Если я правильно понял, вы насмехаетесь: раз оппоненту не нравится абстрактность школьных косинусов, то пусть, мол, в школах учат правильно есть. Так вот, в школах и так учат правильно есть. Вы этого, возможно, не застали: такое рассказывалось в тетрадках "Ознакомление с окружающим миром" с середины 1980-х.
1. Из того, что вам платят большие тысячи за натаскивание на косинусы, не следует, что они реально нужны вашим ученикам. Просто мамочкам кажется, что так будет лучше. Может, они правы, а может и нет. Другие мамочки немало платят за шарлатанство типа "ментальной арифметики", еще была Школа актерского мастерства Крачковской.
2. Из того, что косинусы понадобятся ученикам для сдачи экзаменов, не следует, что они нужны в школьной программе. В США не дрессируют на формулы типа суммы синусов или косинусы тройного угла, а в России обычно не проходят секансов, но и из российских, и из американских школ выходят студенты, разбирающиеся в преобразованиях Фурье. И ни тем, ни другим ни разу не пригодятся косинусы тройных углов и секансы.
Если вы заняли второе место на всесоюзной олимпиаде и работаете репетитором, это еще не значит, что вы разбираетесь, как преподавать. Например, одновременно с вами, но гораздо лучше вас на олимпиаде выступил Дима Звонкин - сын профессора А. К. Звонкина, автора книги "Малыши и математика". В книге рассказывается, с какими трудностями сталкивался старший Звонкин, какие ошибки он совершал в том числе из-за того, что неправильно понимал, что нужно преподавать, а что не нужно.
Я хожу в математический кружок, организованный чемпионом всесоюзной по информатике. В числе вспомогательных преподавателей - один золотой медалист ММО, один участник межнара по физике и впоследствии тренер российской сборной. Оба не считают ни себя хорошими преподавателями, ни навыки сво - полезными. У обоих собственные дети в математике слабы, и хотя отцы водят их в кружок, по математике их не натаскивают, а физику вообще не проходят. И это не бывшие победители, утратившие интерес к своей науке, а преподаватели маткружка, бесплатно уделяющие часов пять в неделю, чтобы помочь интересующимся школьникам. Платить тысячи рублей репетитору за косинусы они не желают и сами этого тоже не преподают.
Я вел семестровый курс тригонометрии, около 20 занятий по полтора астрономических часа. Не кружок, а платное натаскивание к экзаменам. Там и суммы синусов были, и тройные и половинные углы.
Я вдруг понял, что не могу ответить ученикам на вопрос: "На хрена это нужно?" Как кандидат физ-мат наук, постдок в области статистической физики, программист, занимавшийся численными методами, анализом данных и машинным обучением, преподаватель математики и физики, я убежден, что российская программа по тригонометрии - атавизм, оставшийся с XIX века, когда инженерам нужно было быстро приближенно решать треугольники без калькулятора. Программу можно было бы сократить вдвое. Этого достаточно для любой научной и инженерной области: вычгема и машграфа, ЦОС, картографии... А если пойти дальше и урезать матан (в мире с вольфрам-альфой приёмы интегрирования превращаются в "игру в бисер"), то пропадает и нужда в универсальной тригонометрической подстановке, прощайте, триг. функции половинных углов.
Всё, от всей тригонометрии остаётся только понимание, что такое синус, косинус и тангенс, основное тождество, формулы приведения, синус-косинус суммы-разности и понимание того, что сумма синусоид одного периода с разными фазами и амплитудами есть синусоида с тем же периодом. Вся полезная тригонометрия может быть дана за три-четыре урока. Большинство профессоров математики добились успеха и двигают науку, не зная, чему равно произведение косинусов.