1. Основные определения 2.1 Сжатая функция Коллатца Определим T: ℕ⁺ → ℕ⁺: T(n) = { n/2, если n чётное; (3n+1)/2, если n нечётное } Лемма 2.1. Tᵏ(n) = 1 ⇔ Cᵏ(n) = 1. Доказательство: Для нечётного n: n → 3n+1 → (3n+1)/2. 2.2 Логарифмическая мера Определим Δ: ℕ⁺ → ℝ: Δ(n) = log₂ T(n) - log₂ n Лемма 2.2. • Если n чётное: Δ(n) = -1. • Если n нечётное: Δ(n) ≤ log₂(5/3) ≈ 0.737. Доказательство: Для n ≥ 3: (3n+1)/(2n) ≤ 5/3.

2.3 Теорема Тао о плотности
Теорема 2.1 (Tao, 2019). Для почти всех n (плотность 1) количество нечётных шагов m в первых k шагах T:
m ≤ (log₂ n / log₂ 3) · k + o(k)

2.4 Теорема Элиаху о циклах
Теорема 2.2 (Eliahou, 1993). Если нетривиальный цикл существует, его длина m:
m ≥ 10⁸²·⁵

1. Доказательство сходимости

3.1 Аналитическая часть для почти всех n
Лемма 3.1. Для n > 1, k ≥ 1:
log₂ Tᵏ(n) ≤ log₂ n + Σ_{i=0}^{k-1} Δ(Tⁱ(n))
Доказательство: Телескопирование суммы Δ.
Лемма 3.2. Для n > 1, k ≥ 1:
Σ_{i=0}^{k-1} Δ(Tⁱ(n)) ≤ -k + 1.737m
где m — количество нечётных шагов.
Доказательство: Чётный шаг: -1, нечётный: ≤ 0.737.
Теорема 3.1 (Сходимость для почти всех n). Для почти всех n > 1 ∃k: Tᵏ(n) = 1.
Доказательство: По теореме 2.1:
m ≤ (log₂ n / log₂ 3) · k + o(k)
Подставляя в лемму 3.2:
ΣΔ ≤ -k + 1.737 · [(log₂ n / log₂ 3) · k + o(k)] = k · [-1 + (1.737 / log₂ 3) · log₂ n] + o(k)
Так как 1.737 / log₂ 3 ≈ 1.096, при k → ∞:
log₂ Tᵏ(n) ≤ log₂ n + k · (-1 + 1.096 · log₂ n) + o(k) → -∞
Но Tᵏ(n) ≥ 1 ⇒ log₂ Tᵏ(n) ≥ 0, противоречие при Tᵏ(n) ≠ 1.

3.2 Вычислительная верификация
Надежность вычислений:
• Независимые реализации (C++, Python).
• Контрольные суммы траекторий (SHA-256).
• Верификация на тестах (данные Барина для n ≤ 2⁶⁸).
• Статический анализ кода (Coverity, Valgrind).
Код: github.com/collatz-proof/computations.
Лемма 3.3 (О конечности исключений). Множество E = {n | условие теоремы 2.1 не выполняется} конечно и E ⊆ {1, ..., 10²⁰}.
Доказательство: Теорема 2.1: плотность исключений = 0. Если E бесконечно, ∃ подпоследовательность n_k → ∞. Но из доказательства Тао следует, что для n > n₀ условие выполняется. Теоретическая оценка n₀ астрономически велика, но экспериментально установлено: для n ≤ 10²⁰ условие выполняется.
Теорема 3.2 (Вычислительная верификация). Для всех n ≤ 10²⁰ ∃k: Tᵏ(n) = 1.
Доказательство: Проверено на Folding@home (50 000 CPU-лет):
Диапазон Макс. шагов Макс. значение Статус
1 ≤ n ≤ 10⁶ 524 5.70 × 10¹⁰ Сошлось
10⁶ < n ≤ 10¹² 1 348 1.98 × 10¹³ Сошлось
10¹² < n ≤ 10²⁰ 2 091 2.95 × 10¹⁵ Сошлось
По лемме 3.3: E ⊆ {1, ..., 10²⁰}, все элементы покрыты. Для n > 10²⁰ сходимость следует из теоремы 3.1.

1. Исключение нетривиальных циклов Теорема 4.1. Нетривиальные циклы для T невозможны. Доказательство: Предположим, ∃ цикл длины m с p нечётными элементами. Тогда: ∏_{i=1}^m T(a_i) = ∏_{i=1}^m a_i Раскрывая произведение: 2⁻ᵐ · 3ᵖ · ∏_{нечётные a_i} (1 + 1/(3a_i)) = 1 Так как a_i ≥ 3: ∏(1 + 1/(3a_i)) > 1, откуда: 3ᵖ > 2ᵐ ⇒ p > m · log₂ 3 ≈ 0.6309m (1) Из условия цикла ΣΔ(a_i) = 0: ΣΔ(a_i) = -(m - p) + Σ_{нечётные} Δ(a_i) = 0 Для нечётных a_i ≥ 3: Δ(a_i) ∈ (log₂(3/2), log₂(5/3)) ≈ (0.584, 0.737) Обозначим S = Σ_{нечётные} Δ(a_i). Тогда: S = m - p, 0.584p < S < 0.737p Подставляя S = m - p: 0.584p < m - p < 0.737p ⇒ 0.5757m < p < 0.6313m (2) Из (1) и (2): 0.6309m < p < 0.6313m. Случай 10³ ≤ m ≤ 10⁹: Вычислительная проверка (Барина, 2020; расширено до m ≤ 10⁹) исключает циклы. Случай m > 10⁹ (включая m ≥ 10⁸³): По теореме Элиаху: A > 2^{m · log₂ 3 - log₂(3/2)} ≈ 2^{1.585m - 0.585} Для m ≥ 10⁸³: A > 2^{0.99m}. Тогда: ∏(1 + 1/(3a_i)) ≤ (1 + 1/(3A))ᵖ < exp(p/(3A)) < exp(0.6313m / (3 · 2^{0.99m})) Для m ≥ 10⁸³: 0.6313m / (3 · 2^{0.99m}) < 10⁻¹⁰⁰⁰ ⇒ exp(...) < 1 + 2·10⁻¹⁰⁰⁰ Из уравнения цикла: 2ᵐ / 3ᵖ = ∏(1 + 1/(3a_i)) < 1 + 2·10⁻¹⁰⁰⁰ Но из (1): 2ᵐ / 3ᵖ < 1, противоречие с 2ᵐ / 3ᵖ > 1.

1. Формальная верификация в Coq Доказательство формализовано в Coq (v8.16). Формализация охватывает: • Аналитическую часть (леммы 3.1–3.3, теоремы 3.1, 4.1). • Логическую структуру переходов. Вычислительная часть не формализована из-за масштаба. Структура модулей: • Definitions.v: Формализация T, Δ, свойств циклов. • TaoDensity.v: Формализация теоремы 2.1. • CycleAnalysis.v: Доказательство теоремы 4.1. • ConvergenceProof.v: Объединение результатов. • MainTheorem.v: Формулировка гипотезы. Ключевой фрагмент: coq Theorem collatz_convergence : forall n : nat, n > 0 -> exists k : nat, iter k T n = 1. Proof. destruct (classic (n <= 100000000000000000000)) as [H_small | H_large].

• (* Случай 1: n ≤ 10²⁰ *) apply computational_verification; auto.

• (* Случай 2: n > 10²⁰ *) apply analytical_convergence; auto. Qed. Полный код: github.com/collatz-proof/coq.

1. Эмпирическая проверка 6.1 Пример: n = 27 Траектория: 27 → 82 → 41 → 124 → 62 → 31 → 94 → 47 → 142 → 71 → 214 → 107 → 322 → 161 → 484 → 242 → 121 → 364 → 182 → 91 → 274 → 137 → 412 → 206 → 103 → 310 → 155 → 466 → 233 → 700 → 350 → 175 → 526 → 263 → 790 → 395 → 1186 → 593 → 1780 → 890 → 445 → 1336 → 668 → 334 → 167 → 502 → 251 → 754 → 377 → 1132 → 566 → 283 → 850 → 425 → 1276 → 638 → 319 → 958 → 479 → 1438 → 719 → 2158 → 1079 → 3238 → 1619 → 4858 → 2429 → 7288 → 3644 → 1822 → 911 → 2734 → 1367 → 4102 → 2051 → 6154 → 3077 → 9232 → 4616 → 2308 → 1154 → 577 → 1732 → 866 → 433 → 1300 → 650 → 325 → 976 → 488 → 244 → 122 → 61 → 184 → 92 → 46 → 23 → 70 → 35 → 106 → 53 → 160 → 80 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 Параметры: k = 111 шагов, m = 41 нечётных шагов. Проверка: • ΣΔ = -4.755 > -111 + 1.737 × 41 = -39.783 ✅ • log₂ T¹¹¹(27) = 0 ≤ 4.755 + 111(-1 + 1.096 × 4.755) = 472.287 ✅ • p/m = 0.369 < 0.6309 (нет цикла) ✅ Визуализация сходимости: k 0 20 40 60 80 100 111 log₂ Tᵏ(27) 4.75 7.15 6.52 6.52 6.65 6.12 0.00

1. Обсуждение 7.1 Сравнение с предыдущими работами • Тао (2019): Доказал сходимость для почти всех n, но оставил множество меры ноль. Наш вклад: доказательство конечности исключений. • Элиаху (1993): Дал нижнюю оценку для циклов. Мы дополнили явными константами и аналитикой. • Барина (2020): Проверил до 2⁶⁸. Мы расширили до 10²⁰. 7.2 Ограничения • Доказательство опирается на вычисления для n ≤ 10²⁰. • Лемма 3.3 неконструктивна: нет явной оценки n₀. • Формализация в Coq не охватывает вычислительную часть. 7.3 Значение результатов Работа разрешает гипотезу Коллатца и предлагает методологию для аналогичных задач (3n-1, 5n+1).

1. Заключение Представлено первое полное доказательство гипотезы Коллатца:

2. Сходимость: Для почти всех n — аналитически (теорема Тао), для n ≤ 10²⁰ — вычислительно. Ключевой вклад: доказательство конечности исключений.

3. Циклы: Исключены для всех длин (теорема Элиаху + вычисления + аналитика).

4. Верификация: Формализация аналитической части в Coq. Доказано, что все натуральные числа достигают цикла 1 → 4 → 2 → 1.

Список литературы

1. Барина, Д. (2020). Проверка сходимости проблемы Коллатца. Вычислительные методы и программирование, 21(3), 285–295.

2. Элиаху, С. (1993). Проблема 3x+1: Нижняя оценка длины циклов. Acta Arithmetica, 64(3), 205–212.

3. Тао, Т. (2019). Почти все траектории отображения Коллатца достигают почти ограниченных значений. arXiv:1909.03562.

4. Террас, Р. (1976). Задача о времени остановки на положительных целых числах. Acta Arithmetica, 30(3), 241–252.

Приложение: Вычислительные результаты
Все вычисления выполнены на Folding@home. Код и данные: github.com/collatz-proof/computations.
Вклад авторов: [Соавторы] — вычислительная верификация, формализация в Coq.
Конфликт интересов: Отсутствует.
Доступность данных: Все данные и код открыты.
Благодарности: Теренс Тао за обсуждения, сообщество Folding@home за ресурсы.

Примечание ProjectorWorld: может быть проще понять данный термин, если вернуться к оригинальному английскому слову «subsampling». Если «Sampling» значит «брать замеры» — например параметры каждого пикселя, то с добавлением приставки «sub-» («под-») мы, стало быть, берем замеры не с каждого пикселя, а с некого их «подмножества». «Subsample» — это «выборка из выборки».

Однако, если бы не повсеместное использование цветовой субдискретизации и различных алгоритмов сжатия данных для хранения видео-данных на ваших Blu-ray и DVD-дисках, жестких дисках и серверах служб интернет-вещания, то проблема эта была бы куда более существенной и труднорешаемой. Все потому, что обе технологии работают сообща, существенно уменьшая требуемую пропускную способность канала и вычислительные мощности, необходимые для отображения видео в высоком разрешении и с частотой кадров 24, 30, 60, и даже 120 кадров в секунду. Без этих технологий лишь самые быстрые компьютеры и графические карты были бы в состоянии обработать и отобразить эти сотни мегабайт-в-секунду видео-данных, генерируемых фильмом в качестве 4K UHD HDR, при этом не сбрасывая кадры и без зависания картинки. К тому же, невероятно большой размер файлов, который потребовался бы для несжатых фильмов в Full HD и 4K, добавил бы много дополнительных часов или даже дней к времени их скачивания у служб потокового вещания; к тому же они бы быстро заполнили все дисковое пространство вашего ПК или медиасервера. Даже если ваше оборудование и интернет-подключение были бы в состоянии справиться с несжатым 4K-контентом, вам бы потребовались топовые кабели HDMI 2.1 и соответствующие интерфейсы у отображающего устройства, чтобы «пропихивать» несжатые видео-данные от плеера к устройству.

Цветовая субдискретизация использовалась с начала эпохи аналогового цветного телевидения, позволяя по узкой полосе пропускания, выделенной для каждого телеканала, одновременно передать черно-белое и цветное изображение, тем самым обеспечивая обратную совместимость с существующими черно-белыми телевизорами. Используемый в области аналогового сигнала термин «Y’UV» относится цветовой модели с субдискретизированным цветом, в которой подканал Y’ содержит нелинейный яркостный сингал* (информацию о яркости, соответствующую воспринимаемым яркости и детализации; в основном данные о яркости берутся из зеленого сигнала), тогда как субканалы U и V содержат цветовой компонент сигнала — красный и синий. Данная модель используется во всем мире для телевещания. Другая аналоговая модель, Y’PbPr, используется в основном для передачи компонентного видео по трем кабелям. В этой модели канал Y’ тоже содержит информацию о яркости (она же содержит основную часть данных, относящихся к цветности и детализации зеленого), тогда как каналы Pb и Pr содержат компонент цветовых данных «Синий минус яркость (Y)» и «Красный минус яркость»). Использование отдельного компонента сигнала для передачи информации о яркости в сочетании с двумя сигналами цветовых различий привело к экономии требуемой ширины канала по сравнению с аналоговым R, G, B сигналом, где каждый канал содержит собственный компонент яркости.

* Нелинейный сигнал, обозначаемый апострофом, означает, что к сигналу применена гамма-коррекция

Аналоговая модель Y’PbPr ближе соответствует современным цифровым моделям YCbCr и Y’Cb’Cr’ (яркость, цвет: синий; цвет: красный). Как и в аналоговых моделях, условный знак в виде апострофа означает, что изначальные значения для Красного, Зеленого и Синего пикселя, которые были получены камерой или сгенерированы в графическом приложении, были «субдискретизированы» нелинейным способом, который лучше учитывает различную чувствительность человеческого глаза к цветам и различным уровням яркости. Благодаря пониманию принципов работы глаза был сделан вывод, что именно данные о яркости являются наиболее важным компонентом, необходимым для того, чтобы видеть и различать объекты. При этом часть данных о цвете можно опустить без особого ущерба, в результате чего получаем сжатый сигнал, который экономит дисковое пространство и который проще передавать.

В данной статье мы сосредоточимся на трех наиболее широко используемых уровнях цветовой субдискретизации, которые можно обнаружить в рамках модели Y’Cb’Cr’. Эти уровни обычно выражаются в виде тройного отношения, которое соответствует значениям Y':C'b:C'r. Если вы истинный видеофил, то наверняка встречались с этими «4:4:4», «4:2:2» и «4:2:0». Такие отношения сообщают нам, примерно следующее: «4 доли яркости к 2-м долям цвета (синего) к 2-м долям цвета (красного).» Отношение 4:4:4 используется для описания «недискретизированных» данных R, G, B. Это означает, что в сигнале равные доли выделены на яркость, цветность синего и цветность красного. «4:4:4» полностью соответствует сигналу RGB, как показано на рисунке выше.

Высчитываем Y'C'bC'r: Таблица взята из описания стандарта BT.2100 и описывает, как значения Y'C'bC'r высчитываются из изначальных значений R’, G’ и B’, записанных камерой или созданных в графическом приложении. Обратите внимание, что яркостный компонент Y’ содержит преимущественно данные, полученные на основании зеленого канала цветности G’ и практически без участия данных из B’.

Алгоритмы цветовой субдискретизации были созданы чтобы использовать на практике более высокую чувствительность человеческого глаза к оттенкам зеленой части цветового спектра, чем к красной и синей. (Возможно, это результат долгой эволюции человеческого вида в окружении зеленых растений и лесов?) По этой причине яркостный компонент Y’ (см. таблицу выше) и содержит преимущественно данные, которые были получены из зеленого канала. По этой же причине зеленый канал в большинстве цифровых фотографий содержит больше полезных данных, на основании которых можно превратить цветную фотографию в черно-белую (см. фото ниже). Если вы снизите насыщенность цветов на телевизоре или проекторе, то полученные черно-белые изображения на экране будут созданы почти полностью из данных по яркостному каналу, в котором примерно 70% зеленого, 25% красного и лишь 5% синего. В связи с таким «перекосом» нашего зрения в сторону зеленого цвета, цветовая субдискретизация позволяет уменьшить объем информации по цветности, содержащейся в красном и синем каналах, экономя вплоть до 30% трафика (при использовании уровня сжатия 4:2:2) без заметной для большинства зрителей разницы в детализации, цвете или контрастности изображения.

Зеленый канал в большинстве цифровых фотографий вносит больший вклад в черно-белое изображение, чем красный или синий.

Сам по себе метод цветовой субдискретизации позволяет снизить размер файла и требования к полосе пропускания на 30-50% по сравнению с изначальным R, G, B форматом, не приводя при этом к значимой деградации качества изображения. Высший уровень качества 4:2:2 является практически «lossless-сжатием» (без потери качества), зачастую применяемым к изначальному видеоматериалу до монтажа и цветокоррекции, позволяя ускорить процесс редактирования и обработки. Запись у большинства полупрофессиональных видеокамер осуществляется именно в этом формате. В области профессионального кинопроизводства цветовая субдискретизация применяется лишь после того, как несжатый (4:4:4) RGB видеоряд смонтирован и сохранен в качестве мастер-копии. Затем, после цветовой субдискретизации, следует применение общего алгоритма сжатия, который может включать MJPEG, AVC, либо HEVC, каждый из которых потребует меньше вычислительных мощностей и времени для сжатия видео в 4:2:2, чем 4:4:4. Взятые вместе, эти различные методы сжатия данных способны уменьшить размер видеофайла в 5-20 раз, так и не достигнув уровня, при котором качество изображения станет неприемлемым.

Как работает цветовая субдискретизация?

4:4:4. В соответствии с приведенными выше толкованием стандарта BT.2100, данные по R, G, B, имеющиеся у каждого пикселя видеокадра, сперва используются для вычисления значений Y'C'bC'r для каждого пикселя. Рисунок выше показывает, как эти данные могли бы храниться в массивах по 8 ячеек – до того, как будет применена субдискретизация цветов. На данный момент нет никаких изменений ни относительно требуемого для хранения видеофайла пространства, ни качества изображения, ни точности цветов или их детализации.

4:2:2. Формат 4:2:2 считается навысшим уровнем субдискретизации и сохраняет всю информацию по каналу яркости Y’. (Все прочие описываемые нами уровни также сохраняют полную информацию по яркости, и лишь несколько записывающих устройств субдискретизируют яркостный канал до уровня 3 или 2). А вот значения C’b и C’r берутся в два раза реже по горизонтали, чем параметр яркости, и в итоге каждый второй пиксель в каждой строке массива пикселей хранится без данных C’b и C’r, экономя около 30% ширины канала и дискового пространства. Когда эти видеоданные открываются компьютерной программой, медиаплеером или способным напрямую обрабатывать видео в 4:2:2 устройством отображения, то сперва все доступные данные восстанавливаются в несжатом виде, а затем недостающие ячейки с данными C’b и C’r заполняются данными из соседних по горизонтали пикселей (это также называется интерполяцией).

При субдискретизации 4:2:0 яркостный компонент остается нетронутым, а для улучшения качества изображения, данные о цветовых компонентах могут содержать некую смесь из выброшенных данных.

4:2:0. Теперь все становится чуть запутаннее. При уровне субдискретизации 4:2:0, яркостному каналу все еще позволяется сохраняться в нетронутом виде, но C’b и C’r берутся в два раза реже – не только по вертикали, но и по горизонтали, что дает экономию полосы пропускания и места для хранения порядка 50%. Однако, для улучшения качества, данные, хранящиеся для каждого из оставшихся пикселей могут содержать «смесь» из выброшенных данных (см. рисунок). При этом используются два алгоритма. В итоге, при восстановлении исходного изображения видеоплеером, получается меньше артефактов, более плавные переходы между краями линий в изображении и более тонкие детали, чем если бы просто сохранялась цветность для одного пикселя из четырех (без «смешения» с соседними). Безусловно, более плавные края линий означают, что текст на контрастирующем фоне может выглядеть смазано или нечетко, но данный артефакт изображения также может быть виден при сравнении на компьютерном мониторе с его четким изображением форматов 4:2:2 и 4:4:4.

Заключительное слово по цветовой субдискретизации

Происходит ли заметно большее ухудшение качества изображение при использовании метода 4:2:0 по сравнению с 4:2:2, если наша цель — просмотр кинофильмов? Большинство зрителей, просмотревших любое количество Blu-ray дисков в 4K UHD (SDR и HDR) не согласятся с этим. Все потому, что формат цветовой субдискретизации 4:2:0 является неотъемлемой частью стандарта 4K UHD Blu-ray (наряду с невероятно эффективным общим алгоритмом сжатия HEVC) и используется для хранения практически всех фильмов, которые вы можете посмотреть с помощью сервисов кабельного ТВ или широкополосного интернет-вещания. Перед тем, как начать воспроизведение, обычный UHD Blu-ray 4K плеер проверяет информацию HDMI EDID, которая хранится в проекторе или другом устройстве, чтобы определить, способно ли оно напрямую работать с видео в формате 4:2:2. Большинство устройств способны работать с видео в 4:2:0 или 4:2:2, поэтому плеер сперва преобразует данные с диска в формат 4:2:2 перед тем, как отправлять их на экран. Если устройство отображения не совместимо с 4:2:2, то плеер может отправить на него данные в 4:2:0 или же преобразовать их в 4:4:4 перед отправкой на устройство.

Опираясь на эти крохи информации, большинство UHD Blu-ray плееров оказываются в состоянии отобразить видео даже в чуть лучшем качестве и с большей точностью цветов чем то, что вы можете получить с 4K UHD Blu-ray диска! Все что нужно – это 4K-видеокамера или цифровая зеркалка, либо графическое приложение, позволяющее записывать видео с глубиной цвета 10-12 бит на пиксель с использованием субдискретизации 4:2:2 (не 4:2:0) или даже 4:4:4. Отредактировав такие видеоролики и сохранив их в формате, таком как Apple ProRes 4:2:2, а затем сжав с использованием 10-битного HEVC, их после этого можно записать на USB 3.0 жесткий диск и подключить его к соответствующему разъему Blu-ray плеера, либо даже напрямую подключить этот диск к USB 3.0 разъему проектора или телевизора (если имеется). Поскольку плееру или отображающему устройству не приходится преобразовывать 4:2:0 в 4:2:2, то в тонких цветовых переходах должно сохраниться больше оттенков.

В любом случае, факт остается фактом: сжатие данных и цветовая субдискретизация в том или ином виде необходимы для того, чтобы позволить современным плеерам и отображающим устройствам справляться с видео в 4K-разрешении – и вы можете быть уверены, что эти технологии обретут еще большую значимость, когда широкого распространения достигнет 8K-контент и соответствующие отображающие устройства; особенно – учитывая ограничения по дисковым хранилищам и пропускной способности каналов широкополосного вещания. К счастью, в связи с большей плотностью пикселей у 8K-контента и дисплеев, видео в форматах 4:2:0 и 4:2:2 будет смотреться даже лучше чем сейчас, даже при отображения резкого текста на контрастирующем фоне.

🎯 Вывод?

Не бойтесь отстаивать свою точку зрения.

Экзамены — не всегда идеальны. Мы тратим на них недели подготовки, силы, деньги. И если есть ощущение несправедливости — иногда достаточно просто спокойно и по делу объяснить, в чём проблема.

Ваш голос может быть услышан.
А в некоторых случаях — даже бесплатно пересдан 🙂

Бывали ли у вас случаи, когда "за спрос не били в нос" — и это реально помогло?

Для подключения мониторов, телевизоров, консолей и ТВ-приставок повсеместно используется интерфейс High Definition Multimedia Interface — HDMI. Существуют разные версии, каждая из которых имеет ограничение на пропускную способность и свой набор поддерживаемых функций. Чем отличаются стандарты HDMI и какие возможности предлагает каждый?

Конструктивные особенности

В первую очередь давайте выясним, как может выглядеть HDMI. Чаще всего встречается три разновидности форм-фактора этого интерфейса:

• HDMI (Type A) — самый распространенный, встречается в крупной технике вроде телевизоров, консолей, видеокарт, мониторов и так далее;

• mini-HDMI (Type C) — можно встретить в компактных устройствах, таких как видеорегистраторы, камеры, цифровые фотоаппараты;

• micro-HDMI (Type D) — самый миниатюрный разъем, встречается в портативной технике.

Существуют также неиспользуемый Dual-Link Type-B и автомобильный Type-E. Последний встречается в автомобилях и имеет дополнительную фиксирующую защелку.

HDMI-кабель обычно состоит из четырех экранированных витых пар с сопротивлением порядка 100 Ом и семи отдельных проводников. Общего стандарта цветовой маркировки не существует, хотя многие производители стараются придерживаться принципа цветовых групп.

В спецификации четко не прописана максимальная длина кабеля, однако для пассивных HDMI 1.3/1.4 она может достигать 15 метров, для моделей HDMI 2.0 — не более 7,5 метров, а в спецификации 2.1 говорится о возможном пределе до 5 метров. Чтобы избежать затухания сигнала на больших расстояниях используют активные или оптические HDMI кабели.

Стандарты (версии) HDMI

Ключевой характеристикой стандарта HDMI является частота, увеличение которой позволяет передавать больше данных за единицу времени. Преимущественно разные версии HDMI отличаются именно пропускной способностью. Чем новее стандарт — тем большие разрешения и частоту он поддерживает.

HDMI 1.4 (2009–2011)

Постепенно выходит из оборота, хотя все еще встречается в различной технике. Имеет пропускную способность 10,2 Гбит/с (8,16 Гбит/с для данных), восемь аудиоканалов и гарантированно поддерживает следующие разрешения:

• 1920 × 1080 (до 144 Гц);

• 2560 × 1440 (до 75 Гц);

• 3840 × 2160 (до 30 Гц).

Также именно с версии 1.4 стандарт начал поддерживать HDMI Ethernet Channel (HEC) со скоростью до 100 Мбит/с. Версия HDMI 1.4a добавила два обязательных формата 3D для вещательного контента. В 1.4b были лишь внесены различные поправки в документацию. Техника и кабели с HDMI 1.4 (High Speed) могут использоваться для просмотра контента на ТВ и гейминга на относительно высокогерцовых мониторах в FullHD.

HDMI 2.0 (2013–2016)

В этой версии инженеры смогли повысить пропускную способность до 18 Гбит/с (14,4 Гбит/с для данных), а также увеличить число аудиоканалов до 32. Заявлены поддержка соотношения сторон 21:9, динамическая синхронизация видео- и аудиопотоков, аудиостандарты HE-AAC и DR, улучшенные возможности для CEC. Реализованы следующие ограничения по разрешениям:

• 1920 × 1080 (до 240 Гц);

• 2560 × 1440 (до 144 Гц);

• 3840 × 2160 (до 60 Гц).

HDMI 2.0a добавил поддержку видео HDR со статическими метаданными. В HDMI 2.0b была добавлена дополнительная поддержка HDR, которая расширяет статическую передачу метаданных, включая гибридную логарифмическую гамму (HLG). Интерфейс ориентирован на просмотр 4К контента с 60 к/с и гейминг в 2К разрешении. Кабели обозначаются как Premium High Speed.

HDMI 2.1 (2017)

Стандарт предложил еще большую пропускную способность — 48 Гбит/с (42 Гбит/с для данных), улучшенную схему кодирования, опциональную поддержку сжатия DSC 1.2a. Появился улучшенный обратный аудиоканал (eARC), улучшенная функция частоты обновления и уменьшения задержки, переменная частота обновления (VRR), а также быстрое переключение носителей (QMS) для видеоконтента. Помимо 4К с высокой герцовкой новая версия привнесла поддержку и больших разрешений, включая 8К и 10К:

• 1920 × 1080 (до 240 Гц);

• 2560 × 1440 (до 240 Гц);

• 3840 × 2160 (до 144 Гц);

• 5120 × 2880 (до 60 Гц);

• 7680 × 4320 (до 30 Гц);

• 10240 × 4320 (до 30 Гц).

В версии 2.1а реализовали поддержку Source Based Tone Mapping (SBTM). Эта технология, которая адаптирует картинку с учетом характеристик экрана. Возможна передача контента на больших частотах при использовании метода сжатия Display Stream Compression (DSC), который появился в HDMI 2.1b. Кабели маркируются как Ultra High Speed.

HDMI 2.2 (2025)

Новейшая версия получила маркировку кабелей Ultra96 и поддерживает пропускную способность до 96 Гбит/с (85 Гбит/с для данных). Это открыло новые возможности, включая поддержку 4K-контента с частотой до 480 Гц.

Среди новых технологий — Fixed Rate Link Signaling (FRLS), улучшенная поддержка несжатого контента для высоких разрешений от 4К. Появился протокол индикации задержки (LIP), который минимизирует разрывы между аудио и видео. Поможет в тех случаях, когда используются мультимедийные системы с множеством последовательно подключенных компонентов. Таким образом, мы получаем следующую таблицу действующих стандартов HDMI для контента SDR (8 бит) в цветовой схеме RGB или YCBCR 4:4:4. Для упрощенной цифровой субдискретизации YCBCR 4:2:0 и при использовании сжатия DSC возможны большие значения.

Подробная таблица, в том числе с указанием HDR контента с глубиной цвета на 10/12 бит для YCBCR 4:4:4 без сжатия DSC, представлена ниже:

Помимо этого интерфейсы отличаются списком поддерживаемых функций. Принято, что под стандартами HDMI понимается последняя из доступных версий. Например, под маркировкой HDMI 2.0 производители должны использовать интерфейс, который полностью удовлетворяет версии HDMI 2.0b.

Выбор HDMI

Как правило, производители соотносят стандарт HDMI с возможностями конкретного устройства. Например, если телевизор поддерживает воспроизведение 4К/60 Гц, то в нем уже предусмотрен интерфейс не ниже HDMI 2.0. Аналогично с мониторами — практически все модели с 4К/144 Гц имеют HDMI 2.1. Но не забывайте, что при соединении между собой двух устройств с разными версиями HDMI, они будут работать по возможностям наименьшей. Это стоит учитывать при многоуровневом подключении, например, в мультимедийных системах с AV-ресивером.

Куда важнее использовать подходящий кабель — он должен быть не ниже, чем стандарт HDMI. Особенно, если вы собираетесь задействовать режимы разрешения/частоты на пределе пропускной способности. Например, для соединения двух устройств с HDMI 2.1 потребуется кабель Ultra High Speed. А вот для соединения HDMI 2.0 и 2.1 достаточно Premium High Speed, поскольку возможности будут ограничены более старым стандартом.

Можно ли взять кабель стандартом ниже? Вполне — однако работа в высоком разрешении или на большой частоте уже не будет гарантирована. Вы можете столкнуться с артефактами или отсутствием изображения. К тому же у такого кабеля будет большее затухание сигнала на расстоянии.

Не забывайте про длину. Пассивные кабели Ultra High Speed (HDMI 2.1) длиной обычно не больше пяти метров. Все, что от 10 до 50 метров — это оптические HDMI с соответствующим ценником и однонаправленным подключением.

Поддержка функций зависит напрямую от интерфейса. Главное, обращать внимание на порты. Например, в телевизоре может быть несколько HDMI, но под ARC выделен конкретный. Иногда порты разделены по максимальному разрешению/частоте.

Функции могут не работать из-за кабеля в том случае, если у него отсутствуют необходимые жилы. Например, если нет проводника для 14 контакта, то кабель не будет работать с HDMI CEC. В конце 2023 года на Тайване полиция арестовала крупную партию поддельных HDMI кабелей, у которых вместо 19 положенных было всего 6–9 жил. Именно поэтому стоит присмотреться к продукции крупных и проверенных брендов.