Что если бы гравитация работала по-другому?
Всем доброго времени суток
В школе на уроках физики каждый проходил закон всемирного тяготения: "Сила гравитационного взаимодействия прямо пропорциональна массам взаимодействующих объектов и обратно пропорциональна квадрату расстояния":
Именно при таком законе тяготения мы можем наблюдать привычные нам орбиты (эллипс, гипербола, парабола). Но что, если бы закон был немного другим, как бы тогда выглядели орбиты?
На это мы сейчас и посмотрим. Ну а самый удобный способ посмотреть на ньютоновскую гравитацию - нарисовать орбиты, поэтому именно так будем определять, что было бы, если бы гравитация работала по-другому. А заодно вы сможете сами и без математики покрутить и повертеть эти орбиты, в конце поста оставлю файл и инструкцию к нему
Ну и оставлю небольшое уточнение перед прочтением: во всех случаях коэффициенты подобраны так, что сохраняется ускорение свободного падения на Земле (а не ее масса). Сделал это для удобства, иначе была бы куча мучений со скоростями). Ну и да, орбиты вокруг Земли, хотя это не особо важно
Что будем менять в гравитации?
Прежде чем начать смотреть на красивые графики и страшные формулы, разберемся, что мы вообще хотим поменять. Ну, очевидно, не гравитационную постоянную, ведь принципиально от этого ничего не изменится. Также очевидно, что и не степени или коэффициенты при массах, так как в таком случае мы по сути будем просто менять константы при формуле, опять-таки, принципиальной разницы не будет
Однако, если менять степень при расстоянии, то вот тогда мы получим принципиальные различия. Ведь сменой степени мы по сути поменяем и характер уравнений, описывающих движение (что будет видно дальше)
Замечу, что еще можно не только что-то менять в самой формуле, но и дополнять ее. Однако способов ее дополнить в значительно раз больше, чем способов изменить, поэтому на все подобные дополнения поста уж точно не хватит. Так что введение чего-то нового в формулу оставлю читателям в качестве упражнения)
Немножко про обычный закон тяготения
Но начнем мы все таки с того, как и почему возникают привычные нам формы орбит. Тут на самом деле все довольно просто, но, как мне кажется, будет полезным показать, как все это дело получается. Записываем уравнения движения в полярной системе координат и решаем их:
Подумайте над тем, откуда берутся исходные уравнения и как константы в конечном уравнении связаны со скоростью и расстоянием до центра в начальный момент времени. Это, так сказать, еще одно упражнение для читателей
Полученное уравнение, хоть это и не выглядит очевидным, описывает кривые второго порядка с фокусом, лежащим в начале системы координат. То есть мы получаем наши привычные эллипсы, гиперболы, параболы (ну и окружности с прямыми). Покрутить их можно здесь. А, ну и пару картинок, как полагается:
Синяя область на картинках - Земля
Еще один частный случай закона тяготения
Помимо случая с квадратом радиуса есть еще один вариант, для которого можно решить уравнения движения - кубическая зависимость от расстояния. Правда, здесь решение будет более громоздким, поэтому часть выкладок, использованных выше, я опущу:
Во всех трех случаях (кроме 2 при нулевой вертикальной скорости) формулы задают спирали (видно на картинке ниже). Первая, с экспонентами, и вторая при направленной вниз вертикальной скорости дают спирали, которые стремятся к центру планеты (1 и 2 на картинке соответственно). Вторая при направленной вверх вертикальной скорости и третья дают спирали, которые наоборот "уходят" от планеты (4 и 5 соответственно). И только 2 случай при нулевой вертикальной скорости (3 на картинке) дает привычную круглую орбиту
В реальности (ну как реальности, в жизни все таки в уравнениях не куб) вероятность выпадения вот такой удобной конфигурации скоростей (скорость в точности равна первой космической и в точности направлена в горизонт) у спутников да и у чего угодно равна примерно ноль целых хрен десятых, так что с такой гравитацией появление звездных систем просто-напросто невозможно. Поэтому давайте порадуемся за квадрат в наших уравнениях, а то не видать бы нам красивых восходов и закатов, луны на небе, да и года отмерять нечем было бы, нового года бы не отмечали) Правда и отмечать было бы некому)
Ах да, покрутить такие орбиты тоже можно, вот ссыль
А что там с остальными степенями
Для всех других степеней у расстояния, увы, аналитических решений нет. Но не беда, ведь есть тяжелая артиллерия в виде численного моделирования)
К этому сейчас и приступим, но сперва пошаманим над формулами. Перепишем исходную систему в более общем виде через параметр в степени расстояния, а также перепишем систему так, чтобы заменить время на угол:
Система позволяет моделировать через время, а конечное уравнение - через угол. Пользоваться будем и тем, и тем, в зависимости от того, какая модель будет удобнее
Итак, пишем код для каждой модели
На картинке код сразу для 2 моделей, при помощи комментариев указал, какой из кусков для чего
В отличие от моих предыдущих постов, где я выводил набор графиков, здесь я решил добавить ползунки и пользоваться ими. Графики кстати выглядят вот так:
Первый график через время, второй - через угол
Ну и теперь наконец смотрим на орбиты. Коэффициент при степени я подписал над графиками:
Эти графики я объединил на одной картинке потому, что они не сильно отличаются друг от друга. В целом, для n > -1 графики будут довольно похожи друг на друга, несмотря на различные n. То же самое с графиками у которых n < -3
Вот такая красота получается. Особенно интересными графики выглядят при n > -3, образуя интересные и красивые узоры
А еще смотрите как прикольно витки орбиты "складываются" в окрестности n = -2 (привычная гравитация) и n = 1 (может получиться при привычной гравитации если лететь сквозь равномерный по плотности шар, об это рассказывал здесь):
Да, на гифках графики выглядят сильно ломаными, это потому, что Wolfram при изменении параметров делает расчет менее точным, чтобы графики не подвисали и можно было примерно видеть, что будет получаться
Подметим еще два интересных факта:
1. Если буква n не меньше -1, то бессмысленно понятие второй космической, так как она будет бесконечна. Это вытекает из потенциальной энергии на бесконечном расстоянии. Проверить этот факт легко, поэтому оставлю это как еще одно упражнение для читателей)
2. Если n = -1, то первая космическая скорость будет всюду одинакова. Проверить тоже несложно, поэтому также оставлю в качества упражнения для читателей)
Как самому повертеть орбиты?
Как и обещал, оставлю модели для собственного ковыряния орбит (также можно посмотреть частные случаи в Desmos-е, дублирую ссылки [n=-2], [n=-3]). Обе численные модели вы можете скачать с ЯДиска по этой ссылке (представлены в файле формата .CDF)
Чтобы открыть их, нужно установить себе прогу Wolfram Player (ссыль на оф. сайт, она бесплатная) и запустить через нее скачанный файл
Внутри там все будет написано, так что проблем с пониманием чаво и каво возникнуть не должно. Также не бойтесь, если график становится красным или выдает ошибку, это нормально, связано с "сингулярностями" в некоторых точках при вычислении. Если возникают какие-то проблемы с моделью, либо хотите поменять границы у ползунков - пишите в комментарии, буду исправлять и дополнять. Ну и оставлю картинкой интерфейс программки:
Что по итогу?
Осматриванием прикольных картинок, ой, то есть путем сложных научных изысканий можно понять, что стоит порадоваться за наш удобный закон тяготения) Ведь при других коэффициентах звездных систем или бы не было, или Вселенная скорее всего не успела бы развиться (для n >= - 1, ну когда второй космической нет), или орбиты были бы такие, что и не разберешься, что за ужас в космосе творится (а то попробуй по тем узорчикам разбери, как гравитация устроена :) )
На такой веселой ноте пост заканчивается. Однако, помимо классического "Надеюсь, было интересно и познавательно, если что-то было непонятно - спрашивайте", хотел бы спросить у вас, как вам добавление упражнений для самостоятельного решения читателями? Мне идея показалась хорошей, так как и материал особо не выдергивается, и есть возможность читающим самим что-то дополнительно повысчитывать, и хотелось бы какой-никакой фидбэк
За сим окончательно откланиваюсь, и всем желаю удачи, счастья, успехов и нормальной гравитации в Новом 2024 году!!!
Как движется тело в свободном падении или ответ на "Жесть"
Всем доброго времени суток
Как можно заметить по названию, идея для этого поста появилась не очень обычно. В ленте мне попался пост из категории жести (ссылка на него, описывать что там не буду, кому надо - тот посмотрит, кому не надо - не прочтет), где в комментариях был вопрос про скорость падения. Ну и раз вы видите этот пост то, я думаю, понимаете, кто взялся за ответ
Начну я не со скорости, а с более интересного - со связи скорости с высотой падения. Это гораздо более общая, более сложная и более интересная задача, о которой и есть смысл рассказать в посте. А уже после этого отвечу на вопросы из "жести", чтобы те, кто пришел только за физикой, могли спокойно пропустить тривиальные и не очень приятные вычисления
Связь между скоростью и высотой
В падении на тело действуют две силы: сила тяжести и сила сопротивления воздуха:
С силой тяжести все разобрались еще в школе - классическая формула равноускоренного движения. А вот аэродинамическое сопротивление - штука довольно сложная, и в полностью общем виде аналитических решений не видать. Но, как говорила моя преподавательница по физике, "Физика точна своей неточностью", а потому наложим кое-какие условия, с которыми мы сможем и рыбку съе..., а, в смысле, и аналитически решить, и точность неплохую сохранить. Для этого сначала посмотрим на наш диффур:
Здесь я записал через ускорения, а не через силы, так как так удобнее
Здесь можно сразу заметить, что будет очень удобным назвать все буквы, кроме y, константами. А можно ли так сделать? - Да, вполне. Мы можем признать, что плотность воздуха не зависит от высоты, если расчет проводим для довольно небольших высот (а для них как раз и проводим), мы можем принять коэффициент сопротивления формы постоянным, так как скорость на таких высотах будет сильно ниже скорости звука, мы можем сказать, что площадь миделя будем считать постоянной, предполагая падение в стабильной ориентации. А, ну и еще g назвать константой, но тут это и так понятно
Итак, наше приближение готово, и работать оно будет вполне хорошо для небольших (<~1 км) высот. Теперь приступим к диффуру. А, ну только еще вот этот ворох констант заменим на одну, в остальном все
Первым делом решим его для скорости, тут самое обычное разделение переменных (только сразу учитываем начальные условия):
Конечно, можно было сразу заменить dt = dy / v_y и не париться с решением для времени, однако более длинным способом по пути мы выведем еще и формулы связи со временем, поэтому я предпочту длинное, но более информативное решение
Проинтегрировав скорость по времени, мы получим координату, поэтому берем вытянутую S в одну руку, дифференциал времени в другую и считаем (а, ну и опять начальные условия наложить не забываем, произвольные константы нам не нужны):
Мы получили формулы для скорости и координаты от времени (что кстати довольно приятно, ведь не всегда их можно определить аналитически). Можно ими полюбоваться, можно по ним считать, за какое время какое расстояние пролетит в тот или иной объект, а можно из них получить связь между высотой и скоростью. Мы займемся последним: выразим время через скорость и подставим в формулу для координаты:
И мы полчили довольно маленькую и красивую формулу. Тоже, как по мне, интересный факт: связь координаты со временем и скорости со временем выглядят стремно, зато вместе дают красивый результат. А еще интересно заметить то, как отличаются между собой формулы без учета сопротивления среды и с ее учетом:
Ну и удобно будет посмотреть на расхождение на графике
Синий график - без учета сопротивления воздуха, красный - с учетом сопротивления воздуха
На этом физика заканчивается, надеюсь вам было интересно узнать про то, как что-либо падает (и как неточна школьная физика, хе-хе), если есть вопросы или дополнения - пишите в комментарии, стараюсь всегда и всем отвечать
Ну а теперь я перейду к ответу на тот пост
Определяем скорость и высоту падения из поста
Перед тем, как приступлю к вычислениям, хочу сказать, что событие, безусловно, печальное: родители уже собирались видеть своего ребенка взрослым, да и для пацана близилась взрослая жизнь, универ, тусовки, а тут... Грустно, в общем.
Но начнем наши вычисления. Чтобы приблизительно определить скорость падения, нужно, можно сказать, численно продифференцировать: взять два соседних кадра, посчитать перемещение. Я выбрал следующие два кадра:
На первом кадре проведены следующие построения. Отрезками (белые) проложен рост парня (~135,851 пикселя), желтым отрезком обозначено перемещение (93 пикселя), голубым отрезком проложена длина ступеньки у подъезда (~21,932 пикселя)
Все эти длины мы сейчас свяжем с метрами. Длина ступеньки согласно данным из интернета должна составлять 300 мм, ввиду искажения при съемке возьмем 250 мм, откуда отношение между метрами и пикселями (далее обозначу за k) будет равно 0,011399 м/пикс. Да, значение не совсем точное из-за искажения изображения, но погрешность будет не слишком большая. Также определим k, соотнеся с ростом парня. На глаз рост составляет ~165-170 см, с учетом того, что из-за поворота размер искажается, примем для соотношения рост в 150 см, тогда k = 0,011042 м/пикс. Чтобы повысить точность, будем использовать среднее арифметическое двух полученных значений. Тогда по итогу k = 0,0112205 м/пикс., а перемещение составит ~ 1,044 м. А тогда скорость приближенно равна 31,64 м/с.
Теперь на основе общей формулы из начала поста можем узнать, с какой высоты упал десятиклассник. Установившаяся скорость свободного падения по данным из интернета составляет около 55 м/с. Тогда несложно вычислить c для общей формулы:
Подставляя скорость, коэффициент сопротивления и ускорение свободного падения, получим высоту в 70 м, что составляет ~25 этажей (округление в меньшую сторону). Число этажей выглядит довольно значительным, и, вероятно, является слегка завышенным, так как выведенная формула требует постоянства коэффициента сопротивления, чего при подобном падении достичь невозможно. Ну и также 55 м/с (предельная скорость) - это для падения "плашмя", на фото человек летит не так. Скинув в 2,5 раза (цифра примерная и на глаз исходя из изменения миделевого сечения при падении боком)) коэффициент сопротивления получим 54,7 м или 20 этажей. Возможно, цифра еще меньше, но тут я упираюсь в погрешность при подсчете скорости и в собственные (масса, коэффициент сопротивления, площадь миделя) характеристики падавшего, поэтому более точные данные дадут уже только сотрудники органов
На этом пост уже точно заканчивается. Понимаю, что строить научпоп с расчетами вокруг жести не очень хорошее занятие, но надеюсь, что пост не вызовет негатива от читателей. Всем добра, и поменьше бы таких случаев, а в идеале вообще 0
Прогноз следующего числа
Есть ли формула, либо форма/функция эксель, которые позволят спрогнозировать, какое будет следующее число?
Например, дан ряд из 15 чисел, случайный, величины от 25 до 34, числа случайные, могут повторяться.
Числа: 27, 26, 27, 26, 34, 27, 25, 30, 30, 25, 29, 28, 32, 30, 29
Нужно узнать, угадать, спрогнозировать, какое будет число. Или, хотя бы, найти закономерность.
Поиск в интернете успеха не принёс, вероятно, не верно формулирую запрос.
Прошу помощи.
Почему нельзя делить на ноль? – Алексей Савватеев | Лекции по математике | Научпоп
Каково математическое определение такой «привычной» нам операции, как деление? Почему невозможно получить результат деления на ноль? Можно ли разделить ноль сам на себя и что из этого получится? Как невозможность деления на ноль можно объяснить физически?
Рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых, научный руководитель Кавказского математического центра АГУ, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН.
Ролик создан при поддержке Ассоциации волонтёрских центров в рамках Международной премии МЫВМЕСТЕ.
Математика групповых футбольных турниров – Алексей Савватеев | Лекции по математике | Научпоп
Математика в футболе? Да! Как Россия могла НЕ выйти из группы на ЧМ по футболу 2018, и как это можно доказать математически? Может ли футбольная команда выиграть 2 матча из 3-х и не выйти из группы? А может ли дважды проиграть и всё-таки выйти? И в чём здесь может быть отличие группового этапа чемпионата мира по хоккею от футбольных чемпионатов?
Рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых, научный руководитель Кавказского математического центра АГУ, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН.
Ролик создан при поддержке Ассоциации волонтёрских центров в рамках Международной премии МЫВМЕСТЕ.
Ответ на пост «Рассчитываем "Воронку возможностей" (или "Жопную воронку")»
Так, стоп. Если вот это математически уточнённая форма жопной воронки, внизу которой ты не можешь выбраться из безденежья...
... то не её ли мы надевали на голову получая дипломы?
И не стоило ли надеть её поглубже?
И не вышел ли автор на себя?
Рассчитываем "Воронку возможностей" (или "Жопную воронку")
Всем доброго времени прочтения
Наверное все знают про так называемую "Воронку возможностей", а если запамятовали, то вот картинка-напоминалка:
Ссылка на один из комментариев с ней
Так вот. Она хорошо объясняет, в чем разница между бедными и богатыми, но при этом совсем неизвестно, какие у нее свойства, какими уравнениями она задается. Пришло время исправлять это)
Пост будет разбит на 2 части, в 1-ой подгоним какуюнить функцию под картинку, а во второй сами построим свою жопную воронку возможностей
Подгоняем кривые
Если присмотреться к форме воронки (вернее к ее сечению, так как речь в посте будет про кривые, а не поверхности), то она напоминает либо что-то из семьи гипербол, либо что-то логарифмическое. Я решил посмотреть сразу 2 варианта, зашел в Desmos, задал функции и подогнал коэффициенты, вот картинка с тем что получилось
Уравнения подогнаны под то, как растянута картинка у меня. Впрочем, уравнения уже говорят о характере воронки
Получилось уравнение с логарифмами и со степенями. Обе кривые вполне хорошо показывают сечение воронки. И еще они имеют такие же асимптоты жопы, как и воронка. На этом подгонка заканчивается, а мы переходим к созданию своей жопной воронки
Создание собственной воронки
Так как нужно определить функцию, которая будет описывать образующую, то надо задать условия, по которым мы определим ее. Я их сперва запишу в житейском представлении, а затем переделаем их в математику
Условия:
1) При бесконечном количестве денег не нужно что-либо делать, чтобы не скатиться в жопу
2) При нулевом количестве денег (когда ты на асимптоте, то есть в жопе) выбраться невозможно
Что говорят нам эти условия? Как мы помним, суть воронки в том, что ты крутишься по ней так, чтобы тебя выталкивала наверх центробежной силой. Чем ты дальше от жопы, тем медленнее нужно двигаться, чтобы не скатиться. Ну и наоборот. Тогда из первого условия получаем, что скорость на большом удалении от жопы должна быть практически нулевой, а в самой жопе - бесконечной
Теперь добавим немножко физики, чтобы связать воронку и скорость, нужную, чтобы не упасть в самый анус
Нарисуем силы при движении по какому-то участку воронки
Красная прямая - касательная
Так как движущийся человек шарик не скатывается в жопу и не укатывается от нее, то сумма сил должна быть нулевой. Запишем уравнения и выразим скорость:
Так как воронка мысленная, то забываем про школьную g = 10 м/с^2 и записываем g = 1. Также здесь у нас затесался тангенс, однако из рисунка с силами мы помним, что угол тут - угол наклона касательной к горизонту. А значит сам тангенс равен производной искомой функции:
Теперь заменим производную на другую функцию с которой будет удобнее работать, а также представим радиус как сумму расстояний двух расстояний (поясняющая картинка прилагается, нужно это для удобства работы с функциями):
Итак, у нас в условиях есть 2 предела отношений. Из 2-ого сразу можно заметить, что фи должно в нуле равняться нулю (тогда мы поделим расстояние от центра жопы до асимптоты поделим на ноль и получим бесконечность). Вернее в плюс-нуле равняться плюс-нулю, но это уже мелочи. В 1-ом пределе можно дельта-r отбросить, так как оно сильно меньше остальных членов. Тогда станет видно, что фи должна расти быстрее, чем линейная функция. Из этих 2 условий придумаем подходящие фи, а затем отбросим те, с которыми работать будет не удобно
Итак, вот у нас есть 2 функции, которыми мы можем сделать "Воронку возможностей". Ну вернее всего одна, логарифм я тоже выкинул в сингулярность воронки, так как с ним никак не получалось сделать функцию). Как теперь придумать подходящие коэффициенты? Введем еще одно условие
Пусть r обозначает доход на человека в МРОТ (то есть r = 1 - доход в один МРОТ, r = 5 - 5 МРОТ), а скорость - насколько сильно человеку приходится крутиться, чтобы не свалиться в говно (скорость равна 1 - 100% сил уходит на удержании от падения в говно, наклон равен 0,5 - 50% сил). Примем, что на доходе в 1 МРОТ человек работает на 100% на то, чтобы не свалиться в говно. И еще примем, что при медианном доходе человек тратит 50% сил на то, чтобы не упасть в говно. Для поста возьму медиану в Омске[1][2], откуда я родом. Поделим Медиану на омский МРОТ[3][4]: 33 722 руб. / 18 975 руб. = 1,777180501 (Медиану определил через среднее арифметическое медиан из прикрепленных источников)
Теперь можно построить график и посмотреть, как будет выглядеть наша воронка возможностей
Сечение воронки
Трехмерный вид. Из-за слишком резкого ската в жопу воронка слегка похерилась
Вид чуть подальше
Вид снизу
Вид чуть подальше и снизу
Вид "прям в само очко"
Заключение
Чтож "Воронка возможностей" сделана, теперь можно по полученным функциям исследовать ее свойства (если это вообще кому-то нужно). Ну а на этом могу откланяться и пожелать хороших выходных
UPD
От 11:23 по МСК
Так как тут возник вопрос о том, с какой скоростью нужно вертеться в воронке, я сделал еще один график, который это показывает
По оси y тут прилагаемые усилия (y = 1 - 100%, для этого значения также проведена черная линия). По оси x - ежемесячный доход в МРОТ. Если человек в красной области, то он скатывается в жопу, если в зеленой - укатывается от нее. На синей линии человек остается на месте - не скатывается и не укатывается. В фиолетовой области уже точка невозврата в виде жопы.
Можно заметить, что наибольший спад нагрузки происходит при росте около 1 МРОТ, ну оно и понятно. А вот при больших доходах разница ощущается не особо, что кстати вполне соответствует реальности: рост с 20 т.р./мес до 40 т.р./мес ощущается сильнее, чем рост с 120 т.р./мес до 140 т.р./мес
Ну вот теперь уже могу окончательно откланяться