сильнее чистой теоремы существования, но едва ли надо верить, что теория алгорифмов сама не может быть подвергнута критике и не потребует уточнения ее основ. И едва ли нужно вовсе опорачивать абстракцию актуальной бесконечности, чистые теоремы существования, доказательства с аксиомой выбора, если пользоваться ими с пониманием ограниченности их значения. К тому же мы понимаем, что всякое существование в математике условно, так как оно есть существование идеализированного объекта. Математическая машина, конечно, безусловно существует, но это уже не идеальная, а материальная техника.
Лет 20 назад происходила довольно жаркая дискуссия вокруг теоретико-множественной установки, которая выдвигалась как столь адекватное отражение действительности, что бесконечным множествам приписывалось реальное существование, независимое от человека: «Континуум есть некая реальность и он должен находиться где-то на шкале алефов». Решительные возражения против такого взгляда оказались правильными: возможны разные теории множеств, с разными положениями континуума на шкале мощностей. Не так ли казалось, что евклидова геометрия — единственно возможная и что постулат о параллельных должен быть верным? Однако возможны разные геометрии, и постулат о параллельных не обязан выполняться во всех случаях, и это стало теперь общеизвестным трюизмом. Таким же трюизмом станут современные достижения в основаниях математики, а за ними последуют новые и т. д., и т. д. Тем более останутся и будут исследоваться глубокие проблемы сущности математики, но они принадлежат уже не ей самой, а науке о познании, гносеологии, которая именно в настоящий период формируется уже не как область философии, а как конкретная наука.
Так математика предстает перед нами в ее развитии от физики конечных совокупностей до современного ее состояния и дальше в том же непрестанном развитии, идущем в накоплении новых результатов и изобретении новых методов уже определившихся разделов, в создании новых теорий и восхождении к новым абстракциям, в расширении сферы охвата, в совершенствовании скрепляющей ее логики и углублении ее оснований — во всем этом процессе производства все более совершенных и мощных аппаратов для овладения действительностью.
Окончание: https://beskomm.livejournal.com/107934.html
