Как расчет доходности отличает миллионеров от новичков: разоблачаем разницу арифметической и геометрической доходности
Предисловие
Простите за пошлый заголовок, но он имеет место быть, когда привлекаешь внимание к столь важной теме, порой меняющую жизнь людей или как минимум, помогающую защититься от ошибок в финансовых вопросах.
Речь пойдет, как вы уже поняли, о разнице в подсчете действующих и планируемых результатов инвестиций. Если вам покажется, что в тексте есть какие-то сложные формулы, то не переживайте, это лишь демонстрация ручного расчета, который легко в 2024 году заменяется специальным калькулятором (дам ссылку) или приложением в смартфоне.
Тг моего проекта: https://t.me/ex_norm
Поехали
Сложный процент работает круглосуточно, помогая вашим сбережениям или инвестициям расти, переходя от простого приумножения к снежному кому из доходов. Этот основополагающий принцип финансов заключает в себе универсальность: он и защитник, и угроза вашему благополучию.
Вкладывая, например, 100 000 рублей под 10% годовых, многие новички просто складывают проценты и предполагают, что в итоге через десят лет получат 200 000 рублей. Но истина глубже: благодаря механизму компаундинга, на деле сумма составит около 259 000 рублей. Так капитал растет экспоненциально, а не линейно. Да, да не особо будоражащий пример, но вот если увеличить срок и суммы, то может получиться так как показано в конце статьи)
Игнорирование сложного процента может обернуться не только упущенной выгодой, но и усилением финансовых обязательств, а также дефляцией наличного капитала при высокой инфляции. Если, скажем, инфляция достигает 10% в год, а доходность ваших вложений ниже, вы теряете капитал, так как его покупательная ценность снижается.
Давайте разбираться.
Пример расчета доходности с игнорированием сложного процента:
Предположим, у инвестора есть сбережения в размере 100 000 рублей под 5% годовых. Новички могут предположить, что через пять лет они заработают 25% (5% умножить на 5 лет) :
Неправильный расчет дохода:
100 000 руб. (начальная сумма) + 25 000 руб. (5% от 100 000 руб. за каждый из 5 лет) = 125 000 руб.
Этот метод игнорирует важный момент: каждый год проценты также начисляются на заработанные проценты предыдущего года.
Правильный расчет с учетом сложного процента:
Чтобы увидеть реальную картину, инвестор должен применять формулу сложного процента:
A = P (1 + r/n) ^(nt)
Где:
A — будущая стоимость вложений включая проценты
P — начальный основной капитал
r — годовая номинальная процентная ставка (в десятичной форме)
n — количество периодов начисления процентов в год
t — время в годах
Правильный расчет дохода:
100 000 руб. * (1 + 0.05)^5 ≈ 127 628 руб.
Сумма через пять лет с учетом сложного процента будет равна примерно 127 628 рублей, что на 2 628 рублей больше, чем при линейном расчете.
Кстати, есть много калькуляторов, можете поискать свой, я нашел за 5 мин. адекватный, воспользуйтесь им. Вот например как это будет в калькуляторе.
100 000 руб. (начальная сумма) + мы знаем, что ежегодная доходность будет 5% и все это дело будет длиться 5 лет.
Меню калькулятора
Результат
Значение сложного процента для долгосрочных инвестиций:
Магия сложного процента особенно выражена в долгосрочной перспективе. Чем дольше деньги реинвестируются, тем больше растет их стоимость. Например, через 10 лет разница в доходности с учетом сложного процента и без составит уже не 2 628 рублей, а значительно больше.
Давайте рассмотрим пример инвестиции в размере 100 тысяч рублей с предполагаемой годовой доходностью 10% за 10 лет. Применим два подхода к расчету — арифметическую среднюю и сложный процент — чтобы продемонстрировать разницу между обоими методами.
Расчет с использованием арифметической средней (линейный расчет)
Если бы доходность была постоянной и составляла 10% каждый год, то новичок мог бы ошибочно сложить эти доходы и предположить, что за 10 лет они составят:
Суммарная доходность за 10 лет = 10% * 10 = 100%
Следовательно, инвестор рассчитывает итоговую сумму, как:
Итоговая сумма = Начальная сумма + (Начальная сумма * суммарная процентная доходность)
Итоговая сумма = 100 000 руб. + (100 000 руб. * 100%) = 200 000 руб.
Расчет сложного процента (геометрический расчет)
Правильный способ рассчитать итоговую сумму с учетом сложного процента — применить формулу сложного процента:
A = P(1 + r/n) ^(nt)
где:
A — будущая стоимость инвестиций после n лет,
P — начальная инвестиция (основной капитал) ,
r — годовая процентная ставка (в десятичном формате, 10% = 0.10),
n — количество периодов начисления процента в год (если начисление процента происходит 1 раз в год, то n = 1),
t — количество лет, на которое делаются инвестиции.
Итак, если начисление процентов происходит один раз в год, то формула упрощается до:
A = P(1 + r) ^t
Теперь рассчитаем будущую стоимость инвестиции:
A = 100 000 * (1 + 0.10)^10
A = 100 000 * (1.10)^10
A ≈ 100 000 * 2.59374
A ≈ 259 374 рублей
Сравнив два метода расчета, можно увидеть значительную разницу в результатах:
Арифметическая средняя предполагает итоговую сумму в 200 000 рублей через 10 лет, в то время как правильный расчет с использованием сложного процента показывает значительно большую сумму — 259 374 рублей.
Или аналогично примеру выше:
Результат
Но не всегда вопрос в подсчетах будущих результатов, бывает так, что мы владеем неадекватной оценкой прошлых и строим ошибочные прогнозы на будущее.
Реальный пример: как можно ошибиться в ожиданиях
Для наглядности возьмем реальные годовые доходности рынка акций РФ (включая дивиденды) с 2006 по 2015 год и рассчитаем, как бы изменилась первоначальная инвестиция в размере 100 рублей за 10 лет, учитывая эти доходности.
Доходность Индекса Московской Биржи с дивидендами
Рассчитаем линейную (арифметическая средняя) доходность:
Для расчета арифметической средней доходности сложим все годовые значения и разделим на количество лет:
Сумма процентных изменений = 73% + 17% — 61% + 127% + 29% — 11% + 11% + 8% — 1% + 32% = 225%
Арифметическая средняя доходность = 225% / 10 = 22.5% в год.
Исходя из этого, новичок мог бы ожидать, что вложив 100 рублей, через 10 лет он получит:
Итоговая сумма = Начальная сумма + (Начальная сумма * средняя доходность * количество лет)
Итоговая сумма = 100 рублей + (100 рублей * 225%) = 325 рублей
Доходность с учетом сложного процента (геометрическая средняя) :
Для расчета итоговой суммы с геометрической средней доходностью умножим начальную сумму на коэффициенты роста для каждого года:
Итоговая сумма = 100 рублей * 1.73 * 1.17 * 0.39 * 2.27 * 1.29 * 0.89 * 1.11 * 1.08 * 0.99 * 1.32 ≈ 184.50 рублей
Заметим, что в 2008 году доходность акций составила -61%, что значительно уменьшает итоговую сумму, несмотря на последующий взлет в 2009 году на 127%. В таких случаях, где имеют место большие колебания доходностей, арифметическая средняя не дает правильного представления о росте инвестиций.
Чтобы рассчитать итоговую геометрическую доходность в процентах, мы должны выполнить следующие шаги:
Преобразовать процентные доходы в множители роста.
Найти произведение этих множителей.
Вычислить геометрическое среднее произведения, путем извлечения корня n-ой степени, где n — количество лет.
Получить итоговую геометрическую доходность в процентах, вычитая 1 и умножая на 100.
Давайте выполним расчёт:
Для начала переведем годовые процентные изменения в множители (для уменьшения используем формат "1 — (процент в виде десятичной дроби)", для увеличения — "1 + (процент в виде десятичной дроби)":
2006: 1 + 0.73 = 1.73
2007: 1 + 0.17 = 1.17
и т. д. еще 8 раз.
Теперь вычислим произведение:
Произведение множителей = 1.73 * 1.17 * 0.39 * 2.27 * 1.29 * 0.89 * 1.11 * 1.08 * 0.99 * 1.32
Теперь найдем корень 10-й степени из произведения (поскольку у нас 10 лет) , уменьшим на 1 и умножим на 100, чтобы получить итоговый процент:
Итоговая геометрическая доходность (g) = [(Произведение множителей)^(1/10) — 1] * 100%
Продолжим расчет:
Произведение множителей ≈ 1.73 * 1.17 * 0.39 * 2.27 * 1.29 * 0.89 * 1.11 * 1.08 * 0.99 * 1.32 ≈ 2.844
g = [(2.844)^(1/10) — 1] * 100%
g ≈ [(2.844)^(0.1) — 1] * 100%
g ≈ [1.1049 — 1] * 100%
g ≈ 0.1049 * 100%
g ≈ 10.49%
Реальная годовая доходность у нас получилась 10,49% вместо средней арифметической 22.5% в год. А кому-то, инвест-советник в брокерском доме, может знатно навешать лапши на уши рисуя другую реальность)
Как обычно бывает в жизни
В жизни обычно проще найти годовую доходность, потому мы можем сразу взять начальный результат и конечный. Например, акция стоила 100 руб. , а через 5 лет уже стоила 345 руб.
Можно даже дивиденды на ежегодной основе приплюсовать, взять конечную стоимость + сумму всех выплаченных дивидендова за период, но давайте для простоты возьмём 345 – логика одинаковая.
Тут нам нужно 345 разделить на 100 и получим, что в 3,45 раз выросла бумага. Теперь нам нужно посчитать годовую доходность используя степень и количество периодов в расчете. Формула для нашего кейса будет такой: (3,45^(1/5)) *100%-100=28,1 или 28,1%.
Воспользуемся рандомным калькулятором, чтобы проверить результат, но теперь, нам нужно выбрать настройку для поиска ставки доходности, раз у нас есть начальная и конечная сумма:
Новое меню калькулятора
Расчёт! и получаем:
Результат
Все как надо)
Итог
Это малая часть того, чему стоит обучиться всем желающим улучшить свое финансовое положение. Позже будем учиться формировать индивидуальную инвестиционную стратегию, учитывая все жизненные обстоятельства и персональные цели.
Скоро, наконец-то, буду запускать тестовое обучение, поэтому буду рад обратной связи. Можете подписаться на телеграм канал, там много другой полезной (как мне кажется) информации: https://t. me/ex_norm.
Небольшая затравка. Если вам могло показаться, что тема скучная (хотя вряд-ли вы дочитали бы до конца 😁) , то подумайте вот о чем. Средняя инфляция в России за последние 20 лет в районе 8,1%, банковский вклад за тот же период 8,4%, то есть реальная доходность около 0,3%.
Вот какие исходы (в реальных доходностях) могут быть при вкладывании средств в разные инструменты на протяжении 30 лет.
Слайд из обучения
Сложный процент — восьмое чудо света. Тот, кто понимает его, зарабатывает его, тот, кто не понимает, его платит», — Альберт Эйнштейн
