Значения слов в языке со временем изменяются. Латинское слово «сlassicus» («образцовый», «являющийся примером для подражания»), произошло от «classis» («группа населения»). А «classis» произошло от глагола «calare» – «созывать».
«Эй, патриции налево, плебеи направо! По группам населения стройся!»
А где строиться-то? Каждая группа должна быть на своём месте. Обведём это место чертой – и получится площадка, квадратик – «классик», как в игре в классики...
Впрочем, нам достаточно просто знать, что «классический» – значит «образцовый». Какое же искусство считается «образцовым», а какое нет?
Давайте посмотрим на изображения куроса (юноши) и коры (девушки). Это древнегреческие скульптуры периода архаики (древности). Так древние греки изображали людей в VII веке до новой эры.
Курос и кора. VII в. до н.э.
Сравним куроса и кору с мужским и женским скульптурными портретами работы древнегреческого скульптора Поликлета. Это уже и есть так называемый «период классики» – V век до новой эры. Сравните их с архаическими изображениями!
Древнегреческие скульптуры "классического периода", V в. до н.э.
Сравнили? А теперь посмотрим на два ещё более поздних скульптурных портрета классической эпохи. Сравните их с работами Поликлета! Что меняется?
Архаические портреты вообще мало похожи на живых людей, а у Поликтета весьма похожи! Но, если сравнивать Поликтета с более поздними портретами, то видно, что поздние натуралистичнее, как-то живее, что ли… Говоря научным языком, в них меньше условности.
Скульптурные портреты позднеклассического стиля
Поликтет словно изображает «людей вообще» – красивых, образцовых, но вместе с тем чуточку условных, обобщённых людей. А более поздние портреты максимально приближены к живой натуре, индивидуальны.
А теперь давайте посмотрим на работы современных скульпторов… Что мы видим?
Современные скульптуры
Снова больше условности! Это уже больше на архаичных куроса и кору похоже, чем на живых людей!
Вот где-то между древним и современным искусством, «в золотой середине», и находится то искусство, которое принято называть классическим.
Классическое изображение – это такое, в котором ничего «ни убавить, ни прибавить». А в «не классическом» всегда нужно что-то домысливать (добавлять) или, наоборот, хочется убрать что-то мешающее, даже раздражающее…
Но следует помнить, что у разных эпох были свои классики и свои представления о классическом. Об этом мы будем рассказывать в следующих выпусках. Следующая статья будет посвящена Эпохе Возрождения.
При словах «теория хаоса» многие вспоминают математика из фильма «Парк Юрского периода». Тот пытался объяснить смысл теории хаоса с помощью капли воды, скатывающейся по большому или указательному пальцу.
Кадр из кинофильма "Парк Юрского периода"
Последовавшие затем в фильме события заставили многих думать, что теория хаоса – это что-то вроде Закона Мерфи: если неприятность может случиться, то она случается. Это неправильно. Математик в фильме говорил о другом. Почему случается неприятность? Потому что всё предусмотреть невозможно.
Вот это в целом правильно и совершенно понятно. Непонятно только, для чего же тут понадобилась целая теория? Вот это мы и попробуем объяснить.
Неудача Пифагора
В Древней Греции хаосом называлось первоначальное состояние вселенной – когда не существовало ни света, ни тьмы, ни жизни, ни правил и законов. А сотворение мира с точки зрения древних греков представляло собой переход от хаоса (беспорядка) к космосу (порядку).
Одним из образцов идеального порядка, полного «космоса», для древних греков была математика. Пифагор создал целую философскую систему, в которой главное место занимали «божественные числа». «В математике, – говорил Пифагор, – нет места хаосу, то есть случайности и беззаконию. А значит, люди должны жить по законам математики».
Учение Пифагора стало настолько популярным, что он и его ученики даже захватили власть в городе Кротоне. Но... простым горожанам совсем не понравилось, когда их «оцифровали». Произошло народное восстание – и пифагорейцев изгнали из города.
Но понятие математически правильного, предсказуемого порядка прижилось. Периодически людям начинает казаться, что можно создать социальную систему, в которой все «неопределённые» и «расплывчатые» морально-нравственные и культурные нормы будут заменены строгими законами и алгоритмами. Очередной всплеск таких представлений мы переживаем сегодня.
Если есть законы, которым подчиняются все явления природы, то должны быть законы, которым беспрекословно должны подчиняться все люди. Так же мы с вами рассуждаем, правда?
Теория Лапласа
Во времена позднего Средневековья начался расцвет механики. Мастера того времени научились создавать удивительные (даже по нашим меркам) механические диковины.
Это были и часы, которые могли предсказывать астрономические явления, например, фазы Луны или затмения Солнца. Это были и разнообразные механические куклы – например, известно описание фигурки мальчика, который прекрасным почерком писал текст на бумаге.
Механика с её сложной системой приводных колёс, рычагов, шестерёнок, пружин и маятников показалась людям настоящим образцом того самого «порядка», которому подчиняется Вселенная.
Своё математическое описание механика получила в основном благодаря работам французского учёного Лапласа. Именно он начал любое явление рассматривать в качестве динамической системы, то есть системы, свойства (параметры) которой изменяются во времени. Для каждого элемента такой системы (например, отдельной шестерёнки в механизме часов) можно указать некое правило, формулу, которая называется законом движения.
Достигнутые результаты привели Лапласа в такой восторг, что он заявил следующее (читаем внимательно):
«Если для некоей динамической системы известны состояние в момент времени t и закон движения, мы сможем безукоризненно точно сказать, в каком состоянии эта система была в прошлом и в каком состоянии она будет находиться в будущем».
Учёный даже описал мифическое существо, которое знает всё прошлое и всё будущее всего существующего во Вселенной – позднее это существо стали называть «демоном Лапласа».
Итак, согласно Лапласу, любая динамическая система ведёт себя, как механические часы. Будь жив Пифагор, он, наверное, очень бы порадовался – ведь теоретическая механика Лапласа была идеальным воплощением пифагоровского математически правильного «космоса». Всё на своих местах, всё раз и навсегда предопределено, всё по строгому расписанию, никаких неожиданностей, никакого хаоса!
Что-то не то...
Надо сказать, что и во времена Лапласа многие учёные к «механической» концепции отнеслись отрицательно. «Ну хорошо, – говорили они, – с механическими машинами это справедливо. А можно ли с помощью вашей теории предсказывать погоду? А как насчёт человеческих отношений – дружбы, вражды?»
Теория Лапласа испытывала проблемы не только с прогнозом погоды или человеческими отношениями. Дело в том, что в математике того времени тоже были сделаны важные открытия, которые концепциям Лапласа ну никак не хотели подчиняться!
Случайные процессы
Первым таким открытием стало создание теории вероятностей – области математики, изучающей случайные процессы. Например, бросание игральных кубиков. Сколько на следующем броске выпадет очков? Можно ли это предсказать с помощью математики? Нет, нельзя.
Хуже того – в дальнейшем оказалось, что математически невозможно вообще описать такое понятие, как случайное число. Любой из нас с лёгкостью придумает какое-нибудь случайное число – а вот написать математическую формулу, которая это случайное число описывает, оказалось невозможно в принципе!
Вторым открытием стал закон всемирного тяготения Ньютона. Довольно простая формула, её в школе в седьмом классе проходят. Но дело в том, что эта формула описывает поведение динамической системы, состоящей из двух тел – например, Земли и Луны. Или Земли и Солнца. Но на самом-то деле таких тел намного больше! Земля притягивает Луну, а Солнце притягивает Землю – но ведь Луну Солнце тоже притягивает, правда? А когда математики попробовали с помощью формулы Ньютона решить задачу для трёх тел, они столкнулись с невероятными сложностями!
Точное общее решение этой задачи не найдено до сих пор.
Теория хаоса
Внимательно изучая эти и другие задачи, к концу XIX века учёные пришли к выводу, что большинство динамических систем в нашей вселенной ведут себя совсем не так, как это описывал Лаплас. Даже если эти системы описываются с помощью простых и точных формул, в итоге их поведение оказывается непредсказуемым – хаотическим!
Так на свет появилась математическая теория хаоса. Или, если говорить правильнее, детерминированного хаоса.
Возьмём, например, движение Луны вокруг Земли. С одной стороны, оно описывается простой формулой – законом всемирного тяготения Ньютона. Луна вращается вокруг Земли по орбите. Но при этом рассчитать точное положение Луны на орбите не получается, хоть ты тресни!
Современные астрономы используют для расчётов особые, очень сложные формулы (в математике такие формулы называют рядами), причём числовые параметры этих формул постоянно уточняются и исправляются на основании реальных наблюдений в телескоп.
Другой пример – погода. С одной стороны, погода на нашей планете – это всего лишь перемещения масс воздуха. И параметров тут всего три – это температура, скорость и влажность. И описываются эти параметры довольно простыми математическими формулами. Только простота формул в итоге ничего не даёт, – как известно, даже прогноз погоды на завтра может ошибаться. А уж предсказать более-менее точно погоду в следующем месяце вам не возьмётся ни один метеоролог. Так что никакого расписания, никакой предопределённости, сплошные сюрпризы и самый натуральный хаос!
Линейность и нелинейность
Почему такая динамическая система, как часы, ведёт себя «по Лапласу», то есть идеально правильно, а погода – нет?
Как показали исследования, хаотической может быть только нелинейная система.
Две сцеплённые между собой одинаковые шестерёнки – это классический пример линейной системы: если мы начнём быстрее вращать одну шестерёнку, автоматически начнёт вращаться быстрее и другая. Причём во сколько раз быстрее мы будем вращать первую, в точности во столько же раз ускорится вторая. Такая система линейна, а потому хаосом быть не может.
А вот в случае с погодой параметры независимы друг от друга: если, скажем, мы увеличим скорость ветра в два раза, ведь его температура при этом не станет в два раза выше, правда?
Возьмём ещё один пример. Допустим, рабочий делает на станке детали и получает деньги за каждую изготовленную деталь. Если он начнёт работать в два раза быстрее, то сделает в два раза больше деталей и получит в два раза больше денег. Такая система линейна, в ней зарплата линейно зависит от скорости работы.
Но заменим теперь рабочего на, скажем, телеведущего. Допустим, телеведущий решил говорить во время выпусков новостей в два раза быстрее – как вы считаете, прибавят ему за это зарплату в два раза? Данная система нелинейна.
Эфффект бабочки
Другой важный вывод, к которому пришла теория хаоса, следующий. При малом расхождении начальных условий динамической системы разброс её конечных состояний может быть очень большим. Что это означает?
Если взять механические часы и повернуть чуть-чуть одну шестерёнку, то вторая, сцеплённая с ней, тоже повернётся чуть-чуть. А вот в хаотических системах совсем не так!
Например, лежит снег на склоне горы. Одна снежинка чуть-чуть подвинула две другие, эти две немножко подвинули соседние – и через 5 минут по склону несётся с огромной скоростью чудовищная лавина снега!
Это явление часто называют эффектом бабочки. Объясняя студентам теорию хаоса, американский учёный Лоренц приводил пример, когда «взмах крыла бабочки где-то над Америкой может в результате сложной цепи событий привести к урагану над Тихим океаном».
Время Ляпунова
Третий важный вывод теории хаоса – ограниченность возможности предсказания состояния системы в будущем. Для каждой хаотической системы существует некое время, называемое временем Ляпунова, за пределами которого её поведение становится полностью непредсказуемым.
Александр Михайлович Ляпунов (1857–1918)
Что это означает? С помощью формул и расчётов мы можем в какой-то степени предсказать поведение динамической системы – но только до определённого момента! Скажем, местный гидрометцентр может дать надёжный прогноз погоды на ближайшие 2 часа. Вполне приличный прогноз – на ближайшие 6 часов. Более-менее приемлемый – на завтра. Однако уже прогноз погоды на 3–4 дня вперёд достоверным не будет!
Другой пример – наша Солнечная система. С одной стороны, она управляется по законам небесной механики, и учёные могут очень точно предсказать движение планет, спутников и других небесных тел. Да, это так – но со временем эта точность падает! Для Солнечной системы время Ляпунова составляет 50 миллионов лет – а это значит, что предсказать положение планет и их спутников на 50 миллионов лет вперёд (пускай даже хоть сколько-нибудь приблизительно!) мы не в состоянии. Вообще! Никак!
Так что никакого всезнающего «демона Лапласа» (или «искусственного интеллекта», как сейчас это принято называть) быть не может. Причём не может быть именно согласно науке, на которую так любят ссылаться сторонники «тотальной цифровой трансформации».
Это была статья из журнала «Лучик». Познакомиться с журналом можно по ссылке. В мартовском номере журнала читайте:
Зачем человеку подвиг? О Сократе, Сикстинской Мадонне и Александре Матросове
Русские дети. Читаем стихотворение Некрасова и думаем
Почему над мудрецами, ощупывающими слона, смеются глупцы?
Начнём с анекдота. Приходит как-то Петька к Василий Иванычу весь грязный с ног до головы. Василий Иваныч спрашивает: – Ты где был? Петька отвечает: – В школу ходил! – А почему грязный такой? – Велели квадратный корень отыскать. Весь огород перерыл, ни одного квадратного не попалось!
Анекдот, конечно детский, но давайте подумаем: а собственно говоря почему именно корень? Да ещё и квадратный?
Может, это только по-русски так? А на другом языке как-нибудь иначе? Та нет же – и по-английски «square root» – «квадратный корень». И по-арабски «джызр тарбии» – снова квадратный и снова корень. Даже по-японски «хейхокон» – опять тот же «квадратный корень»...
А ещё у этого «квадратного корня» непонятный значок – то ли галочка, то ли птичка. Ни грамма не квадратная, и на корень тоже непохожая! Где же логика?
Начнём со значка. Эта странная «птичка» – на самом деле сильно «переделанная» латинская буква «r». Потому что по-латыни «корень» – «радикс», «radix». (Между прочим, от того же корня происходят наши слова «редиска» и «редька».)
В XVI веке математики для обозначения корня так и писали, буквами:
Но это было сложно и долго. Математикам надоело, и они стали писать сокращённо:
Ну а потом буква «r» превратилась в привычную школьникам «птичку с чёрточкой»:
Осталось понять, почему же всё-таки «корень». И почему квадратный. Для этого из XVI века перенесёмся в совсем-совсем далёкое прошлое, примерно на две тысячи лет назад, во времена выдающегося древнегреческого математика Пифагора.
В те времена цифр – то есть специальных значков для записи чисел, как наши 1, 2, 3 и так далее – ещё не придумали. А для того, чтобы производить действия с числами – скажем, считать деньги, имущество или что-то ещё – использовали «счётные бобы» или «счётные камушки». Видишь у человека на поясе мешочек со счётными бобами? Сразу видно – математик идёт!
Отсчитывая числа с помощью бобов или камешков, люди очень быстро сообразили, что некоторые числа – особенные. Потому что из них можно выкладывать красивые фигурки. Скажем, число 4. Из четырёх камушков получается красивая фигурка – квадрат.
Или число 9 – из них тоже можно выложить красивый правильный квадрат:
Или число 16 – тоже получается очень красивый квадрат!
Такие числа последователи Пифагора – пифагорейцы – стали называть «фигурными» или «квадратными».
Квадратных чисел было не так много, поэтому Пифагорейцы их очень почитали. Пифагор и его ученики вообще считали, что числа – это созданные богами «зёрна истины», и поклонялись числам, как богам.
Ф.А. Бронников. "Пифагорейцы поют гимн восходящему солнцу"
Наблюдая за фигурными числами, пифагорейцы выяснили, что у каждого квадратного числа есть «корень» – то есть ряд камешков, расположенный в самом низу. У квадратного числа 4 «корнем» будет 2. У квадратного числа 9 корнем будет 3. У числа 16 корнем будет 4:
Вот отсюда-то и возникло название «корень квадрата», «квадратный корень» – по преданию, его придумал сам Пифагор. Квадратные числа пифагорейцы связывали со стихией земли.
А бывают ли другие фигурные числа, не квадратные? Конечно же бывают. Например, число 12 пифагорейцы называли «прямоугольным». Почему? Потому что из 12 камешков не получится сложить правильный квадрат, а вот прямоугольник – можно!
Причём аж целых четыре разных варианта – прямоугольник 6 на 2, прямоугольник 4 на 3, прямоугольник 3 на 4 и прямоугольник 2 на 6. В причудливой «математической религии» Пифагора прямоугольные числа «заведовали» стихией воды.
Стихией огня в этой системе управляли – уже догадались? – правильно, треугольные числа. Скажем, мы можем сложить правильный треугольник из 3 камушков. А ещё – из 6 камушков. А ещё – из 10 камушков. И так далее.
«Десятка» была самым священным, самым почитаемым числом среди учеников Пифагора, а сложенный из 10 камушков треугольник («тетраксис») был одним из «тайных знаков» пифагорейцев, ему приписывались самые разные магические свойства. С древних времён но нас дошла даже молитва Пифагорейцев:
Благослови нас, о божественная Тетраксис, Та, от которой рождены боги и люди, Начинающаяся с пречистой монады [единицы] Завершающаяся священной четвёркой Рождающая матерь всего живущего Всеохватывающая, изначальная, безупречная Священная десятка, предводительница всего!
Вам это может показаться редкостным бредом, но пифагорейцы относились к этому очень даже всерьёз. Эту молитву нужно было читать каждый день, а сам Пифагор для учеников был полубогом, великим пророком, «Прометеем математики», «принёсшим Тетраксис людям».
Но вернёмся от молитв к числам. Всё те же самые неутомимые ученики Пифагора тонко подметили, что все треугольные числа можно получить, если складывать все натуральные числа, идущие друг за другом, смотрите:
Первое треугольное число 3 равно сумме чисел 1 + 2
Второе треугольное число 6 равно сумме чисел 1 + 2 + 3
Третье треугольное число 10 равно сумме чисел 1 + 2 + 3 + 4
Четвёртое треугольное число 15 равно сумме чисел 1 + 2 + 3 + 4 + 5...
и так далее!
Наконец, были и четвёртые фигурные числа, которым соответствовала стихия воздуха. Это были удивительные числа, из которых нельзя сложить никакую фигуру, кроме «палочки». Скажем, число 11 или число 13. Попробуйте сложить из такого количества счётных камешков квадрат. Или треугольник. Или прямоугольник. Ничегошеньки не выйдет! Только «палочка».
В современной математике такие числа называют «простыми», или «неразложимыми на простые сомножители».
Вы, вероятно, знаете, что в магической системе обязательно должен быть загадочный «пятый элемент», «квинтэссенция», «божественный эфир». Есть огонь, воздух, земля, вода – а что насчёт пятого элемента?
«Пятым элементом» стали (неудивительно, правда?) пятиугольные числа. Первое пятиугольное число («пентаграмма») – это, само собой, 5. Второе пятиугольное число – 12. Третье пятиугольное число – 22.
Древнегреческие математики даже смогли открыть, что каждое следующее пятиугольное число состоит из «корня» и трёх треугольных чисел! Скажем, четвёртое пятиугольное число «конструируется» состоит из числа 5 («корня») и трёх треугольных чисел предыдущего порядка (то есть 4 – 1 = 3, а «третье треугольное число» у нас, как мы помним, 10). Получаем 3 х 10 + 5 = 35.
Для современного человека такие свойства – упражнение ума, развитие воображения, школьная задачка. Но Пифагорейцам всё это казалось наполненным страшно глубоким смыслом и магическими свойствами. А что делать? Всё-таки две с половиной тысячи лет назад дело было. Магия исчезла, а вот «квадратный корень» остался...
Это была статья из журнала «Лучик». Познакомиться с журналом можно по ссылке. В мартовском номере:
Зачем человеку подвиг? О Сикстинской Мадонне и Александре Матросове
Мойдодыр, или Почему мальчиков одевали в платья
Русские дети. Читаем стихотворение Некрасова и думаем
Почему над мудрецами, ощупывающими слона, смеются глупцы?
Подписаться на мартовский номер «Лучика» можно до 20 февраля
Утром, прежде допить чай, загляните в свою чашку. Если за окном солнечно, и свет в помещении достаточно яркий, вы обязательно увидите на дне чашки вот такую световую линию:
Напоминает опрокинутую цифру "три". Или яблоко. Или сердце. Или... ну, общем, не важно, что напоминает.
Эта линия (а говоря математическим языком – "кривая") называется каустика. Стоит обратить внимание на неё один раз, и она начнёт преследовать вас повсюду. Вот она, например, в ведре с водой:
В переводе с греческого "каустикос" означает "жгучий". Как возникает это явление и почему так называется?
Допустим, источник света – это ваше окно. Тогда свет – это пучок параллельных лучей. Каждый луч отражается от стенки чашки по закону геометрической оптики – «Угол падения равен углу отражения». Вот так:
Каждый следующий луч отражается от стенки чашки под немного другим углом (ведь эта стенка искривлённая). Отражённые от стенки лучи пересекаются строго определённым образом. Из точек их пересечения и образуется каустика! Более светлая, потому что свет в точках пересечения лучей концентрированный! Вот как это происходит:
Именно за каустиками мы наблюдаем, когда любуемся игрой света на дне бассейна или на борту корабля:
Каустики изучает один из самых молодых разделов математики, у которого очень интригующее название – "теория катастроф". Ну, это на Западе, а у нас – «особенности дифференцируемых отображений». Что это такое?
Есть старинная восточная притча. Жил да был жадный торговец. Поехал он на базар купить соломы и взял с собой одного-единственного верблюда. Купил – и давай грузить тюки с соломой верблюду на спину! Грузит, грузит, и всё ему мало. «Смотри, – говорят ему, – как бы верблюд твой не умер от такой тяжести, имей совесть!» – «Ничего, – отвечает жадина, – выдержит!» И продолжает грузить. Верблюд уже еле-еле на ногах стоит, а купец только руки потирает, подсчитывает будущие барыши. Наконец, тронулся верблюд с места, а жадина не выдержал: «Ну ещё чуть-чуть!» – и положил на спину верблюду всего-то одну соломинку. Ноги у верблюда подкосились, он упал и умер. Остался купец ни с чем – не на себе же ему солому везти? А с тех пор люди стали говорить: «Одна соломинка может сломать спину верблюду».
Обычная математика любит изучать такие процессы, которые принято называть «непрерывными», «гладкими». Это означает, что маленькие изменения управляющих параметров приводят к таким же маленьким изменениям итоговых характеристик. Переводим на русский. Если нажать на педаль газа в автомобиле несильно, совсем чуть-чуть, то автомобиль ускорится тоже совсем немножечко.
Движущийся автомобиль – это система.
Педаль – это управляющий параметр.
Нажатие педали – изменение управляющего параметра.
Ускорение автомобиля – итоговая характеристика.
Теория катастроф же изучает совершенно другое – так называемые «особые точки», то есть точки, в которых самые малые изменения входных параметров приводят к резкому и безвозвратному изменению характеристик всей системы. Нажимаешь на педаль «ещё чуть-чуть», а автомобиль взлетает…
Возьмём, например, нашу историю про купца и верблюда. С точки зрения математики, в этой сказке есть одна система (верблюд + груз соломы), есть управляющий параметр (вес соломы, то есть количество соломинок, уложенных верблюду на спину) и есть итоговая характеристика (довезёт верблюд груз или нет).
Допустим, мы начинаем добавлять по одной соломинке (ведь одна соломинка практически ничего не весит, правда?). Тысяча соломинок, десять тысяч, двадцать... Верблюду всё тяжелее, но он стоит на ногах, он способен идти, хоть и медленно... И вдруг в какой-то момент мы добавляем всего лишь ещё одну соломинку – и верблюд падает замертво! Характеристики нашей системы кардинально изменились! И даже если мы начнём разгружать беднягу-верблюда, – ни ему, ни нам это не поможет. Вернуть всё назад уже не выйдет! Вот эта самая «точка невозврата», «точка последней соломинки» и называется в математике вырожденнойособой точкой или «точкой катастрофы».
Точка катастрофы
В природе существует множество процессов, которые можно рассматривать как математические катастрофы. Возьмите старую резинку для волос. Она сделана из упругого материала, который (согласно школьной физике) подчиняется простому закону (закону Гука): чем больше мы удлиняем резинку, тем сильнее она нам «сопротивляется», стремится вернуть себе исходную форму. Но что произойдёт, если мы – пускай даже очень медленно и осторожно! – станем удлинять её всё дальше и дальше?
В определённый момент её структура изменится, её упругие характеристики исчезнут – и даже если мы отпустим её, исходную форму она уже не примет, а просто повиснет на руках. Всё, резинка испорчена, «растянулась». Ну а если мы потянем её ещё дальше – она и вовсе разорвётся, правильно? Перед нами снова математическая катастрофа: совсем небольшое дополнительное усилие (растягивание резинки) в какой-то момент резко и необратимо меняет свойства объекта.
Само собой, математическая катастрофа может стать причиной самой настоящей катастрофы. Представьте себе летящий самолёт. Его крыло создаёт подъемную силу, которая не даёт самолёту упасть. Однако эта подъемная сила зависит от скорости самолёта. Если пилот начнёт сбрасывать скорость, лететь всё медленнее и медленнее, то в какой-то момент (вот она, «точка катастрофы»!) подъемная сила вдруг резко уменьшится – и самолёт внезапно теряет управляемость, «сваливается в штопор», начинает бесконтрольно падать и в итоге разбивается об землю. Хорошо, если пилот успеет выпрыгнуть с парашютом! Обратите внимание: если самолёт «сваливается», то увеличение скорости само по себе не сможет вернуть ему управляемость, просто так «отыграть назад» у пилота не выйдет.
Бифуркация
Поведение исследуемой системы вблизи точки катастрофы математики часто называют «бифуркацией», то есть «двойной вилкой». Допустим, если наш самолёт летит на предельно малой скорости («скорости сваливания»), в каждый момент у нас образуется «вилка» – он с равной вероятностью (как любят говорить, «пятьдесят на пятьдесят») может или продолжать полёт, или потерять управляемость и свалиться в штопор. В точности такая же бифуркация присутствует и в опыте с резинкой («растянется – не растянется»), и в сказке про верблюда («выдержит – не выдержит»).
Катастрофы социальные и психологические
Где ещё можно использовать методы теории катастроф? Ну, например, при исследовании поведения животных и даже нас, людей. Как это выглядит? Вообразите ситуацию: учительница ведёт в парк на экскурсию первоклассников. Первоклассники, как водится, ведут себя не очень примерно – то один отбежит в сторону, то другой начнёт задираться, то третий дёрнет девочку за косичку... Учительница сдержанно, с улыбкой пытается наладить дисциплину: «Петров, прекрати... Сидоров, вернись в строй... Алёша, возьми за руку товарища и не хулигань». Так продолжается пять минут, десять... И вдруг в какой-то момент (вот она, «критическая точка», «точка катастрофы», узнали?) учительница срывается на крик: «А ну все встали на места! Все замолчали!» Дети тут же притихают и обиженно шепчут – «А что случилось? Да мы же ничего такого не делали...»
Непедагогично, но ведь знакомо, правда? Довели бедную Мариванну до белого каления, негодники. А ведь такие ситуации могут возникать и среди взрослых, и не только в школе – но и на производстве, в армии, в научной экспедиции, и результаты могут быть очень неприятными.
Катастрофы математические
Давайте проверим, насколько хорошо мы поняли, какая разница между математическими и «настоящими» катастрофами.
Скажем, падает на Землю из космоса метеорит – и взрывается. Катастрофа? Ещё какая, спросите у динозавров. Однако является ли это явление математической катастрофой? Нет. Когда метеорит врезался в землю, его скорость (управляющий параметр) падает резко, скачком – и состояние его соответственно меняется скачком (происходит взрыв). Назвать это «катастрофой» в математическом смысле будет некорректно.
А теперь рассмотрим выражение «последняя капля» (та самая последняя капля, которая «переполняет чашу терпения»). Возьмём стакан и наполним его до краёв водой. А потом возьмём пипетку и будем добавлять в полный стакан по капельке... В конце концов вода разольётся, причём на стол прольётся не одна капля воды, а больше!
С обыкновенной точки зрения эта ситуация катастрофой не является – а вот с точки зрения математики перед нами типичная математическая катастрофа!
Рассказывал журнал "Лучик". Познакомиться с журналом можно по этой ссылке. Будем рады, если он вам понравится!
Помню была у меня такая замечательная книженция в детстве. Время, расстояния, переезды и тд потерялась она. В интернете не найти, а то что найти не приобрести.
Кроме втыкания иглы в канву и прочие ткани (мягкие, не живые), я еще и книжный задрот. Читаю много и хорошее. Стараюсь читать хорошее, по крайней мере. Столько еще не прочитано... Но иногда в книжных магазинах натыкаешься на такое, что заставляет немного пересмотреть свои взгляды на жизнь, творчество и многое другое.
Яблоня, не томи
Почему пингвины не летают. И об этом написали целую книгу, не особо-то тонкую в детском формате. Мдя.
Грузовики, футбол, динозавры...Не ешьте это, дети, остановитесь
ноу комментс, как говорится.
несмотря на то, что это игра, а не книжка, она занимает достойное место в этой подборке.
А в этой игре превосходно всё. Играл бы и играл, но надо котлы проверить.
Если пост понравится, запилю еще. По книжным ходить я люблю)