1+1=2 - это арифметическое сложение в системах счисления, чье основание равно 3** и больше. Для арифметического сложения в разных системах счисления 1+1=10_2 и 1+1=2_10 эквиваленты. 10_2 - 10 с нижним индексом 2, 2_10 - 2 с нижним индексом 10. Нижний индекс определяет основание системы счисления. Для человека по умолчанию считается нижний индекс равный 10, для компьютера нижний индекс равен двум, поэтому в специализированной литературе нижние индексы могут не записываться.

*) отдельная логика сумматоров, если кратко: сложение двух бит _a_ и _b_ определяется набором: старший бит _с_=_a_*_b_ (двоичное И), младший бит (_a_ xor _b_). Это получен полусумматор. Только вот второй разряд _c_ (один или ноль в уме) нужно прибавить к соответствующим _a_ и _b_ следующего разряда, поэтому сложение реализовывается для трех разрядов - a,b и перенос с предыдущего разряда или два полусумматора дают один сумматор.

**)Не все виды троичной системы счисления подходят, т.к. там есть сбалансированный вариант троичной системы вида (-1, 0, 1), соответственно, двойки в ответе не будет (визуально не будет, по смыслу она там будет и будет записана иначе).

Люди могут плохо знать такие нюансы математики, что она не ограничивается арифметикой. Арифметика - это лишь один из разделов математики. Математика включает и другие разделы: булевая алгебра, теория графов, теория множеств, статистика, дифферинциальное исчисление и т.д. Либо быть просто дурачками по жизни.

Я склоняюсь к первому варианту, что люди просто не знают и их можно просвятить. Что мир сложнее, чем написано в школьном учебнике за первый класс. Но почему люди достаточно часто пытаются доказать, что я ошибаюсь и на самом деле они относятся ко второй группе? Как будто такие люди родились в семье двух таксистов, которые тайно правят миром не привлекая внимание психиатров.

- Фрукт - фрукт, сиська - сиська, цветок - цветок, тоже самое, мать твою.

- Да, капитан, они довольно похожи. (...) [Первая картина - работа известного художника]. А [вторая картина] просто мерзость.

Заметили? "Эксперт по одинаковости картин" находится в звании капитана! У него действительно может быть маленький [пиратский?] бизнес и он действительно управляет крупной организацией - командой корабля. И он действительно может повлиять на мир, убивая ученых и важных персон.

"Миром правит не тайная ложа, а явная лажа" (с) Пелевин

Это аудиоверсия статьи из журнала Успехи Физических Наук, т94, №3, 1968г ссылка на статью

Статья Е. Вигнера «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» — это глубокое и философски насыщенное размышление о фундаментальной связи между математикой и физическим миром. Вигнер формулирует один из самых удивительных парадоксов науки: почему абстрактные математические структуры, созданные порой из чистого интереса к логике и красоте, оказываются невероятно точными инструментами для описания и предсказания явлений природы?

Вот ключевые мысли, которые вызывают наибольшее размышление:

1. Математика — не просто язык, а пророческий инструмент

Вигнер подчёркивает, что математика — это не просто удобный способ описания уже известных фактов. Она предвосхищает физическую реальность. Примеры впечатляют:

• Комплексные числа, которые кажутся чисто абстрактными, оказываются неотъемлемой частью квантовой механики.

• Гильбертовы пространства и линейные операторы, разработанные математиками, стали основой аксиоматики квантовой теории.

• Матричная механика Гейзенберга, основанная на давно известной математике, позволила точно предсказать спектр атома гелия — системы, для которой сама идея классических траекторий уже не работает.

Это не просто «удобство» — это чудо: мы извлекаем из уравнений нечто, что в них изначально не закладывали.

2. Физика возможна только благодаря двум «чудесам»

Вигнер указывает, что существование науки зависит от двух необъяснимых фактов:

• Существование законов природы — устойчивых, инвариантных, независимых от множества условностей.

• Непостижимая эффективность математики — способность этих законов записываться на языке математики с фантастической точностью.

Без первого физика невозможна. Без второго — она была бы бессильна.

3. Точность, выходящая за рамки ожиданий

Вигнер приводит поразительные примеры:

• Закон всемирного тяготения Ньютона, основанный на грубых данных, оказался точен с погрешностью менее 0.0001%.

• Квантовая электродинамика предсказывает лэмбовский сдвиг с точностью до одной тысячной.

Такая точность не просто подтверждает теорию — она вызывает недоумение: как могла человеческая мысль, ограниченная эволюцией, создать инструмент, настолько точно описывающий Вселенную?

4. Вопрос единственности теории

Важнейший философский вывод Вигнера: мы не можем быть уверены, что наша теория — единственная возможная. Математика настолько богата, что может существовать альтернативная теория, объясняющая те же явления, но построена на совершенно иных принципах. Это ставит под сомнение саму идею «окончательной истины».

Пример — теория свободных электронов, которая поразительно точно описывает свойства твёрдых тел, хотя мы знаем, что она грубо приближённа. Это напоминание: согласие с экспериментом — не доказательство истинности.

5. Это не логика, а вера

Вигнер называет веру в эффективность математики «догматом веры физиков-теоретиков». Это не доказуемый принцип, а эмпирический закон эпистемологии — убеждение, что мир устроен так, что его можно понять с помощью математики. Без этой веры наука просто не могла бы двигаться вперёд.

Итог

Вигнер прав: эффективность математики действительно непостижима. Ни платонизм (математика существует объективно), ни конструктивизм (мы её выдумали), ни прагматизм (она просто работает) — ни одна философская позиция не даёт полного ответа.

Возможно, мы просто подобрали ключ к замку, который по счастливой случайности подошёл. Или, как предполагал Вигнер, это отражение более глубокой, ещё не раскрытой связи между разумом, математикой и структурой Вселенной.

В любом случае, эта «непостижимость» — не слабость науки, а её величайшее чудо. Она напоминает, что познание — это не просто сбор данных, а диалог с реальностью, ведущийся на языке, который мы не до конца понимаем, но который, к нашему удивлению, оказывается универсальным.

Вдобавок можно послушать песню, сочиненную по мотивам этой статьи - Язык Вселенной

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых углов, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых углов.

Пятый постулат можно заменить другим утверждением, более привычным нам. А именно, что

• 5*. Через любую точку на плоскости можно провести ровно одну прямую, параллельную другой.

Однако возникал естественный вопрос: не следует ли аксиома 5 из предыдущих? Ответ был дан Лобачевским как известно. Но это не совсем так. Сферическую геометрию знали и до открытия Лобачевского. Но куда важнее был, во-первых, сам подход к определению независимости аксиоматики. Для этого было построенное две геометрии с 5й аксиомой и её отрицанием. И во-вторых, стало понятно, что нужно развивать аксиоматику.

Первую формальную геометрию построил Гильберт, хотя попытки были и после него. Он же продвигал идею о полной формализации математики. Кантор вместе с Дедекиндом пытались строить формальную теорию множеств. Классически сейчас говорят, что она противоречиво, но есть и обратные мнения. Я с работами Кантора не знаком, возможно, историкам математики может быть интересно с этим покопаться. А точнее, есть утверждение, которое называется аксиома Фреге. А именно, что для любой логической формулы f существует множество { x | f(x)}. Эта аксиома слишком сильная и приводит к противоречию. Например, если в качестве f взять тождественную истинную формулу, то получится множество всех множеств. Но такого множества не существует.

Действительно, пусть это не так и множество всех множеств U существует. В частности, U тоже лежит в U. Тогда рассмотрим множество Q всех таких Y из U, что Y не лежит в Y. Q это множество. Тогда если Q не лежит в Q, то Q лежит в Q и наоборот. Надеюсь, вы увидели рассуждения, похожие на брадобрейские. Собственно, в классической теории множеств (ZF и ZFC) отказались от этого утверждения, заменив его более слабой версией аксиомы выделения (на самом деле, это схема аксиом, их там много). В ней, если говорить грубо, запрещается делать проверки по всем множествам, как это в аксиоме Фреге, а только по уже полученным множествам.

В парадоксе брадобрея, описанном мной, сказано две вещи. Во-первых, что брадобрей существует и, во-вторых, что он обладает указанным свойством. Свойство противоречиво, то есть его можно заменить на условие "такого брадобрея не существует". И тогда сразу понятно, что утверждения X и ¬X не могут одновременно выполнятся и отсюда парадокс. Или, если убрать требование к тому, что брадобрей существует, то получим что множество брадобреев пусто. А, как известно, элементы пустого множества обладают любым свойством (формула, которая имеет вид "∀х ∈ ∅ Ф" для любой формулы Ф, истина).

Классические парадоксы мы знаем еще от древних греков, они же развивали логику. В частности, так называемую логику Аристотеля или логику нулевого порядка в современных терминах. Многие из вас с ней знакомы, это там где истина-ложь, и-или и прочее. Чуть позднее люди придумали кванторы, расширили логику и получили логику первого порядка. Бывают логики и более высоких порядков, и неклассические логики. Я же по возможности ограничусь логикой первого порядка.

Начнем с парадоксы Зенона: Ахиллес и черепаха, дихотомия, стрелы

Первый формулируется примерно так: Ахиллес бегает в 10 раз быстрее черепахи, но никогда ее не догонит. Допустим между ними 100 метров. Когда Ахиллес пробежит их, черепаха убежит от начального места на 10 метров. Ахиллес пробежит и их, но черепах сдвинется на метр. И так далее.

Второй звучит так: движение невозможно. Чтобы пройти метр, нужно сначала пройти полметра. А для этого четверть. И так далее.

Третий звучит так: стрела неподвижна, ибо любой момент времени она неподвижна, а значит и неподвижна в целом.

Все эти парадоксы ложны по классификации, приведенной выше, так как содержат в своей формулировке ряд предположений, который в совокупности ложны. А из ложного утверждения следует что угодно. То есть утверждение "2=5" ложно, а утверждение "если 2=5, то все крокодилы летают" истинно.

В первом парадоксе делается ряд неявных предположений: "пространство можно делить на отрезки сколь угодно малой длины" и "бесконечная сумма промежутков времени ненулевой длительности бесконечна". Если что, дело тут не матане и теории рядов. Точнее, теория рядов помогает сделать утверждения, которые в совокупности не противоречат друг другу. А именно, мы понимаем, что такое бесконечные суммы и что они могут быть конечными. Либо есть вариант с дискретным представлением пространства, то есть запретом на бесконечные деления.

Второй парадокс по сути решается так же.

Третий делает подмену понятий. Из того, что в фиксированные моменты времени не происходит движения не значит, что движения не происходит вообще. Собственно, движение - это изменение координат со временем, а не в конкретный момент времени.

В конце добавлю, что есть и альтернативные подходы. Например, можно придумать какую-нибудь другую концепцию движения, в которой посылки "Ахиллеса и черепахи" не будут приводить к противоречию и действительно один другого не догонит. Но это будет другая физика, другая математика, которая не соответствует реальности или мат.моделям реальности.

Я помню, как в школе всё моё естество отвергало принятие такого термина. И вот спустя много лет я снова ищу способ отвергнуть это понятие — неопределенность.

Суть проблемы

Допустим, у вас есть такая таблица:

• [участник]

• [количество прогнозов] (обозначим как X)

• [количество успешных прогнозов] (обозначим как Y)

Задача: отсортировать таблицу в порядке убывания доверия к прогнозам участников.

Логично было бы сортировать по отношению Y/X, но тогда возникают две проблемы:

• Коллизия 1. Если X = 0 и Y = 0, мы получаем неопределенность (0/0), которую нельзя использовать в сравнениях. Однако я бы предпочёл выслушать прогноз от человека, который ещё не делал прогнозов, чем от человека с 0/5.

• Коллизия 2. Если Y = 0 и X > 0, то отношение Y/X всегда равно нулю. Но хочется считать, что участник с 0/1 заслуживает больше доверия, чем участник с 0/10.

Возможное решение проблемы

Конечно, можно изменить оценочную функцию на (Y + 1)/(X + 1) и избежать нулей. Но разве это не трусость? С какой стати мы боимся какого-то нуля! Да и как быть в других задачах, где могут встречаться X=-1?

Есть второй путь — построить свою алгебру с блэкджеком и... не допускающую таких коллизий. Чтобы её построить, мне кажется разумным признать, что 0/5 < 0/1. То есть мы считаем, что нули могут быть разными и их можно сравнивать.

Примем следующие правила:
Ноль будем записывать как 0(i), где i > 0.

Определим аксиомы:

1. x − x = 0(1) — классический ноль, который приходит из реальной жизни.

2. 0(i) / x = 0(i / x) — ноль в x раз менее плотный, чем 0(i).

3. 0(i) * x = 0(i * x) — ноль в x раз более плотный, чем 0(i).

4. 0(i) / 0(j) = 0(i / j) — спорное утверждение.

5. 0(i) * 0(j) = 0(i * j) — и проверять его я, конечно же, не буду.

6. Если i > j, то 0(i) > 0(j) — ради этого всё и затевалось.

7. Если i = j, то 0(i) = 0(j).

Вроде всё. Задача решена без изменения оценочной функции. Но не покидает мысль, что я изобрёл велосипед, да ещё и без колёс.

Будет любопытно узнать, существуют ли подобные алгебры и где они применяются?

PS: Передайте Шелдану, что ноль не просто существует, а нулей бесконечно много!

PS PS: Дополнение:

Я понял из комментариев, что не совсем четко сформулировал свою мысль. Решил написать короткое добавление. Речь идет о создание новой алгебры (а именно определить новое множество объектов (чисел) и операций над ними).

• Множество объектов этой алгебры это множество всех чисел Z за исключением классического нуля, плюс бесконечное множество нулей, которые я записываю как O(i). Т.е. O(i) это не какая-то хитрая не функция, а просто способ записать новый тип чисел.

• Множество операций на объектами - берем простые арифметические операции и операции сравнения. Дополняем их правилами описанными в перечне, который я назвал аксимомы.

• Предложенная алгебра имеет цель устранить одну конкретную неопределенность 0/0. В этой алгебре она не является неопределенностью. O(1)/O(1)=O(1).