Квадратный трехчлен выглядит именно так и никак по другому
Продолжение поста «Аксиоматика множества призрачных чисел»
Место множества призрачных чисел относительно других множеств
Короче, для начала отметим, что для множества J 6-я аксиома, которая ∀a∈J\{0}: 0*a=0 избыточна. То что в ямайкамурровых числах 0 умножить на любой не 0 равно 0 выводится как следствие. Ну и ещё @alice9tails утверждает, что ∅ вообще по факту не операция. Ну я тоже подумал, что и фиг с ней. Так что в сухом остатке мы имеем множество J которое отличается от R только в следующих аксиомах (чтобы не переписывать всю эту аксиоматическую портянку, покажу только отличающиеся):
∀a,b∈J\{0}: a*b=b*a_________________∀a,b∈R: a*b=b*a
∀a∈J b,c∈J∖{0}: (a*b)*c=a*(b*c)_____∀a,b,c∈R: (a*b)*c=a*(b*c)
∀a,b∈J c∈J∖{0}: (a+b)*c=a*c+b*c____∀a,b,c∈R: (a+b)*c=a*c+b*c
∀a,b,c∈J c>0: (a⩽b⇒a*c⩽b*c)_______∀a,b,c∈J, c⩾0: (a⩽b⇒a*c⩽b*c)
@alice9tails натолкнула меня подумать, каково же место призрачных чисел в структуре математики. Пришлось смотреть теории множеств, коих, оказывается, в мире есть, и не одна. Собственно, я не особо нашёл что-то, что могло бы быстро и легко помочь с этим. И, скорее всего, именно что не нашёл, а не то, что его там нет. Я просто объясню суть терминов, которые буду использовать, чтобы было понятно. Но имейте в виду, что это всё, скорее всего, просто мой велосипед от какой-то из теорий множеств.
Множество элементов А является конкретным относительно множества B, если в нём определено как минимум одно дополнительное свойство для как минимум одного элемента множества В и при этом между всеми аксиомами множеств A и B нет противоречий. Множество В в таком случае можно считать абстрактным относительно А.
Определить дополнительное свойство элемента множества В, значит ввести аксиому о получении результата операции с этим элементом, который не определён для множества В.
Покажем на примере, что множество С является конкретным относительно R:
√(-1) - не определено в R
√(-1)=i - определено в С
Очевидно, что определено дополнительное свойство в виде результата для √-1, а значит, С конкретно относительно R, ну или, что тоже самое, R абстрактно относительно C. То, что у этих множеств нет конфликтов в аксиомах, доказано и без меня.
Теперь вернёмся к нашим баранам и покажем, что R конкретно относительно J:
a*0 - не определено в J, это при том, что 0*a=0, для a≠0
a*0=0 - определено в R
J вообще было получено просто вытравливанием коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности умножения на 0 из R, так что конфликты искать не приходится.
Покажем, что G конкретно относительно J:
a*0 - не определено в J
a*0=g(-1)a - определено в G
При этом G не является R в силу того, что:
0*1/0 - не определено в R
0*1/0 = g(1)0 - определено в G
Логично тогда предположить, что G конкретно относительно R, но эти два множества имеют противоречие на уровне аксиом:
a*0=0 - в R (я знаю, что a*0=0 в R не аксиома, а следствие)
a*0=g(-1)a - в G при том, что 0=g(0)0
То есть свойства нулю из J эти множества добавляют разные.
Проще выражаясь: G конкретизирует J иначе, чем это делает R.
Я тут картиночку для наглядности запилил с иерархией этих множеств:
Вот у вас есть множество G для которого определены все его операции для всех чисел - и множество R у которого нет деления на 0. И при этом они оба идут от одного абстракта...
Я, конечно, понимаю, что человечество, тысячелетие с лишним просидевшее на R, итак прекрасно себя чувствует, но вопросик-то есть один: может ли так быть, что сегодня мы не имеем возможности описать что-либо математически только потому, что стираем информацию умножением на 0 и вообще не умеем на него делить?
Кстати, вполне возможно конкретизировать аналог множества комплексных чисел и от G. И все другие навороты, аналогичные тем, что есть для R, скорее всего, тоже.
Головоломки на Пикабу!
У нас новая игра: нужно расставлять по городу вышки связи так, чтобы у всех жителей был мобильный интернет. И это не так просто, как кажется. Справитесь — награда в профиль ваша. Ну что, попробуете?
Продолжение поста «Кто ты, воин ? )»
Когда в России стали изучать математический анализ.
Кратко повторю текст, начавший цепочку постов ( Кто ты, воин ? ) )
Будущий нобелевский лауреат профессор Тамм попал в плен махновцам:
- Я преподаю математику!
- Тогда найди мне оценку приближения ряда Маклорена первыми n-членами, – ухмыльнулся атаман.
Тамм не мог поверить своим ушам: задача относилась к довольно узкой области высшей математики. Дрожащими руками, под дулом винтовки, он сумел-таки вывести решение.
В ответном посте я написал, что это - стандартный материал первого семестра физико-математических вузов, изучается даже в некоторых школах
@GoxaXabar оставил комментарий #comment_305824939 :
Вы времена-то не путайте. Дело было в начале прошлого века
Отвечаю.
В общих чертах матанализ в объеме, изучаемом в современных вузах под таким названием, был создан в XVIII веке. Начали Ньютон и Лейбниц в XVII, основное развитие было в XVIII. Кое-что, конечно, добавили уже в XIX. В начале XX века уже появлялись упрощающие формулировки, обозначения и другие косметические изменения.
Так, речь в байке о Тамме и махновце шла о ряде Маклорена, то есть простом частном случае ряда Тейлора. Тейлор опубликовал свою работу в 1715, и он был не первым, кто пользовался этим рядом. Ряд Тейлора в целом и Маклорена в частности был обоснован еще Ньютоном в неопубликованных работах 1690 годов, а пользовались такими рядами Ньютон, Коллинз, Грегори еще около 1670. Опубликован же подробный анализ рядов Маклорена был самим Маклореном в 1740-х.
Остаточные члены в форме Лагранжа и Коши появились заметно позже: в 1797 и 1823, соответственно. Общей вид дифференциальной формы придуман не то Рошем в 1858, не то Шлемильхом примерно тогда же. Интегральный вид придуман еще Коши в 1821. Остаточный член в форме Пеано появился в 1910-х годах благодаря недавно придуманной нотации о-малого (Э. Ландау, 1909).
Форма Пеано не позволяет сделать численную оценку остаточного члена, так что Тамму из байки про махновца она бы не пригодилась. Для оценки достаточно дифференциальной формы Лагранжа, опубликованной за век до рождения Тамма.
Проходили ли всё это в дореволюционной России? В школах - нет. В 7 классе реальных училищ проходили матан, но так же поверхностно и на пальцах, как сейчас - в 10-11 классах. Киселёв, написавший учебник "Начала дифференциального и интегрального исчислений" в 1908 году, придумал своё, довольно странное и нестрогое основание матанализа. Ряда Тейлора там нет, материал в целом похож на современный для непрофильных классов, типа того, что в учебнике Колмогорова.
Тамм ходил не в реальное училище, а в гимназию, но сомневаюсь, что в гимназиях преподавали намного больше математики.
Другое дело - университеты. Курсы матанализа для студентов появились в России еще в XVIII веке. Так, уже в 1796 году Гиларовский издал учебник "Сокращение вышней математики" для учительских гимназий/семинарий. Не знаю, были ли там ряды Тейлора-Маклорена.
Почти уверен, что остаточный член был в учебнике Зернова (1842): в доступных мне сканах отсутствуют нужные страницы, так что могу лишь утверждать, что сами ряды Тейлора и Маклорена в Зернове точно были, насчет остаточного члена не гарантирую.
И совершенно точно остаточный член в форме Коши был в "Курсе анализа" Хандрикова (1887), причем почти в современной нам нотации:
В целом же в школьной и вузовской программе первых пары курсов по математике нет почти ничего, а по физике - не так много фактов и методов, неизвестных в XIX веке.
Ответ на пост «Кто ты, воин ? )»
найди мне оценку приближения ряда Маклорена первыми n-членами
Тамм не мог поверить своим ушам: задача относилась к довольно узкой области высшей математики. Дрожащими руками, под дулом винтовки, он сумел-таки вывести решение и показал его предводителю.
Студенческий фольклор:
Чей же член придется впору,
Чтобы вставить в зад Тейлору?
Оба члена хороши:
И Лагранжа, и Коши!
Оценка остаточного члена ряда Тейлора, в том числе и ряда Маклорена - стандартная программа технических вузов, обычно первый семестр матана. В некоторых физмат-школах изучается в 10-11 классе.
Даже в американской школьной программе встречается, хотя сдают этот предмет только ~120 тысяч школьников в год. Пример экзамена (здесь оценка остаточного члена названа error bound):
Аксиоматика множества призрачных чисел
Тут внезапно всплыло, что у множества действительных чисел R, на которое я так опрометчиво опирался при определении призрачных, есть очень недальновидный изъян, в виде того, что там коммутативность умножения кто-то когда-то сгоряча в аксиомы закинул, от чего потом и получилось, что умножение на 0 стало давать 0.
Так что пришлось определить своё множество чисел с преферансом и куртизанками, на которых работает призрачная алгебра. Я назвал его J или ямайкамурровы числа.
Непустое множество J называется множеством ямайкамурровых чисел, если на нём заданы операции сложения (+: J×J→J), умножения (*: J×J→J), отказа (∅: J×→J), и отношения порядка, удовлетворяющие следующим аксиомам:
∀a,b∈J: a+b=b+a.
∀a,b∈J: (a+b)+c=a+(b+c).
∃0∈J ∀a∈J: a+0=a.
∀a∈J ∃(−a)∈J: a+(−a)=0
∃1∈J ∀a∈J: a*1=a
∀a∈J\{0}: 0*a=0
∀a,b∈J\{0}: a*b=b*a
∀a∈J: a∅=0
∀a∈J b,c∈J∖{0}: (a*b)*c=a*(b*c)
∀a∈J∖{0} ∃(1/a)∈J: a*1/a=1
∀a,b∈J c∈J∖{0}: (a+b)*c=a*c+b*c
∀a,b∈J: a⩽b ∨ b⩽a
∀a,b∈J: (a⩽b ∧ b⩽a)⇒a=b
∀a,b,c∈J: (a⩽b ∧ b⩽c)⇒a⩽c
∀a,b,c∈J: (a⩽b⇒a+c⩽b+c)
∀a,b,c∈J, c>0: (a⩽b⇒a*c⩽b*c)
Пусть A и B такие непустые подмножества J, что
∀a∈A,b∈B:a⩽b. Тогда ∃c∈J ∀a∈A,b∈B:a⩽c⩽b.
Замечание. a⩽b⇔b⩾a. a⩽b при a≠b⇔a<b или b>a.
Вообще-то это по большей части копия аксиоматики действительных чисел - вся разница выделена жирным шрифтом. Имеем 2 полностью новые аксиомы и 4 старые, но с изменёнными условиями.
Аксиома 6 определяет умножение 0 на любое не равное 0 число (не наоборот).
Аксиома 8 определяет унарную операцию отказа, на тот случай, если вам надо обнулить имеющуюся информацию.
Можно заметить, что в ямайкамурровых числах не определено ни деление на 0, ни умножение на 0.
B тут в дело врывается призрачная алгебра:
Непустое множество G называется множеством призрачных чисел, если на нём заданы операции сложения (+: G×G→G), умножения (*: G×G→G), отказа (∅: G×→G), и отношения порядка, удовлетворяющие следующим аксиомам:
∀a∈J 0∈J ∃g(0)a∈G: a=g(0)a
∀a∈J 0, -1∈J: a*0=g(-1)a
∀a∈J 0,1∈J ∃(1/0)∈G: a*1/0=g(1)a
∀a,b,c∈J: g(a)g(b)с=g(a+b)c
∀a,b,c∈J: g(a)b+g(a)c=g(a)(b+c)
∀a,b,c,d∈J: g(a)b*g(c)d=g(a+c)(b*d)
∀a,b,c,d∈J: g(a)b*1/g(c)d=g(a-c)(b*1/d)
∀a∈G: a∅=0
Ну, вроде бы справился! Хотя проверять тут ещё и перепроверять.
Не очень уверен насчёт того, верно ли записал аксиому 3. Но суть её такова, что при делении числа на 0 получается призрак первого порядка со значением этого числа.
В общем, кто шарит, вы не стесняйтесь, подтягивайтесь.
Как понять призрачную алгебру, не привлекая внимания санитаров
Короче, во всей этой призрачной алгебре есть даже вполне понятный и весьма забавный смысл. Пояснять буду на картинках с комментариями.
Почему в призрачной алгебре 1*0:0=1?
Итак, есть апельсин, в количестве одна штука. Вообще-то он не апельсин, а информация в единственном экземпляре, но для простоты восприятия пусть будет апельсин:
Вот он наш апельсин. Целый.
Мы берём этот апельсин 0 раз. Как это возможно? Ну, мы не берём его на самом деле, а представляем, что мы его берём. Поскольку апельсин мы только представили, что берём, но не взяли, то у нас есть только его призрак, воображаемая копия. На языке призрачной алгебры наше действие описывается как 1*0=g(-1)1
Призрачный апельсин, то есть апельсин, взятый 0 раз.
И потом мы решаем, что неплохо бы разделить этот призрачный апельсин на 0 частей. То есть по аналогии, мы лишь представляем, что делим наш призрачный апельсин. Описывается это как g(-1)1:0. И получаем... 1 То есть 1 реальный апельсин, целый! Как же он появился, откуда взялся?
Ну, вообще-то это тот самый апельсин, который мы изначально представили, будто бы взяли, а потом представили будто бы разделили. Тот самый апельсин, который был вначале, а не возникший из ниоткуда. Можете посмотреть на первую картинку и убедиться, что он там как был, так и остался. Там и насчёт того, что он целый, примечание есть.