Почему Русские и Украинцы (СССР)
Запустили первого человека в космос
Запустили первого человека в космос
В 2009 году двое астрономов из Парижской обсерватории объявили о поразительном открытии. Построив подробную виртуальную модель Солнечной системы, они провели тысячи симуляций, прогнозируя движение планет на миллиарды лет вперёд. В большинстве этих симуляций начальное положение Меркурия варьировалось в диапазоне менее 1 метра и всё было в рамках ожиданий. Планеты продолжали обращаться вокруг Солнца по своим эллиптическим орбитам примерно так же, как и в течение всей истории человечества.
Однако примерно в 1% случаев происходили неожиданные изменения. Форма орбиты Меркурия значительно менялась — до тех пор, пока планета не погружалась в Солнце или не сталкивалась с Венерой. Иногда, прокладывая свой новый маршрут в космосе, Меркурий также вызывал нестабильность в поведении других планет: Марс, например, мог быть выброшен из Солнечной системы, или столкнуться с Землей. Венера и Земля могли в замедленном космическом танце несколько раз обменяться орбитами, прежде чем окончательно столкнуться.
Возможно, Солнечная система не настолько стабильна, как учёные ранее предполагали.
Веками, начиная с того самого момента, как Исаак Ньютон сформулировал свои законы движения и гравитации, математики и астрономы работали над этим вопросом. В самой простой модели Солнечной системы, учитывающей только гравитационные силы, создаваемые Солнцем, планеты следуют своим эллиптическим орбитам, словно часы. Вечно. «Это довольно удобный сценарий, — пояснил Ричард Мёкель, математик из Университета Миннесоты. — Так будет продолжаться вечно, людей на Земле уже не останется, но Юпитер все ещё будет следовать своей орбите».
Однако, если принять во внимание гравитационное притяжение между самими планетами, всё становится гораздо сложнее. Теперь нельзя точно рассчитать положения и скорости планет на больших промежутках времени — вместо этого приходится строить модель их взаимодействия на протяжении того или иного временного отрезка. Могут ли эффекты взаимного притяжения планет накапливаться и нарушать точность столь выверенного механизма как Солнечная система?
Детальное численное моделирование, вроде того, что было представлено Жаком Ласкаром и Микаэлем Гастино из Парижской обсерватории в 2009 году, указывает на то, что есть небольшая, но всё же реальная вероятность возникновения хаоса. Однако эти симуляции, хотя и важны, не являются математическим доказательством. Они не могут быть полностью точными, и, как продемонстрировано ими же, даже небольшая погрешность может в течение миллиардов симулированных лет привести к совершенно разным результатам. Более того, они не обеспечивают даже базового объяснения того, почему те или иные события могут происходить. «Мы хотим понять, какие математические механизмы вызывают нестабильность и доказать, что эти нестабильности действительно существуют», — пояснил Марсель Гуардия, математик из Университета Барселоны.
Математики Марсель Гуардия (слева) и Жак Фежоз уже несколько лет сотрудничают в поисках доказательства нестабильности, возникающей в модели Солнечной системы. Фото: Jessica Massetti
На сегодня Гуардия и двое его коллег впервые доказали, что нестабильность неизбежно возникает в модели, описывающей орбиты планет вокруг Солнца, опубликовав свои вычисления в трёх статьях, общим объемом более 150 страниц (ссылки на данные научные работы будут представлены в конце статьи — прим. ред.).
«Результат действительно впечатляющий, — резюмировала Габриэлла Пинзари, физик-математик из Падуанского университета в Италии. — Авторы доказали одну из самых красивых теорем, которую только можно было доказать». Это также может помочь объяснить, почему Солнечная система выглядит именно так, а не иначе.
Уже столетия назад было очевидно, что гравитационное взаимодействие между планетами может привести к долгосрочным последствиям. Рассмотрим Меркурий. У него уходит три месяца, чтобы совершить оборот вокруг Солнца по эллиптической траектории. Однако эта траектория также медленно вращается — на один градус каждые 600 лет, полный оборот происходит каждые 200 000 лет. Этот вид вращения, известный как прецессия, в значительной степени обусловлен воздействием Венеры, Земли и Юпитера на Меркурий.
Однако исследования, проведённые ещё в 18 веке такими математическими гениями как Пьер-Симон Лаплас и Жозеф Луи Лагранж, указывали на то, что, за исключением прецессии, размер и форма эллипса являются стабильными. И только в конце 19 века эта ситуация начала меняться, когда Анри Пуанкаре обнаружил, что даже для модели с тремя небесными телами (например, звездой, вокруг которой обращаются две планеты) невозможно сделать точные вычисления в рамках уравнений Ньютона. «Небесная механика — это деликатная вещь», — подтвердил Рафаэль де ла Льяве, математик из Технологического института Джорджии. Достаточно изменить начальные условия на крошечную величину — например, сдвинув предполагаемое положение одной планеты всего на метр, как сделали Ласкар и Гастино в своих симуляциях — и на больших временных промежутках система станет выглядеть совершенно иначе.
В задаче трёх тел Пуанкаре обнаружил такую запутанность возможных их поведений, что сначала подумал, что допустил ошибку. После того, как он подтвердил достоверность своих результатов, больше нельзя было считать стабильность Солнечной системы как само собой разумеющеюся. Однако, поскольку работа с уравнениями Ньютона является настолько непростой, не было до конца ясно, может ли поведение Солнечной системы быть сложным и хаотичным исключительно на малом масштабе. Например, планеты могут оказаться в разных положениях, но всё же в предсказуемом диапазоне. Или же, как подтвердили Гуардия и его коллеги в своей модели, размер и форма орбит могут изменяться настолько сильно, что планеты могут столкнуться друг с другом или же улететь в бесконечность космоса.
Инфографика: Merrill Sherman | Quanta Magazine
Затем, в 1964 году математик Владимир Арнольд написал четырёхстраничную статью, в которой сформулировал правильную постановку проблемы.. Он обнаружил конкретную причину, по которой ключевые переменные в динамической системе могут сильно изменяться. Сначала он создал искусственную модель, странное сочетание маятника и ротора, которая вообще не напоминала что-либо, с чем можно столкнуться в природе. С помощью этой модели-игрушки он доказал, что при достаточном времени определённые величины, которые обычно остаются постоянными, могут значительно меняться.
Арнольд предположил, что большинство динамических систем должны проявлять такой вид нестабильности. В случае Солнечной системы это может означать, что формы орбит или эксцентриситеты определённых планет могут изменяться в течение миллиардов лет.
Однако, несмотря на значительные успехи математиков и физиков в доказательстве возникновения нестабильности в общем случае, им было трудно доказать это на примере моделей небесных тел. Это связано с тем, что гравитационное воздействие Солнца настолько сильно, что многие особенности планетарной модели сохраняются даже при учёте дополнительных сил, создаваемых планетами (в данном контексте, ньютоновская механика даёт настолько хорошее приближение к реальности, что в этих моделях не нужно учитывать эффекты общей теории относительности). Такая врождённая устойчивость затрудняет обнаружение нестабильности.
Могут ли параметры, остающиеся такими неизменными в вычислениях Лапласа, Лагранжа и других учёных, действительно измениться столь значительно? «Похоже, мы имеем дело с крайне слабой нестабильностью», — объясняет Лоран Недерман из университета Париж-Сакле. Обычными методами её не обнаружить.
Численное моделирование давало надежду на то, что поиск такого доказательства не был напрасным. И предварительные доказательства были. Например, в 2016 году де ла Льяве и двое его коллег доказали нестабильность в упрощённой модели небесной механики, состоящей из Солнца, планеты и кометы, при условии, что комета не имеет массы и, следовательно, не оказывает гравитационного влияния на планету. Такая конфигурация модели известна как «ограниченная» проблема N тел.
Новые работы решают настоящую проблему N тел — они показывают, что нестабильность возникает в планетарной системе, где три маленьких тела вращаются вокруг гораздо большего Солнца. Несмотря на то, что размеры и формы орбит могут длительное время колебаться вокруг фиксированных значений, в конечном итоге они резко меняются.
Это было вполне ожидаемо — считалось, что стабильность и нестабильность сосуществуют в такого рода моделях, но математики первыми доказали это.
Гуардия впервые попытался доказать нестабильность в задаче трёх тел (одно Солнце, две планеты) в 2016 году вместе с Жаком Фежом из Университета Парижа-Дофин. Хотя им удалось подтвердить, что возникает хаотическая динамика в духе Пуанкаре, они не смогли доказать, что такое хаотическое поведение приводит к большим и долгосрочным изменениям.
В сентябре 2020 года к ним присоединился Эндрю Кларк, научный сотрудник под руководством Гуардии. Они решили взяться за эту проблему вновь, на этот раз добавив в модель ещё одну планету. В ней три тела вращаются вокруг Солнца на всё больших расстояниях друг от друга. Ключевым моментом является то, что самая ближняя к звезде планета начинает своё движение с существенным наклонением своей орбиты относительно орбит второй и третьей планет, так что её траектория образует практически прямой угол с их траекториями.
Математик Эндрю Кларк просыпается посреди ночи, задаваясь вопросом, проявляет ли наша Солнечная система ту же нестабильность, что и модели, которые он изучает. Фото: Frith Carlisle
Это наклонение позволило математикам найти начальные условия, приводящие к нестабильности.
Они доказали существование траекторий, приводящих к практически любому возможному эксцентриситету второй планеты: со временем её эллипс мог сжиматься до такой степени, что почти становился прямой линией. В то же время орбиты второй и третьей планет, которые изначально находились в одной плоскости, также могли оказаться перпендикулярными друг другу.
Вторая планета даже могла развернуться на полные 180 градусов: и в то время как все планеты изначально двигались вокруг Солнца по часовой стрелке, она обращалась в обратном направлении. «Представьте себе, что вы заглядываете в будущее на миллион лет вперёд, и Марс движется в противоположном направлении, — пояснил Ричард Монтгомери из Университета Калифорнии в Санта-Крузе. — Это было бы весьма странно».
«Избежать очень экстремальных орбит даже в таком простом случае невозможно», — подтвердил Нидерман.
Тем не менее, размеры орбит оставались стабильными. Это связано с тем, что в этой модели планеты движутся вокруг Солнца очень быстро по сравнению с тем, как долго их орбиты прецессируют — что позволяет математикам игнорировать «быстрые» переменные, связанные с движением планет. «Если вам действительно интересно, что меняется на протяжении тысячи лет, то задумываться о том, что происходит каждый год, может быть утомительно», — пояснил Мёкель. Колебания размера каждого эллипса, измеряемые через величину большой полуоси, усредняются.
Это не стало сюрпризом. «Общепризнано, что наклонение и эксцентриситет должны быть менее стабильными, чем полуось», — объяснил Гуардия. Но затем он и его коллеги поняли, что если они поместят третью планету ещё дальше от Солнца, то смогут добавить ещё больше нестабильности в свою модель.
Эта новая система и уравнения, использовавшиеся в ней, оказались более сложными, и математики не были уверены, что смогут получить какие-либо результаты. «Однако это было слишком важно, чтобы просто сдаться, — сказал Кларк. — Если есть шанс доказать, что полуоси могут смещаться, то, я уверен, нужно пытаться сделать это».
Ласкар, руководивший большей частью вычислительных исследований по нестабильности в Солнечной системе, обнаружил, что если совместить подобную модель с Солнечной системой, то можно увидеть, что первая планета располагается прямо возле Солнца, вторая планета занимает место Земли, а третья планета находится в Облаке Оорта, на границе внешней части Солнечной системы (именно поэтому, согласно его словам, это представляет собой «очень экстремальную ситуацию» — которую он не ожидает встретить в нашей галактике).
Чем больше расстояние планеты от Солнца, тем больше времени ей требуется на полный оборот вокруг него. В этом случае, третья планета находится настолько далеко, что прецессия двух внутренних планет происходит гораздо быстрее. В таком случае невозможно усреднить движение последней планеты — сценарий, который Лагранж и Лаплас не учитывали в своих исследованиях стабильности Солнечной системы. «Это полностью меняет структуру уравнения», — пояснил Ален Шансинер, математик из Парижской обсерватории. Теперь появляются дополнительные переменные, которые нужно учитывать.
Кларк, Фежоз и Гуардия доказали, что орбиты могут становиться произвольно большими. «Они, наконец, добились увеличения размера орбиты, а не только изменения её формы или чего-то подобного, — сказал Мёкель. — Это представляет собой абсолютную нестабильность».
Несмотря на то, что эти изменения накапливались очень медленно, они всё же происходили быстрее, чем можно было бы ожидать. Это говорит о том, что в реальной планетарной системе они могут накапливаться на протяжении сотен миллионов, а не миллиардов лет.
В 2009 году физик-математик Габриэлла Пинзари выявила забытую на десятилетия сложную систему координат, что позволило проводить новые исследования нестабильности планетарных систем. Фото: Department of Mathematics of University of Padua
Полученные результаты предоставляют потенциальное объяснение того, почему орбиты планет Солнечной системы лежат почти в одной плоскости. Например, даже такой простой фактор, как большой угол наклона, может быть источником значительной нестабильности по многим параметрам. «Если представить конфигурацию модели, где взаимные наклоны орбит достаточно большие, то такая система развалится довольно быстро, — пояснил Ченсайнер. — Она была бы разрушена сотни, тысячи веков назад».
Понадобились методы геометрии, анализа и динамики, а также возвращение к самим основам для доказательства этих утверждений.
Математики представили каждую конфигурацию своей планетарной системы (положения и скорости планет) как точку в многомерном пространстве. Их целью было показать существование «путей» в пространстве, соответствующих, скажем, большим изменениям эксцентриситета орбиты второй планеты или большой полуоси орбиты третьей планеты.
Для этого было необходимо выразить каждую точку в терминах координат, которые были настолько экзотичны и сложны, что едва ли кто-то о них слышал, не говоря уже о попытках их использования. Эти координаты были впервые открыты в начале 1980-х годов бельгийским астрономом Андре Депри, затем благополучно забыты и впоследствии снова обнаружены Пинзари в 2009 году, когда она работала над своей докторской диссертацией. С тех пор они почти не использовались.
Используя координаты Депри для описания многомерного пространства планетарных конфигураций, математики получили более глубокое понимание его структуры. «В этом заключается часть красоты доказательства: уметь использовать эту 18-мерную геометрию», — рассказал Фежоз.
Фежоз, Кларк и Гуардия обнаружили «пути», пересекающие несколько особенных регионов в этом пространстве. Затем они использовали своё понимание многомерной геометрии, чтобы доказать, что эти «пути» соответствуют нестабильной динамике размера и формы орбит планет.
«Когда я получил свою докторскую степень 30 лет назад, — рассказал Нидерман, — мы были крайне, крайне далеки от подобных результатов».
«Это столь сложная система, что у вас возникает ощущение, что произойти может всё, что не является явно невозможным, — пояснил Шансинер. — Но обычно очень трудно это доказать».
Теперь математики надеются использовать методы Кларка, Фежоза и Гуардии для доказательства нестабильности в моделях, более похожих на Солнечную систему. Эти результаты становятся особенно значимыми по мере того, как астрономы открывают всё больше экзопланет, обращающихся вокруг других звёзд и демонстрирующих самый широкий спектр конфигураций систем. «Это похоже на открытую лабораторию, — пояснил Мариан Гидеа, математик из Йешива-университета. — Понять на бумаге, какие типы эволюций планетарных систем могут существовать и сравнить это с тем, что вы способны наблюдать — это очень захватывающе. Это даёт много информации о физике Вселенной и о том, насколько наша математика способна выразить это через относительно простые модели».
В надежде на проведение подобного сравнения, Фежоз обсуждал с несколькими астрономами возможность обнаружения планетарных систем, которые хотя бы отдалённо напоминают модель, разработанную им и его коллегами. Другие исследователи, включая Гидеа, говорят, что эта работа может быть полезной для разработки эффективных траекторий для искусственных спутников или определения способов перемещения высокоскоростных частиц с помощью ускорителя. По словам Пинзари, исследования в области небесной механики до сих пор остаются весьма актуальными.
Конечной целью является доказательство нестабильности в Солнечной системе. «Я просыпаюсь ночью и думаю об этом, — поделился Кларк. — Я бы сказал, что это была бы настоящая мечта, но это был бы кошмар, не так ли? Потому что мы бы оказались в полной…»..
Мы постарались сделать каждый город, с которого начинается еженедельный заед в нашей новой игре, по-настоящему уникальным. Оценить можно на странице совместной игры Torero и Пикабу.
Реклама АО «Кордиант», ИНН 7601001509
Всем доброго времени суток
Когда речь заходит об орбитах и спутниках, мы заранее предполагаем, что они движутся над поверхностью планеты, что логично: целым пролететь сквозь землю он не может. Но. Что если предположить, что может. Допустим, люди придумали такой материал, что он может без какого-либо сопротивления проходить сквозь другие тела. И сделали из него спутник. И запустили на орбиту. Как будет выглядеть такая орбита? В этом сейчас и будем разбираться
Чтобы разобраться, почему орбиты будут отличаться, зайдем немного издалека и вспомним электродинамику. В школьном курсе физики рассказывают, что если равномерно нанести заряд на сферу, то электрическое поле будет только снаружи сферы, но не внутри. Более наглядно это показано на картинке:
Видно, что электрическое поле есть только вне сферы. Еще на 3 картинке показано, что если есть 2 сферы, то под большей поле будет создавать только меньшая. Если поместить под сферы заряд q << Q (значительно меньший, чем заряд сферы), сферы на заряд действовать не будут (кроме малого шара на 3 картинке)
А теперь представим, что какой-то пробный заряд движется внутри заряженного шара. По его объему заряд распределен так, что его плотность зависит только от расстояния от центра (то есть, отступая от центра шара на одинаковые расстояния в 2 случайных направлениях, мы придем в точки с одинаковым зарядом). Как определить, с какой силой такой шар действует на заряд? Думаю уже все догадались: нужно шар разбить на шар поменбше и толстостенную сферу побольше, да так, что бы пробный заряд был над первым, но под второй:
Зазор на 2 картинке представлен для наглядности, в действительности он бесконечно мал
В данном случае у нас также на заряд действует только шар поменбше, а вот внешняя сфера заряд никак не трогает. Соответственно, если сместим заряд внутри сферы, то как бы изменим заряд того тела, что действует на нашу частичку q (естественно в самой сфере ничего не меняется, меняются заряды только в уравнениях движения)
Но что это мы все про заряды да про заряды? Зачем они нам, если мы на орбиты и гравитацию смотреть собрались? А вот зачем. Взгляните на формулы для полей и сил электрического и гравитационного взаимодействия:
Формулы по сути отличаются только буквами (ну и еще минус у гравитации), а значит то, что я только что рассказывал про заряды, работает и для гравитации. То есть на спутник, летящий под землей, будет действовать только та часть планеты, которая находится под ним, как это было с зарядом в сфере (планеты, в данном случае Земля, принимаются сферическими). Ну а значит теперь мы знаем, в чем отличие движений под и над землей, и можем составлять уравнения движения
Но перед этим оставлю небольшое дополнение для самых диких математиков тех, кому интересно, почему все-таки под сферой поля нет
Проведем систему координат с нулем в центре сферы. Проведем кривую ось l вдоль сферы так, чтобы она лежала в плоскости xOy. Будем рассматривать поле в точке, смещенной из нуля по оси Ox (смещение по всем 3 осям равнозначно смещению по одной из осей, просто значения координат поменяются). Вернее, проекцию поля на ось Ox, по другим направлениям (перпендикулярно Ox) поля, очевидно, нет в силу симметрии:
Вдоль оси l разбиваем сферу на множество колец толщиной dl, выражаем заряд dq на кольцах, затем поле dE каждого из колец, суммируем, короче, все тривиально:
Итак, поле есть только вне сферы. Если построить график проекции поля, то может показаться что само поле отрицательно, но это не так, просто проекции получились на ось, противоположно направленную оси Ox
Движение будем рассматривать в полярной системе координат, ибо так удобнее, а силами сопротивления будем пренебрегать, все-таки спутник у нас сквозь всего проходит. Вдоль радиуса (от центра Земли до спутника) будут действовать только 2 силы: сила тяжести и центробежная сила:
Записать уравнение движения для этого направления несложно, обычный 2 закон Ньютона. Лучше разберемся, как записать уравнение для угла и угловой скорости. И сделать это проще всего через закон сохранения момента импульса (момент импульса - мера вращательного движения, то есть тот же привычный импульс p = m * v, только для вращения). Записываем, дифференцируем и компонуем оба уравнения (для радиуса и для угла) в одну систему
Вот уравнения и готовы. Почти. В первом выражении у нас осталась не определена функция массы планеты от расстояния до ее центра. Массы, которая притягивает, а не всей массы планеты, разумеется. И определим мы ее 2 разными способами
Начнем с чего-нибудь попроще. Представим, что плотность постоянна, тогда масса будет иметь самый простецкий вид: объем шара некоторого радиуса умножить на плотность. Запишем уравнения в такой форме и попробуем ручками решить эту систему:
Иии... В поиске аналитического решения меня поджидало фиаско. Сколько я ни пытался придумать подстановки, ничего толкового не выходило. Собственно, те преобразования, которые вы видите - замена переменных: теперь мы ищем, как радиус зависит от текущего угла. Однако здесь нас поджидает нелинейный диффур, который браться не очень хочет. К слову, если забить уравнение в Wolfram, то он таки его решит, вернее из дифференциального сделает обычным. Вот только то обычное уравнение не имеет аналитического решения, а значит и диффур тоже. Жаль, а ведь можно было бы и новые законы Кеплера придумать :)
Но да ладно, еще раз запишем уравнения, только теперь сделаем M кусочно-заданной, ну то бишь с какого-то радиуса будем делать ее константой. Это добавит в модель поверхность Земли, и по итогу орбита спутника сможет проходить и под и над Землей:
Теперь запишем это все на языке Wolfram-а, смоделируем несколько траекторий...
... и получим вот такие довольно красивые графики
Честно говоря, не ожидал, что спутник будет лететь по столь интересным траекториям. Но да ладно, их вы и сами посмотреть можете, а я лучше расскажу, как они устроены.
Если спутник летит полностью под землей, то его траектория - эллипс, центр которого совпадает с центром Земли
Если же спутник движется и под и над поверхностью планеты, то его траектория чередуется из эллипсов (под - эллипс с центром в центре Земли, над - эллипс с центром Земли в фокусе). Но упрощенно ее можно представить так: берем один из вариантов траектории и с каждым витком поворачиваем траекторию на какой-то угол. Если в основном спутник летит под землей, то выбираем траекторию подземного спутника и постоянно ее вращаем. Если в основном над землей - вращаем траекторию надземного спутника. Чем-то похоже на очень сильную прецессию перицентра, хотя, конечно, прецессия исходит из теории относительности, а не из подземных полетов :)
Естественно в действительности плотность Земли меняется с глубиной. И это тоже нужно учесть
Первым делом запишем уравнения движения, они по сути такие же, только формула массы другая:
Ну что ж, теперь нужно найти график плотности. В интернете мне удалось найти только одно изображение, где показан график зависимости плотности от глубины, им и будем пользоваться
Выбрав несколько точек с каждого гладкого участка, мы можем при помощи интерполяции сделать похожую на каждый из участков функцию. Затем соединяя отдельные участки в кусочно-заданную функцию получим полноценную функцию плотности, из которой интегрированием можно получить функцию массы. Ну значит запускаем Wolfram и вперед... А нет! Если мы просто проинтегрируем, то Wolfram будет жутко тормозить. Поэтому посчитаем массу Земли при конкретных значениях радиуса и из них, опять-таки интерполяцией, сделаем функцию массы. Я решил взять 27 точек, так как число 6371 делится нацело на 27 (Радиус Земли составляет 6371 км):
Код, вычисляющий точки для дальнейшей интерполяции
Теперь запишем другой код. В нем как раз мы будем интерполировать массу, а также в нем запустим расчет и выведение траекторий:
И получим... Еще более красивые графики:
И да, это все траектории, а не просто придуманные красивые графики. Код я написал так, что Wolfram считает первые 100 000 секунд полета, за которые спутник успевает сделать много витков. Вот и получаются такие красивые колечки или просто симметричные узоры. К слову, есть и графики, похожие на случай с постоянной плотностью:
В случае с переменной плотностью траектория остается похожей на эллипс, но теперь он вращается вообще всегда. К слову, можно также заметить, что если спутник движется в основном под землей, то центр Земли находится рядом с центром эллипса, а если над землей - рядом с фокусом эллипса
Есть, конечно, и привычные траектории вроде гипербол, которые получаются, если спутник двигался слишком быстро:
Полагаю, такие красивые графики могут вызвать желание самому их построить, попробовать разные параметры орбит и прочего. И на этот случай я решил оставить код для Wolfram Mathematica, при помощи которого вы сможете сами позапускать спутники под землю. На компьютере, естественно :). Ctrl + C, Ctrl + V, ну и подставить нужные вам цифры:
Для постоянной плотности:
Запустить 1 раз, перед построением графиков: Mass[R_] :=
Piecewise[{{4/3*Pi*R^3*5515.3,
R <= 6371000}, {4/3*Pi*6371000^3*5515.3, R > 6371000}}]; G =
6.6743*10^-11
Для построения графика запускаете этот код: v0 = 5000; R0 = 3000000; t0 = 100000; {Rsol, Anglesol} =
NDSolveValue[{R''[t] == -Mass[R[t]]*G/R[t]^2 + Angle'[t]^2*R[t],
Angle''[t]*R[t] == -2*Angle'[t]*R'[t], R[0] == R0, R'[0] == 0,
Angle[0] == 0, Angle'[0] == v0/R0}, {R, Angle}, {t, 0,
t0}]; ParametricPlot[{Rsol[t]*Cos[Anglesol[t]],
Rsol[t]*Sin[Anglesol[t]]}, {t, 0, t0}]
Для реальной плотности:
Запустить 1 раз, перед построением графиков: G = 6.6743*10^-11; Mass1 =
Interpolation[{{0, 0.`}, {277000, 1.0744517007993779`*^21}, {554000,
8.571222130450271`*^21}, {831000,
2.885267529758488`*^22}, {1108000,
6.812693941678381`*^22}, {1385000,
1.3228055620781117`*^23}, {1662000,
2.2688769636597657`*^23}, {1939000,
3.5713166583224284`*^23}, {2216000,
5.277805436217552`*^23}, {2493000,
7.427127437037175`*^23}, {2770000,
1.004267362086633`*^24}, {3047000,
1.3135094662314076`*^24}, {3324000,
1.6704902458405418`*^24}, {3601000,
1.9851416840146975`*^24}, {3878000,
2.2517715781167777`*^24}, {4155000,
2.553574807772751`*^24}, {4432000,
2.890267649063015`*^24}, {4709000,
3.2628481973837735`*^24}, {4986000,
3.669266923530136`*^24}, {5263000,
4.1004733393087503`*^24}, {5540000,
4.5496571419199856`*^24}, {5817000,
5.012527944600733`*^24}, {6094000,
5.451047152511959`*^24}, {6371000, 5.865397752443191`*^24}}];
Mass[R_] :=
Piecewise[{{Mass1[R], 0 <= R <= 6371000}, {5.865397752443191`*^24,
R > 6371000}, {0, R < 0}}]
Для построения графика запускаете этот код:v0 = 5000; R0 = 3000000; t0 = 100000; {Rsol, Anglesol} =
NDSolveValue[{R''[t] == -Mass[R[t]]*G/R[t]^2 + Angle'[t]^2*R[t],
Angle''[t]*R[t] == -2*Angle'[t]*R'[t], R'[0] == 0, Angle[0] == 0,
R[0] == R0, Angle'[0] == v0/R0}, {R, Angle}, {t, 0,
t0}]; ParametricPlot[{Rsol[t]*Cos[Anglesol[t]],
Rsol[t]*Sin[Anglesol[t]]}, {t, 0, t0}]
Первые 3 переменные (v0, R0 и t0) задаете сами, это начальная скорость (м/с), начальное расстояние от центра Земли (м) и время (с), до которого будет рассчитана траектория соответственно, изначально там будут указаны стартовые значения. Также сразу предупрежу: весь код для одного случая (например, код для постоянной плотности) нужно писать в одном файле, но в этот же файл нельзя писать код для другого случая (для переменной плотности)
На это пост заканчивается. Надеюсь, материал был понятен и интересен... ну или графики хотя бы глаз порадовали) Если есть вопросы - пишите в комментариях, будем разбираться
Всем добра и побольше аналитических решений)
Сидел я тут давеча, работал, как вдруг залетает в голову мысль:
Почему ничто не может двигаться в космосе быстрее скорости света?
Обычно на это отвечают, что при перемещении, масса объекта увеличивается пропорционально ускорению.
Но ведь в вакууме скорость движения предметов не зависит от их веса.
Или я что-то путаю...
Только вот, мало того, что знающего человека нужно найти, так и разбирать твою кашу в голове у него вряд ли будет желание. А как хотелось...
Еще бы хотелось уточнить про торможение. Так как по идее, набрав эту самую скорость, как-то нужно остановиться. И влияет ли гравитация космических тел на показатель скорости, может здесь замешана масса объекта? И на каком расстоянии объект начинает притягивать другой объект? Ох, лучше завершу этот бестолковый пост, пока моя голова не наплодила ещё больше вопросительных знаков😵
UPD: Пусть обсуждение в комментариях ещё идет, и я искренне рад, что появились диалоги не только со мной, но даже возникли некие обсуждения среди знающих людей:)
Мне слишком сложно вот так быстро переварить такой поток информации, с которым я раньше не сталкивался, нужно время чтобы факты собрались и разложились по полочкам... Но огромное спасибо всем, кто принял участие в этом посте, кто постарался донести до меня информацию. Особенно тем, кто обратил внимание на то что я жуткий профан и преподносил факты максимально доступно 😊
Ещё раз, огромное спасибо всем причастным! Мой лайк - минимум, который я могу вам дать:)
Всем доброго времени суток. Чуть менее года назад мне попался пост про SpinLaunch, где в комментариях речь зашла о том, можно ли выйти на орбиту при помощи пушки и без включения двигателей. Ну и мне захотелось узнать ответ на этот вопрос. Захотелось, но то времени не было, то просто лень было что-то делать. Но вот руки дошли до поста, поэтому прямо сейчас проверим, можно ли выйти при помощи пушки на орбиту? А также в конце затрону вопрос о том, как лучше всего выходить на орбиту с использованием и пушки, и двигателей
На первый взгляд кажется, что выйти на орбиту, придав спутнику импульс на поверхности планеты, невозможно. Если не учитывать сопротивление воздуха, то точка старта будет принадлежать орбите аппарата, а еще там вертикальная скорость будет положительна, из чего следует, что перицентр окажется ниже поверхности. Но вот если добавить атмосферу, то картина изменится. Спутник всегда будет двигаться только вверх в атмосфере (ему все-таки из нее выбраться надо). Поэтому аэродинамическое сопротивление будет толкать спутник вниз. Если вы знакомы с орбитальной механикой и/или играли в Kerbal Space Program, то, я уверен, знаете, что если включить двигатель по направлению к или от небесного тела, то орбита начнет как бы "поворачиваться" относительно положения аппарата. Более понятно это показано на картинке, где орбита будет отчасти похожа на текущую орбиту нашего спутника в какой-то момент времени при движении в атмосфере:
Можно сразу заметить, что при таком "повороте" орбиты перицентр увеличивается. Значит теоретически может быть такой случай, когда спутник сам выйдет на орбиту. Давайте это проверим и попытаемся найти такой случай
Так как основы никакой нет, то сами выберем, каким будет спутник. В качестве модели я решил взять конус диаметром 1 м, углом раствора 30 градусов и массой 500 кг. Этакий набор кубсатов под бронированным колпаком :)
В полете важную роль будет играть сопротивление воздуха, поэтому вычислим среднее значение коэффициента сопротивления воздуха. Но не совсем того, что нам дает классическая формула F = p * S * c * v^2 / 2, а немного другого. Запишем формулу ускорения от аэродинамического сопротивления: a = p * S * c * v^2 / 2m, заметим, что все, кроме p и v, - это константы. p, то есть плотность среды, мы заменим на p0 * e^(k * H), то есть аппроксимируем плотность от высоты при помощи экспоненты. Перепишем формулу ускорения: a = (p0 * S * c /2m) * v^2 * e^(k * H). Теперь все константы перепишем в одну a = C * v^2 * e^(k * H). Вот эту C мы и найдем
Сама по себе C - это не константа, так как коэффициент сопротивления воздуха для одной и той же формы разный при разных скоростях. Однако на больших скоростях он колеблется незначительно (что мы дальше и увидим), поэтому его можно принять константой (в целом, для более точного решения нужно C найти через интерполяцию его значений при конкретных скоростях, но для этого нужно взять довольно много точек, что делать не особо хочется, да и на точность это сильно не повлияет, зато прибавит лишней работы)
Ну коль надо измерять сопротивление воздуха, то нам понадобится САПР, в моем случае это SolidWorks. Запускаем, создаем модель, заходим во FlowSimulation и создаем проект:
Скорость -30000 м/с - один из расчетных случаев
Теперь поставим в проекте цель находить силу по оси Oy и по несколько раз запустим расчет, каждый раз меняя значение скорости потока воздуха. Я буду измерять с 8000 м/с до 30000 м/с с шагом в 1000 м/с. Для каждой скорости записываем действующую силу. Дальше, возвращаясь к формуле ускорения, мы избавимся от e^(k * H). Так как в SolidWorks-е воздух имеет такую же плотность, что и воздух у поверхности Земли при н.у., то переменная H становится равна нулю, а экспонента - единице. Ну а чтобы вычислить тот самый коэффициент, мы будем силу делить на массу и на квадрат скорости (сила на массу даст ускорение, а если ускорение поделить на квадрат скорости, то получим только коэффициент, ну и еще экспоненту, но мы от нее избавились). Короче говоря, пишем таблицу в экселе:
1-ый столбец - скорость, 2-ой - искомый коэффициент, 3-ий - сила, действующая на модель при данной скорости
Осталось найти среднее значение. Но как это сделать? Будем действовать так же, как при нахождении средней скорости: проинтегрируем функцию C(v), полученную интерполяцией табличных значений, а затем разделим на разность пределов интегрирования. В качестве пределов интегрирования будут использованы минимальная и максимальная скорость, что логично. Запускаем Wolfram Mathematica, пишем и выполняем следующий код:
Можно заметить, что сам коэффициент колеблется незначительно, что нам на руку
В целом, это все, что нужно знать про модель. В решении мы пренебрежем уменьшением массы от испарения аблятора, напряжения и деформацию рассматривать не будем (так как первое нам не нужно, а второе будет очень маленьким). Также примем, что наш конус при движении острием вперед устойчив, то есть его ось всегда совпадает с вектором скорости воздуха. На деле так случается не всегда, все зависит от центра масс, но будем считать, что спутник мы сделали устойчивым
У нас остался неизвестный коэффициент при экспоненте, его тоже надо найти (конечно, можно и плотность интерполировать, но для этого нужно много точек при больших высотах, что, опять же, делать не очень приятно, к тому же приближение через экспоненту работает довольно точно). Находим ГОСТ 4401-81 Атмосфера стандартная и из него берем плотности воздуха при разных высотах, далее записываем их в эксель и строим график. Создаем линию тренда, делаем ее экспоненциальной и выводим уравнение на график
Тут же сразу замечаем, что у полученной функции в нуле плотность не равна плотности воздуха при нулевой высоте. Поэтому полученный прежде коэффициент для сопротивления воздуха нужно переделать. В нем есть начальная плотность, которая как раз равна 1,225 кг/м^3. А при приближении экспонентой она должна быть равна 1,3611 кг/м^3. Поэтому сам коэффициент разделим на 1,225 и домножим на 1,3611. На картинке он есть, вон в низу красуется)
Вводные данные есть - значит можем приступать к самой модели полета. Сразу определимся, что в ней будем учитывать, а что не будем. Во-первых, в учет пойдут только сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Остальные силы очень малы, поэтому ими можно пренебречь. Помимо этого не будем учитывать моменты. Мы заранее приняли, что аппарат будет устойчив, поэтому можно не записывать уравнения моментов и не вводить зависимость сопротивления воздуха от ориентации: спутник всегда направлен по движению (a.k.a. по програду). Также по мелочи, не будем учитывать изменение радиуса Земли (и эллиптичность самой Земли в сечении) при разной широте старта
Систему координат возьмем декартову, трехмерную. Нуль координат будет совпадать с центром Земли
Приступим к формулам. Нам надо выразить ускорения по 3 осям
Начнем с силы тяжести. При помощи чертежа находим, как будет зависеть проекция силы на ось от координат тела:
Выражение записано только для оси Ox, однако оно аналогично для и для Oy и Oz
Теперь выражаем F, вернее a, и записываем проекции ускорения от силы тяжести на каждую из осей
Теперь строим чертеж для силы сопротивления воздуха:
И также выражаем ускорение от АС, а затем и ускорение в проекциях
Однако здесь можно сразу заметить один нюанс: мы не все выразили через x, y и z и их производные. Дело в том, что Земля крутится, а вместе с ней и атмосфера. При помощи чертежа определим, как зависит скорость воздуха от координат и перезапишем v-шки через них:
Перезапишем формулы для сопротивления воздуха:
И составим сами уравнения модели:
Казалось бы все, модель готова. Но тут есть нюанс. Работать с трехмерной моделью полета не очень удобно, к тому же это более ресурсозатратно (а еще у меня Wolfram может сильно косячить с графиками в 3D). Поэтому сократим количество измерений до 2
Для этого примем, что орбита находится в одной плоскости (на деле она чуть-чуть смещается, как раз из-за вращения атмосферы, но это смещение довольно мало). Плоскость орбиты должна проходить через место старта и нуль системы координат. Из этого следует, что ее наклон к плоскости Oxy равен широте места старта. Теперь для удобства примем, что ось Ox принадлежит этой плоскости (это соответствует случаю, когда x-координата места старта равна нулю). Теперь на этой плоскости проведем систему координат Ox0y0, причем x0 совпадает с x (поэтому вместо x0 будем писать просто x). Построим чертеж и выразим y и z через y0, а также запишем их производные первого и второго порядка:
Перепишем систему в двух измерениях. y0 выразим из y (выражение через z и y дают разные формулы, которые численно не сильно отличаются. Это как раз из-за того, что на деле орбита не находится в одной плоскости):
Вот теперь модель готова
Теперь надо найти такие комбинации начальных скоростей по обеим осям, чтобы аппарат вышел на орбиту (или убедиться, что их нет). Так как данная модель не имеет аналитического решения, то придется просто перебирать решения (сразу добавлю, что для всех параметров сразу все же можно найти решение, для этого нужно решить систему R(t0) = (6371000 + 180000) м) и R'(t0) = 0 (здесь вводится полярная система координат), однако я не нашел способа сделать это в Wolfram-е, а также для такого решения банально не хватает мощностей моего компьютера). Это не даст стопроцентный ответ на поставленный в начале вопрос, но по самим траекториям можно будет предположить, каков ответ
Как будем перебирать? Я решил выбрать более менее подходящий вариант между точностью и затратами на расчет, поэтому выбрал ограничения для начальных горизонтальной и вертикальной скоростей в 3000 м/с и 8000 м/с соответственно снизу и 30000 м/с сверху (да, стоило в начале посчитать коэффициент вплоть до 30000*Sqrt(2) м/с, но коэффициент ведь считаем постоянным, а поэтому можно использовать и тот, что есть). Шаг для обеих скоростей выберу в 500 м/с. В итоге получим 2475 траекторий, которые надо отсмотреть и проанализировать
Также в решении надо будет ввести ограничение по времени внутри системы (то есть от какого до какого момента моделировать полет). Для этого нижнее (оно же начальное) значение времени будет равно 0, а верхнее я решил принять равным орбитальному периоду для спутника на эллиптической орбите с апогеем ровно на границе сферы тяготения и перигеем в 180 км (число взято не совсем из головы, изначально я предполагал вводить уплощенную модель, которая имеет аналитическое решение, чтобы определить, среди каких скоростей искать решение, и вот там как раз спутник должен был выйти на орбиту с перигеем в 180 км. Но решение этой модели давало вообще неправильные цифры (для примера - чтоб хотя бы просто не упасть на Землю, нужна была горизонтальная скорость в ~150 км/с, что в полной модели давало достижение второй космической), поэтому я от него отказался)
Итак, пишем код, запускаем его и идем пить чай, че еще делать то)
Через несколько минут приходим назад и мотаем вниз в поиске кучи надписей Null в фигурных скобочках. Если они есть и новых графиков не появляется, значит расчет окончен. Можем приступать к анализу
Но перед этим сразу определим, какие графики мы можем теоретически получить. Их 4 типа:
Прямая с малой кривизной. На координатных осях значения до примерно 1*10^11. Это случай, когда аппарат набрал вторую космическую скорость и покинул сферу тяготения Земли
Прямая с малой кривизной. На координатных осях очень большие значения, больше чем в первом типе. Это случай когда спутник упал на Землю. Из-за экспоненциальности плотности воздуха и учета вращения атмосферы спутник, оказавшись под поверхностью планеты, начинает испытывать очень сильное действие силы сопротивления воздуха, которое не останавливает его, а заставляет двигаться. В купе с этим из-за перехода к 2 измерениям спутник не движется по "орбите" под землей, а очень сильно ускоряется крутящейся атмосферой, из-за чего набирает гигантскую скорость и улетает от Земли на миллионы световых лет
Разомкнутый эллипс. Это тот случай, когда апогей оказался не сильно выше границы сферы тяготения. Так как есть ограничение по времени, заданное максимально высокой орбитой, то при апогее ниже границы, эллипс должен быть замкнутым (или почти замкнутым, но там расстояние между началом и концом кривых должно быть маленьким)
Замкнутый эллипс. Это как раз стабильная орбита. Эллипс может быть чуть-чуть разомкнутым, об этом написал выше
И теперь скроллим все две с половиной тысяч графиков и смотрим на них. Пока прикреплю пару примеров:
Первый тип траектории
Второй тип траектории. Видны очень большие значения координат на осях
Эллипс, который "не шмог" ) Неизвестно, какой у него перигей, но вот апогей оказался выше границы сферы тяготения, поэтому на такую траекторию в реальности все же не выйти. Ах да, это третий тип
Еще один довольно причудливый график. Здесь спутник вышел из атмосферы, сделал виток и упал на Землю (об этом говорит последний кусок траектории), после чего полетел далеко-далеко от Земли. Ну и это второй тип траектории
Как вы могли заметить, я не привел пример 4 типа графиков. А все потому что таковых не было. Хоть выборка и довольно грубая (шаг аж в 500 м/с), она дает понять, что скорее всего выйти на орбиту без включения двигателей не получится (на самом деле то довольно много есть итераций, в которых спутник покинул атмосферу, но потом упал на Землю). Что ж, удручающе, хотелось найти какое-нибудь решение. Хоть и такой результат неудивителен
Но представим, что нам ну очень хочется на орбиту. Мы уже и пушку купили, и спутник. Логичным становится то, что к спутнику нужно приделать ступень. Представили, что приделали, теперь надо узнать, как из пушки нужно выстрелить и сколько надо дельты
Пусть мы хотим выйти на круговую орбиту радиусом R + R0. Если в описанной прежде системе закрепить угол наклона к горизонту и менять только скорость, то можно заметить, что при росте скорости растет апогей (ну то есть высота апогея от скорости - функция монотонная). А значит, для данного угла существует только одно значение скорости, которому соответствует требуемое значение апогея. Тогда общее множество решений для случая, когда апогей равен R, является некоторой кривой (при решении R(t) = R + R0 это будет поверхность t(v0, a), и это будут все траектории, проходящие через R + R0. Так как при увеличении скорости растет апогей, то нам для каждого угла a нужна одна скорость, которая будет минимальна для этого угла a в t(v0, a). А это как раз и получается кривая)
Теперь из этого множества решений нужно взять одно подходящее. И оно соответствует той комбинации угла наклона и начальной скорости, при которой последняя будет минимальна. Это следует из того, что с ростом скорости максимальное значение силы сопротивления воздуха растет квадратично, а скорость в апогее - приблизительно линейно. В данном случае увеличение скорости незначительно понизит нужную дельту (линейно уменьшится), зато сильно повысит массу конструкции спутника и ступени (будет также увеличиваться квадратично). Учитывая сильный рост массы конструкции, чтоб дельты было достаточно, нужно будет также увеличить начальную массу по сравнению со случаем для минимальной скорости (это следует из того, что нужная дельта убывает медленнее, чем растет масса конструкции). В итоге получим большие затраты по топливу, материалам для ступени, большие ограничения на спутник из-за перегрузок и большие энергозатраты на запуск из пушки. А это нам не особо надо. Конечно, могут быть случаи, когда подходящая начальная скорость не равна минимальной. Но тут уже нужно конкретно рассматривать конкретную ступень и спутник.
Если сократить, то получим, что для выхода на орбиту нужно решить один из вариантов модели полета из поста (в идеале - трехмерную, используя плотность и коэффициент сопротивления воздуха как функции, полученные интерполяцией, а также учитывая все все все силы, испарение аблятора, моменты и т.д.) в параметрическом виде, причем в полярных координатах (перейти к ним не сложно: выражаем декартовы координаты через произведения радиуса и синусов/косинусов угла/углов -, так что это не проблема), далее найти функцию t(v0, a), удовлетворяющую условию R(v0, a)(t) = R + R0, затем найти кривую, в которой каждому a соответствует минимальная v0 и среди v0, принадлежащих этой кривой, найти либо минимальную v0 (то есть минимальную v0 для t(v0, a)), либо найти такую v0, которая даст минимум массы спутника со ступенью (в большинстве случаев она совпадает с минимальной). Затем по v0 найти a, решить модель с заданными параметрами и уже по ней определить все остальные требования к спутнику (дельта, прочностные характеристики и т.п.). Замечу, что процесс итерационный, так как коэффициент сопротивления воздуха берется из модели аппарата, а модель из характеристик, которые берутся из решения модели полета, для которой нужен коэффициент сопротивления воздуха...
Ну а на этом пост заканчивается, ведь ответы на все вопросы из его начала получены. Надеюсь, читать было интересно, а содержание было понятным. Если есть какие-либо вопросы или что-то оказалось непонятным - пишите в комментариях, постараюсь более подробно разобрать. Буду рад критике, советам и дополнениям к содержанию поста.
Всем добра и с прошедшим Новым годом)
Конкурс мемов объявляется открытым!
Выкручивайте остроумие на максимум и придумайте надпись для стикера из шаблонов ниже. Лучшие идеи войдут в стикерпак, а их авторы получат полугодовую подписку на сервис «Пакет».
Кто сделал и отправил мемас на конкурс — молодец! Результаты конкурса мы объявим уже 3 мая, поделимся лучшими шутками по мнению жюри и ссылкой на стикерпак в телеграме. Полные правила конкурса.
А пока предлагаем посмотреть видео, из которых мы сделали шаблоны для мемов. В главной роли Валентин Выгодный и «Пакет» от Х5 — сервис для выгодных покупок в «Пятёрочке» и «Перекрёстке».
Реклама ООО «Корпоративный центр ИКС 5», ИНН: 7728632689