Посоветуйте книги по геометрии
В школе я плохо учил геометрию и примерно с 8, 9 класса вообще перестал понимать, что написано в учебниках и чего от меня хотят. После я захотел подтянуть свои знания по геометрии для сдачи ЕГЭ (примерно за неделю или полторы до самой сдачи), но у меня так и не получилось научиться решать задачи на доказательство в самом конце. С тех пор, я не имел каких-либо дел с геометрией (и алгеброй тоже. Я сейчас в уме с трудом могу просчитать 73-7. Но когда учился в школе, то каких либо проблем не имел).
Так вот, сейчас я хочу стать 3д аниматотором и я подумал, что наверное знание геометрии пригодится. Помимо этого я всё таки хочу научиться те задачи, которые у меня тогда не получилось решить. Даже если и не пригодится в анимации, то хочу закрыть гештальт. (В институте я начинал готовиться к экзаменам примерно за сутки или двое (до этого считай почти ничего не учил) и всегда успешно сдавал. И с какими-либо конкретным заданием проблем не имел. Так вот, то что я так и не смог тогда его решить очень задевает мою гордость.
Посоветуйте какую-нибудь книгу по геометрии, которая прокачает мои знания примерно с нуля (я уже ничего не помню, разве что только у острого угла меньше 90° градусов) до уровня 11 класса, желательно за пару дней.
"Кто умножает познания, умножает скорбь"
Дисклеймеры
Для лиги душнил полная цитата:
Для ЛЛ: рзбр ошбк в учбнк истр 9 кл. Длннпст. Простите, коллеги!
Для лиги тупых: ничего интересного
Для молодежи: ворчание старого маразматика
Для девятиклассников: даже не знаю, что сказать. Решайте сами.
Для родителей девятиклассников: не стесняйтесь раскрывать детям правду.
Для ровесников: умножаю скорбь...
Сегодня предлагаю поговорить об изучении истории России в современной школе. Совсем немного.
Я учился в советской средней школе. Учился по типовым советским учебникам. У меня были замечательные учителя, но, полагаю, что и в других школах были не хуже. По истории у меня была твердая 4. Ну, может быть, с плюсом.
В этом году внук начал учебу в 9 классе. Попросил меня помочь ему с докладом на тему: "Гидравлический подъемник Ивана Кулибина". Мое весьма среднее образование сочло себя оскорбленным, поскольку не помню я среди изобретений Ивана Кулибина ничего, связанного с гидравликой. Вода в его изобретениях была, но "водоход" немного из другой оперы.
Полез в поиск.
"Похоже, что у меня образование не среднее, а много ниже среднего, да склероз с маразмом, видимо наседают"- подумал я.
Начал читать по ссылкам (примечание: Порадовало в поиске фото подъемника, из 1793 года, ага!).
Оказалось всё не так просто.
Историю России нынешние девятиклассники изучают по такому учебнику
Как все понимают, 9-й класс - это подростки 15 лет. Тот самый возраст, когда детская вера в непреложную правоту взрослых закончилась, а формирование базовых знаний и убеждений, которые будут определять судьбу человека, поколения и всей страны (извините за пафос) в следующие 30-40 лет, в самом разгаре. И передавать знания старших поколений надо особенно внимательно и аккуратно, буквально взвешивая каждое свое слово.
Что же делает коллектив авторов вместе с сонмом редакторов и корректоров
Да еще и под редакцией академика РАН
С рекомендацией Министерства просвещения, с одобрением Научно-редакционного совета, с положительными заключениями РИО, РАО и РКС и с Рекомендацией Российского исторического общества?
А весь этот большой и дружный коллектив уже на 8 (ВОСЬМОЙ!) странице учебника начинает смело перевирать историю.
Цитирую: "Русский механик Иван Петрович Кулибин в 1793 году сконструировал гидравлический подъемник (лифт)".
И возвращаюсь к результатам поиска. Ни в одной статье, ни в одном докладе, к чести их авторов, нет упоминания о "гидравлическом подъемнике Кулибина". Есть информация либо о "винтовом подъемнике Кулибина", что соответствует истине, либо о "гидравлическом лифте (Англия, 1849 год)", что также соответствует истине.
Что двигало авторами при создании этой "маленькой лжи", мы с вами можем только гадать:
- наплевательское отношение всех причастных к созданию этого учебника к своей работе и нежелание читать и рецензировать учебник? Да ну, не может быть, все - люди ответственные и готовы поручиться за правдивость каждого слова в учебнике.
- отсутствие технической грамотности и неспособность отличить винтовой подъемник от гидравлического? Полагаю, многие скажут, что историку в технике разбираться не обязательно. В моей деревне (Свердловск раньше называлась) учили: если не знаешь, не разбираешься, то спроси у знающих людей.
- застолбить приоритет в изобретении гидравлического лифта? Но это неправда, да и было давно, все сроки патентной защиты вышли.
- показать, что Российская империя была на острие технического прогресса в то время? Плохо верится, судя по перечислению зарубежных изобретений в этом же разделе параграфа (напомню, речь об учебнике "История России").
- показать подросткам, что никому (даже учебникам) нельзя верить на слово, и надо проверять каждое утверждение? Посыл неплохой, даже, я бы сказал, полезный, только тогда можно всю жизнь положить на проверку ложных утверждений. Да и кто-то не проверит, просто запомнит, и в будущем будет утверждать, что гидравлический лифт изобрел-таки Иван Петрович Кулибин. Да и безоговорочной веры всей остальной информации из этого учебника уже не будет.
"Маленькая ложь рождает большое недоверие, Штирлиц" (С) Мюллер, фильм "Семнадцать мгновений весны".
Часто можно услышать выражение "поколение ЕГЭ", имеющее негативный смысл. А кто формирует знания этого поколения? Нынешние академики, полагаю, еще сдавали нормальные экзамены в школе, и не относят себя к этому пресловутому "поколению".
Представьте себе вопрос в билете на ЕГЭ по истории:
Какой подъемник изобрел Иван Кулибин в 1793 году?
И варианты ответа:
- винтовой
- паровой
- гидравлический
- электрический
Как школьнику отвечать на это тест? В какую клеточку поставить крестик (или любой другой знак)?
Правильно? А вдруг и ответы на этот вопрос готовил кто-то из авторов учебника, убежденный в том, что правильный ответ "гидравлический"?
Как в учебнике? А вдруг ответы на этот вопрос готовил грамотный специалист, который учебник не читал и знает, что правильный ответ "винтовой"?
Внук продолжает учиться. По мере возникновения вопросов к создателям учебников буду изливать свое возмущение здесь. Как-то в младших классах ошибки воспринимались проще: "подумаешь, неправильно слово в учебнике русского языка написано".
В Питере шаверма и мосты, в Казани эчпочмаки и казан. А что в других городах?
Мы постарались сделать каждый город, с которого начинается еженедельный заед в нашей новой игре, по-настоящему уникальным. Оценить можно на странице совместной игры Torero и Пикабу.
Реклама АО «Кордиант», ИНН 7601001509
Подборка учебников по математике
Наиболее важной для меня является :
Алгебра на вступительных экзаменах по математике в МГУ, Фалин - https://obuchalka.org/20200416120320/algebra-na-vstupitelnih...
Моденов В.П. Математика: Пособие для поступающих в вузы - https://www.twirpx.com/file/11858/
Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие - Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. - https://cdnpdf.com/pdf-11751-zadachi-po-matematike-uravnenij...
Пособие по математике для поступающих в ВУЗы, Дорофеев - https://obuchalka.org/20181027104791/posobie-po-matematike-d...
3000 конкурсных задач по математике - Куланин - https://cdnpdf.com/pdf-11805-3000-konkursnyh-zadach-po-matem...
Задачи с параметрами - весьма трудоемкие,и мне пришлось немало времени абы понять их логику
Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами - https://www.twirpx.com/file/1354752/
Параметры снова -https://shron1.chtyvo.org.ua/Apostolova_Halyna/Pershi_zustri...
P.S. Надеюсь,моя подборка поможет кому-то на вступительных екзаменах,ЕГЭ/ЗНО
И конечно же не забываем про старого Сканави)
10-11 класс: подготовка к ЕГЭ по физике
Добрый день! Решил скорректировать и выложить краткий план, который я готовил для онлайн-школы еще год назад. План сможет помочь при подготовке к ЕГЭ по физике. Он достаточно подробный, поэтому не стал план выкладывать здесь - файл с планом можно скачать по ссылке (вот ссылка). На скрине кусочек списка для примера.
В данном архиве вы можете найти все книги, указанные в плане. Имейте ввиду, он тяжелый (~332 Мб).
Надеюсь, будет полезно.
Подобные посты с советами по программе для остальных классов постараюсь сделать.
P.S. По всем вопросам - alexjuriev3142@gmail.com
Тестовое задание ЕГЭ по математике
Давно не писал постов.
Принесла дочка из школы тестовое задание по ЕГЭ. Походу в Минобре все сидят на тяжелых наркотиках. Такие задачи составляют, лига юмористов первого канала.
ПАРА СЛОВ О ТОМ, КАК УЧАТ МАТЕМАТИКЕ ЗА БУГРОМ
Привет, мальчики и девочки! Учебный год в самом разгаре, но только сейчас у меня появилось свободное время, чтобы поделиться опытом в преподавании математики по одной из заграничных образовательных программ. Начнём мы, разумеется, не с моих соображений, а с трудов предшественников. Перед прочтением рекомендую Вам ознакомиться с замечательной книгой "Классная Америка":
https://www.rulit.me/books/klassnaya-amerika-read-45692-1.ht...
Нельзя не сказать несколько слов об Авторе. Айрат Димиев, кандидат химических наук, в девяностые годы отправился работать школьным учителем в Соединенные Штаты Америки. Его книга - наиболее точный и интересный анализ американской системы образования.
Я никогда не работал за рубежом. Но в силу обстоятельств вот уже шесть лет я обучаю детей по образовательной программе A LEVELS. По иронии судьбы мой опыт работы с A LEVELS больше, чем с ЕГЭ. В этом году я обучаю двух детей по учебникам A LEVELS. Я много думал о том, хорошая это программа или плохая. Сравнения с тем, как учили меня, неизбежны. Ведь я вырос в России, учился в России и всю жизнь проработал в России. Поначалу ничего, кроме рвотных рефлексов A LEVELS у меня не вызывал. Затем, по мере приобретения педагогического опыта, я всерьёз стал считать, что отечественное школьное математическое образование мертво, все попытки его воскресить напоминают некромантию, и что A LEVELS это Чудо Господнее, ниспосланное на святую Русь милостью Интернета. Осталось только перевести учебники на русский язык, и будущие Перельманы будут появляться, как грибы после дождя. Теперь же однозначного ответа на вопрос "что лучше?" у меня нет. И я не изменю свое мнение в ближайшее время.
Я опишу свои наблюдения в двух частях:
ПРЕИМУЩЕСТВА
1) A LEVELS это полностью стандартизированная образовательная программа. Прорешав учебники, Вы получите все необходимые знания, достаточные для сдачи экзамена, и Вас не удивит ни одна из предложенных задач. Нашим образовательным деятелям определённо есть чему поучиться, поскольку в России до сих пор нет изданного Единого Государственного Учебника для подготовки к Единому Государственному Экзамену, не говоря уже об адаптации школьной программы к требованиям ЕГЭ или олимпиадам. Правда в Интернете этот учебник существует давно и успешно (РЕШУЕГЭ называется).
2) Учебники A LEVELS понятные. Нет, даже не так. Они настолько понятные, что по ним можно учить математике блондинок. Некоторые разделы вызывали и вызывают восхищение и обиду - если бы меня так изящно учили равноускоренному движению в физико - математическом лицее, я бы нарёк своего учителя физики если не Эйнштейном, то Ньютоном уж точно.
3) В учебниках A LEVELS великолепно объяснена теория вероятности. Я не случайно отметил эту особенность отдельно. Дело в том, что в российских школах несчастные дети вынуждены страдать, обучаясь основам теории вероятности по учебнику Тюрина, Макарова, Высоцкого и Ященко:
https://drive.google.com/file/d/0BwulwquUtZ1KRnczbHVzdnVnY3M...
Невзирая на моё искреннее уважение к Авторам, я публично заявляю, что этот учебник даже на Говно, а самая настоящая Блевотина, которую нужно изъять из школ, сжечь и больше никогда о ней не вспоминать.
4) A LEVELS охватывает больше тем, чем отечественная школьная программа по математике. Например, есть раздел статистики, где доступно объясняют биномиальное распределение. Школьники изучают методы аппроксимации, от которых я был в шоке на втором курсе. Есть даже дифференицальные уравнения, страшно! Нет? Сейчас будет! Как Вам полярные координаты и гиперболические функции? В общем, A LEVELS отлично подойдёт как школьникам, так и студентам младших курсов.
5) A LEVELS обладает нулевым порогом входа. При должном знании английского можно учить хоть пятиклассников. К девятому классу абсолютно реально дойти до комплексных чисел.
Вам может показаться, что такие достоинства ничем нельзя затмить? Увы, эйфория проходит быстро, за ней следует тяжелейшее похмелье.
НЕДОСТАТКИ
1) A LEVELS и калькулятор братья навек. Это приводит к катастрофическим последствиям. У многих детей, обучавшихся по этой системе отсутствуют базовые навыки устного счёта. Как говорил мой учитель, "у детей нет чувства чисел".
2) Следствие предыдущего пункта. Получили ответ "корень из двух"? В задании будет чёрным по белому написано, что ответ нужно дать в виде десятичной дроби с одним, двумя или тремя знаками после запятой. Отсюда корень из трёх равен 1.7, одна третья это 0,33, а число пи вообще идёт в пи. У учеников нет ни малейшего представления о природе иррациональных чисел. У российских школьников его, разумеется, тоже нет, но в большинстве отечественных учебников доказывается иррациональность числа "корень из двух" хотя бы из соображений приличия.
3) Безнадёжно загублена Геометрия. Точнее, всеми любимые/нелюбимые задачи на доказательство, типа признаков равенства треугольников. Вместо этого куча вычислительных задач, типа "в треугольнике даны две стороны и угол, посчитайте площадь". Причём угол не табличный, его синус считается на калькуляторе с точностью до трёх знаков после запятой.
4) Конечно, A LEVELS охватывает больше тем, чем отечественная школьная программа по математике, вот только задачи по этим темам на порядок проще, чем те, что решают дети, обучавшиеся в русских школах, пусть и дворовых. Я лично проводил следующий эксперимент: хороший семиклассник успешно решал все задачи продвинутого теста, предварительно изучив теорему Пифагора, изредка уточняя у меня что такое multiplication, numenator и surd. Задачи части C ЕГЭ для абсолютного большинства студентов A LEVELS неподъёмны, от слова вообще.
5) Из - за того, что дети многих наших чиновников обучаются по этой образовательной программе, периодически слышны вопли о том, что "там" учат лучше всех, и давайте "здесь" сделаем "так как у них". Заимствуются при этом отнюдь не преимущества.
И всё - таки, какая программа лучше? Я уверенно отвечаю: не российская, и не зарубежная. Лучшая образовательная программа по математике - советская.
P.S. Вы можете погрузиться в A LEVELS с головой, пройдя по ссылке:
https://drive.google.com/drive/folders/0B1ZiqBksUHNYX3dkQXFR...
Там собраны все учебники, которые я прорешивал с учениками.
UPD. Уважаемые участники Pikabu, я прошу у Вас прощения и благодарю за оперативно предоставленную информацию. Вероятно ссылка на Гуглдрайв была заблокирована из - за нарушения авторских прав. Некоторые учебники A levels можно найти здесь:
https://gcecompilation.com/a-level-mathematics-books-pdf/
Для ознакомления я рекомендую открыть Pure Mathematics Level 1 (самый первый из перечисленных). Если у Вас есть желание продолжить знакомство, напишите мне на почту ( kirk_06@mail.ru ) и я отправлю Вам те, что у меня есть.
Если ссылка на "Классную Америку" Айрата Димиева тоже не открывается, просто наберите название книги в гугле, это популярное произведение.
ПАРА СЛОВ О ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКАХ, ИЛИ КАК НЕ НАВЕРНУТЬ ГОВНА.
Возможно, Вы удивитесь, прочитав заголовок, но это нормально, скоро всё станет понятно. Сегодня речь пойдёт о школьных Учебниках. Не обойтись без некоторых ограничений: во - первых, нижеприведённая информация справедлива для Учебников по математике, во - вторых, наибольшую пользу она принесёт родителям, чьи дети отбывают срок в средних общеобразовательных тюрьмах особо строгого режима - российских Школах. В - третьих, в перечне Авторов возможны дополнения, ведь я по - прежнему занимаюсь преподаванием и не планирую менять работу в ближайшее время. И, наконец, самое важное: если учебник плохой, это не значит, что всё потеряно. Как говорил один мой хороший коллега: "Ученика, желающего учиться и не рассеянного своей постоянной тревогой, можно научить по не самым лучшим Учебникам, имея и не очень удачную форму выпускного экзамена". Но осведомлённость не помешает.
Начнём мы, как ни странно, со сравнения. В былые времена кровавого коммунизма, когда меня ещё и в проекте не намечалось, наши Бабушки и Дедушки обучались по хорошему Учебнику Киселёва. Призыв "вернуться к Киселёву" раздается уже лет тридцать, я его поддерживаю обеими руками, ОСОБЕННО В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ. Учебник легко найти на просторах интернета:
https://mediton.livejournal.com/42308.html
Когда СССР дополз до кладбища, в Российскую Федерацию пришли мир, демократия и рыночные отношения. Учебник - это книга, книга - это товар, любой товар можно продавать. И вот тут начинается самое интересное. Возьмите любой Учебник, откройте первую страницу и Вы увидите что - то типа: "Допущено министерством образования ... бла бла бла". Это - министерский гриф. С ним Учебник практически гарантировано попадёт в Школы. Наличие министерского грифа даёт книжному издательству возможность ежегодно зарабатывать внушительные суммы денег, за него идёт борьба, ради него выдумываются новые стандарты образования. Отсюда следствие: каждое издательство заинтересовано в наличии "своих" Учебников и Авторов, которые эти Учебники напишут.
В результате получается ситуация, красочно описанная фразой из сериала "Бандитский Петербург" : тут то всё Говно наружу повылазило. Часто Учебники пишутся вообще без участия профессиональных математиков. Эта печальная особенность издания учебной литературы наносит отечественному образованию большой вред.
К счастью, научное сообщество знает о сложившейся ситуации и ведёт борьбу с мракобесием. Наиболее результативная попытка была предпринята Виктором Анатольевичем Васильевым, президентом Московского Математического Общества. Он прочитал и отрецензировал большое количество школьных Учебников. Значимость его работы трудно переоценить, но почему - то о ней мало кто слышал. С его рецензиями можно ознакомиться, пройдя по ссылке:
http://www.mi-ras.ru/~vva/test.html
За прошедшие пять лет у меня сложился свой список Учебников, по которым я занимался со своими учениками. Условно я разделяю их на три категории. В каждой из них перечислены фамилии Авторов:
ХОРОШИЕ
Это те учебники, которые я бы рассматривал в качестве альтернативы учебникам Киселёва. Есть мнение, что только они должны остаться в Школах, но, к сожалению, не все Учителя могут по ним преподавать. В идеале, дети должны изучать нечто вроде:
https://www.mccme.ru/free-books/57/davidovich.pdf
Но поскольку это невозможно, ищите на прилавках книжных магазинов фамилии:
Башмаков М.И.
Шарыгин И.Ф.
Никольский С.М.
Гейдман Б.П.
Есть ещё очень хороший задачник для 57 школы авторства Ширикова Е.Н. и Пушкина С. А, но в некоторых местах есть ляпы и очепятки. В последнее время, я занимаюсь с детьми исключительно по ним:
https://www.facebook.com/matolimp/posts/1101554103256683/
СРЕДНИЕ
Это уровень ликбеза по математике. Они хуже Киселёва, их недостаточно для углубленного изучения математики, но для обычной общеобразовательной Школы подойдут:
Макарычев Ю.Н.
Атанасян Л.С.
Виленкин Н.Я. - нестареющая классика для 5 - 6 классов. С этим учебником полезно изучать методичку авторства Чеснокова и Нешкова.
Задачник Мордковича
ГОВНО
Моя самая любимая категория. Следует высказать пару замечаний:
0) Повторюсь, если учебник плохой, это не значит, что всё потеряно. Хороший Учитель легко справится с этой проблемой. Я сам учился по Учебнику одного из Авторов, упомянутых ниже, и вроде остался жив. Тем не менее, если в Вашей школе по ним преподают, или Учитель в красках расписывает, какие они замечательные, это однозначно повод задуматься.
1) Давайте представим следующую ситуацию. Идёт урок Английского Языка, на котором помимо Учителя и учеников присутствуют Носители. После урока Носители, независимо друг от друга, вежливо заявляют, что, несмотря на Педагогический Талант Учителя, дети изучают не Английский Язык, а что - то другое, слабо относящееся к Языку. Является ли мнение Носителей определяющим? Почти очевидно, что да. С математикой - то же самое. Если в Учебнике есть логические ошибки (не явные опечатки) и/или заведомо ошибочные утверждения, учить по нему математике нельзя, несмотря на всю привлекательность предлагаемой Педагогической Методики. Математика нужна для того, чтобы научить детей отличать верные утверждения от неверных, развивать логическое мышление. Не может быть в плоском треугольники со сторонами 3, 4, 5 угла в 120 градусов.
2) Следствие предыдущего пункта. Если ребёнок учиться в классе с номером N, по - настоящему качественно обучать его может только человек, хорошо освоивший программу за 2N + 1 классов. Ошибки тут нет, один курс математического факультета считается за два класса средней школы. Понятно, что это утопия и найти столько квалифицированных кадров невозможно. Но к авторам учебников должны предъявляться именно такие требования. Потому что нельзя объяснять что такое простые числа, не зная Основной Теоремы Арифметики, вбивать детям в голову формулу корней квадратного уравнения, не имея представления о том, как раскладывать многочлен на множители, а про производную с экспонентой мне вообще страшно говорить. Да, чтобы написать по - настоящему хороший Учебник для 11 класса желательно быть кандидатом наук. Нет, Педагогического Таланта недостаточно. Кстати, именно поэтому я стараюсь не преподавать детям старше 10 класса. Я не кандидат наук.
3) Начальной школе достаются самые кошмарные учебники из тех, что я видел за свою короткую жизнь. Особое место в болоте Говна занимают Учебники, принадлежащие к системе Эльконина - Давыдова. К математике они относятся примерно так же, как гомеопатия к доказательной медицине. По причине моего особо теплого отношения к начальной школе, я и поместил ссылку на "Арифметику" в самом начале.
4) Все учебники, не дотягивающие до уровня "СРЕДНИЕ", достойны именоваться Говном. Нет смысла выбирать заведомо плохой вариант при наличии лучшего в открытом доступе.
И вот какое Говно я навернул в своей жизни:
Петерсон Л. Г. - Каноничный пример очень плохого учебника, рекламируемого всеми, кому не лень. Все полученные им регалии и премии приводят к неутешительным выводам: никто так ни разу и не прочитал его вдумчиво от начала до конца.
Козлова С.А. - очень плохой учебник по геометрии. Место в помойке, как и следующему.
Рубин А. Г. - очень плохой учебник по алгебре. Место в помойке, как и предыдущему.
Истомина Н. Б. - Тесты по этому учебнику добавили мне седых волос. В чём - то он даже хуже Петерсон.
Аргинская И.И. , Александрова Э.И. Рудницкая В.Н. - учебники для начальной школы. Их качество описано в пункте 3 чуть выше.
Вот, пожалуй и всё. Удачи Вам! Не наверните Говна.
P. S. Если Вы каким - то чудом дочитали до конца, возможно у Вас возник резонный вопрос: что же делать? Как учить детей, если не повезло с Учебником\Школой\Учителем (нужное подчеркнуть)? Ну, тут есть два варианта:
1) Выбрать Зюганова президентом, вернуть кровавый коммунистический режим и вместе с ним - единый Учебник на всю Россию. Возможно идея неплохая, но, на мой взгляд, не осуществимая в ближайшее время.
2) Скачать "Арифметику" и учить по ней Вашего ребёнка самостоятельно, хотя бы в начальной школе. Ничего сложного в этом нет. И не слушать воплей адептов современного образования о том, как вредно учить считать в столбик. Им потом это на ОГЭ аукнется.
3) Я бы написал "нанять квалифицированного репетитора", но во - первых это прозвучит как самореклама, во - вторых его ещё надо найти (что довольно трудно!), в - третьих, я всегда считал, что углубленно заниматься математикой лучше начинать в пятом или шестом классе. Впрочем, прорешивая учебник Истоминой с детьми, я всё чаще ощущаю болевые ощущения пониже спины. Так - что может и надо...