А давайте посмотрим сначала на физический смысл этих "бесконечно малых".
Это четыре точки [в пространстве Минковского :), не спрашивайте меня, откуда я это знаю].
Это результат прямых измерений наблюдателями, неподвижными в подвижной системе k.
В момент времени t'1 они фиксируют положение летящей шашки x'1, в следующий момент (по часам k) t'2 они фиксируют положение летящей шашки x'2.
Каждая из этих четырёх точек системы k имеет отражение в пространство неподвижной системы К, это прямой смысл формул Лоренца, их кармическое назначение.
И уже только там, получив две пары точек, возможно будет деление одного (расстояния в неподвижной системе) на другое (время в неподвижной системе) можно говорить о получении скорости летящей шашки. Хотите - делите "бесконечно малые", хотите, какие хотите. Для инерциальных систем метод Изи нашего Ньютона не нужен. А вот то, что вы тут занимаетесь "бесконечно малыми", наводит на вполне обоснованные подозрения, что вы просто занимаетесь подгоном "вывода" под очередную первую придуманную Эйнштейнами формулу.
nota bene: стоит, наверное, посмотреть, насколько разойдутся полученное вот таким способом значение скорости с той скоростью, которое получилось бы непосредственным наблюдением шашечки в неподвижной системе. Кстати, да. Верификацию с фальсификацией никто не отменял.
Далее. Преобразование из подвижной в неподвижную обязано учитывать "Лоренцево сокращение", как пространства, так и времени. Интервалы "там" короче, чем "здесь". Иначе это какое-то другое другое преобразование. Это значит, что для функции преобразования скорости мы должны учитывать, что измерение скорости третьего объекта (нашей летящей шашки) в подвижной системе производится в точках, имеющих отличные от их неподвижных образов числовые значения. Это бы не беда, если скорость шашки постоянна. Но дело все в том, что преобразования времени и пространственных координат имеют разные формулы. Их отношение - не линейно. Что, собственно, и было показано здесь в "СТО-5". Нельзя вот так просто взять и поделить dX на dt - их отношение меняется с масштабом. Хоть все скорости и постоянны. Просто формулы разные у Лоренца для пространства и для времени, это понятно? (Привет Минковскому, кстати).
Так, извините, отвлекся, что тут у нас?
Ага, производные... О частных производных что-нибудь слышали? А такая вещь, как "Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных"?
Если слышали, то всё уже поняли, должен появиться в уравнении член, которого нет ни у Лансберга, ни в каком-либо еще учебнике. Полный дифференциал, если вы понимаете, о чём я. Нет, не понимаете? Дело в том, что когда дифференцируем функцию с двумя переменными, в уравнении появляется довесочек, который у Лансберга как-то не появляется. А с другой-то стороны, Эйнштейн сам публично и неоднократно говорил, как плохо он в математику.
Но ведь у нас скорость шашки постоянна! Через неё мы выразим и t' через x', и x' через t' !
Почему же вы этого не сделали, перед тем как что-то делить?
Давайте сделаем это прямо сейчас.
Ой-ой-ой! А что случилось? Давайте делить уже! Получим, получим по Лоренцу скорость!
Поделили? И как получилось что-нибудь? Нет... Ну, тогда я не зна-а-аю... Попробуйте еще раз?
В общем, как это всё сделать правильно, вряд ли нам кто-то когда-нибудь расскажет.
Потому что сами преобразования Лоренца - туфта. И постоянство скорости света - туфта.
Скорость света в решении уравнений Максвелла совпала с измеренной скоростью поперечной волны. Но это - только одно из возможных решений. О продольных ЭМ-волнах что-нибудь слышали?
Тогда оставайтесь с нами, будет весело.