Злая мотемотичка
Спиногрызка рассказывает о произошедшем на уроке математики:
Учитель, собираясь записывать на доске: Назовите любое число.
Я: Гугол.
У: Что?
Я: Гугол.
У: Что-что?
Я: Гугол.
У: Что?!
Я: Гугол!
У: Что?!!!
Я: Гугол!!!
У: Что-что? Я не слышу.
Я: Гугол!!!
У: Что?!!!
Я: ГУГОЛ!!!
У: Дети, что она говорит?
Дети: ГУГОЛ!!!
Я: ГУГОЛ!!!
У: Нет такого числа.
Я: есть.
У: Нет такого числа. Ты его выдумала.
Я: есть. Это число со ста нолями.
Учитель отказывается написать его на доске.
Я: ворчу.
Подсказываю спиногрызке: надо было сказать, что это десять в сотой степени, тогда она сумела бы легко записать его на доске. А то сто нолей рисовать сомнительное удовольствие.
Ответ Sincaster в «Как и чему учатся в школе маленькие японцы (не для слабонервных)»
Японская школа это лютый треш, без дополнительных курсов ты потом в нормальный вуз не поступишь. Вы много медалистов из Японии видели на всемирных олимпиадах? Загуглите достижения японских олимпийцев математика/физика/химия ;)
Загуглил. На межнаре по математике Япония выступает очень неплохо. Один раз в 2009 году даже заняла 2 место. Скажем так: в неудачные для России годы с 2011 по 2017 российская команда занимала места от 4 до 11, а японская - от 5 до 22.
Почти всегда Япония оказывается в двадцатке и часто в десятке на межнаре по математике, физике (лучшее место - 5). По химии статистика у меня что-то не открывается, но например в позапрошлом году все четыре японца взяли золото, причем один обогнал по баллам трех россиян (все четыре россиянина тоже с золотом).
А главное, это вообще ерундовый критерий. В большинстве стран олимпиадников готовят не в школах, в России - чаще всего не в обычных школах и вообще далеко не только в школе.
Например, сборная США по математике сравнима по уровню со сборной России. 9 лет подряд с 2011 по 2019 американцы обгоняли россиян, а четырежды за этот период занимали 1 место. Разве это говорит о хорошем образовании в США? Все ребята учились математике вне школ, а некоторые вообще в школу не ходили, например капитан американской команды Люк Робитайл (четырехкратный золотой медалист) учился на дому.
Румыния в прошлом году заняла 4 место (на самом деле 5, если считать Россию, не попавшую в таблицу по политическим причинам), в позапрошлом - 5, когда-то бывали и на 1 месте. Но три года назад были на 27 месте, в 2018 году - на 33. Разве можно делать отсюда вывод, что в Румынии образование год от года то лучшее в мире, то ниже плинтуса? Ниже плинтуса математическое образование на самом деле в Канаде. Но в прошлом году и 3 года назад они заняли 5 место. А у них не только образование слабое, но и математиков для олимпиад не хватает, так что в сборной Канады часто выступают китайцы, живущие в США и не имеющие к канадскому образованию никакого отношения.
Физику в США в школах обычно вообще не проходят, а если проходят, то поверхностно, чаще всего - в возрасте, когда в олимпиадах участвовать уже поздно, классе в 11-12 (американские успешные физики-олимпиадники начинают участвовать в олимпиадах еще в 5-8 классе). Это не мешает американским школьникам побеждать на межнаре. В прошлом году, например, из пяти участников четверо получили золото, последний - серебро, причем один (ха-ха, Федя Евтушенко. Но он и правда американец, родился в США, ходит в обычную государственную американскую школу) - стал абсолютным победителем в теоретическом туре. Русские написали олимпиаду еще лучше, а победили китайцы, но результат американцев очень достойный. Говорит ли он о хорошем физическом образовании в США? Конечно нет.
Странный факт: провал в результатах российской сборной по математике совпал по времени с массовым переходом российских физмат-школ к олимпиадной дрессуре. Россия - редкий пример страны, где отбор и подготовка олимпиадников проводится массово и централизованно на базе школ. Если в какой стране школьное образование и оказывает влияние на олимпиадную подготовку, то в России (еще в других странах бывшего СССР и, подозреваю, в Румынии). Но почему-то интенсификация именно олимпиадной стороны школьного образования совпала с десятилетним ухудшением результатов на ММО.
Так что, во-первых, Япония неплохо выглядит на международных олимпиадах, а во-вторых, результаты могут быть неоднозначно связаны со школьным образованием, а в большинстве стран вообще никак не связаны.
Квадратный трехчлен выглядит именно так и никак по другому
Продолжение поста «Аксиоматика множества призрачных чисел»
Место множества призрачных чисел относительно других множеств
Короче, для начала отметим, что для множества J 6-я аксиома, которая ∀a∈J\{0}: 0*a=0 избыточна. То что в ямайкамурровых числах 0 умножить на любой не 0 равно 0 выводится как следствие. Ну и ещё @alice9tails утверждает, что ∅ вообще по факту не операция. Ну я тоже подумал, что и фиг с ней. Так что в сухом остатке мы имеем множество J которое отличается от R только в следующих аксиомах (чтобы не переписывать всю эту аксиоматическую портянку, покажу только отличающиеся):
∀a,b∈J\{0}: a*b=b*a_________________∀a,b∈R: a*b=b*a
∀a∈J b,c∈J∖{0}: (a*b)*c=a*(b*c)_____∀a,b,c∈R: (a*b)*c=a*(b*c)
∀a,b∈J c∈J∖{0}: (a+b)*c=a*c+b*c____∀a,b,c∈R: (a+b)*c=a*c+b*c
∀a,b,c∈J c>0: (a⩽b⇒a*c⩽b*c)_______∀a,b,c∈J, c⩾0: (a⩽b⇒a*c⩽b*c)
@alice9tails натолкнула меня подумать, каково же место призрачных чисел в структуре математики. Пришлось смотреть теории множеств, коих, оказывается, в мире есть, и не одна. Собственно, я не особо нашёл что-то, что могло бы быстро и легко помочь с этим. И, скорее всего, именно что не нашёл, а не то, что его там нет. Я просто объясню суть терминов, которые буду использовать, чтобы было понятно. Но имейте в виду, что это всё, скорее всего, просто мой велосипед от какой-то из теорий множеств.
Множество элементов А является конкретным относительно множества B, если в нём определено как минимум одно дополнительное свойство для как минимум одного элемента множества В и при этом между всеми аксиомами множеств A и B нет противоречий. Множество В в таком случае можно считать абстрактным относительно А.
Определить дополнительное свойство элемента множества В, значит ввести аксиому о получении результата операции с этим элементом, который не определён для множества В.
Покажем на примере, что множество С является конкретным относительно R:
√(-1) - не определено в R
√(-1)=i - определено в С
Очевидно, что определено дополнительное свойство в виде результата для √-1, а значит, С конкретно относительно R, ну или, что тоже самое, R абстрактно относительно C. То, что у этих множеств нет конфликтов в аксиомах, доказано и без меня.
Теперь вернёмся к нашим баранам и покажем, что R конкретно относительно J:
a*0 - не определено в J, это при том, что 0*a=0, для a≠0
a*0=0 - определено в R
J вообще было получено просто вытравливанием коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности умножения на 0 из R, так что конфликты искать не приходится.
Покажем, что G конкретно относительно J:
a*0 - не определено в J
a*0=g(-1)a - определено в G
При этом G не является R в силу того, что:
0*1/0 - не определено в R
0*1/0 = g(1)0 - определено в G
Логично тогда предположить, что G конкретно относительно R, но эти два множества имеют противоречие на уровне аксиом:
a*0=0 - в R (я знаю, что a*0=0 в R не аксиома, а следствие)
a*0=g(-1)a - в G при том, что 0=g(0)0
То есть свойства нулю из J эти множества добавляют разные.
Проще выражаясь: G конкретизирует J иначе, чем это делает R.
Я тут картиночку для наглядности запилил с иерархией этих множеств:
Вот у вас есть множество G для которого определены все его операции для всех чисел - и множество R у которого нет деления на 0. И при этом они оба идут от одного абстракта...
Я, конечно, понимаю, что человечество, тысячелетие с лишним просидевшее на R, итак прекрасно себя чувствует, но вопросик-то есть один: может ли так быть, что сегодня мы не имеем возможности описать что-либо математически только потому, что стираем информацию умножением на 0 и вообще не умеем на него делить?
Кстати, вполне возможно конкретизировать аналог множества комплексных чисел и от G. И все другие навороты, аналогичные тем, что есть для R, скорее всего, тоже.
Продолжение поста «Кто ты, воин ? )»
Когда в России стали изучать математический анализ.
Кратко повторю текст, начавший цепочку постов ( Кто ты, воин ? ) )
Будущий нобелевский лауреат профессор Тамм попал в плен махновцам:
- Я преподаю математику!
- Тогда найди мне оценку приближения ряда Маклорена первыми n-членами, – ухмыльнулся атаман.
Тамм не мог поверить своим ушам: задача относилась к довольно узкой области высшей математики. Дрожащими руками, под дулом винтовки, он сумел-таки вывести решение.
В ответном посте я написал, что это - стандартный материал первого семестра физико-математических вузов, изучается даже в некоторых школах
@GoxaXabar оставил комментарий #comment_305824939 :
Вы времена-то не путайте. Дело было в начале прошлого века
Отвечаю.
В общих чертах матанализ в объеме, изучаемом в современных вузах под таким названием, был создан в XVIII веке. Начали Ньютон и Лейбниц в XVII, основное развитие было в XVIII. Кое-что, конечно, добавили уже в XIX. В начале XX века уже появлялись упрощающие формулировки, обозначения и другие косметические изменения.
Так, речь в байке о Тамме и махновце шла о ряде Маклорена, то есть простом частном случае ряда Тейлора. Тейлор опубликовал свою работу в 1715, и он был не первым, кто пользовался этим рядом. Ряд Тейлора в целом и Маклорена в частности был обоснован еще Ньютоном в неопубликованных работах 1690 годов, а пользовались такими рядами Ньютон, Коллинз, Грегори еще около 1670. Опубликован же подробный анализ рядов Маклорена был самим Маклореном в 1740-х.
Остаточные члены в форме Лагранжа и Коши появились заметно позже: в 1797 и 1823, соответственно. Общей вид дифференциальной формы придуман не то Рошем в 1858, не то Шлемильхом примерно тогда же. Интегральный вид придуман еще Коши в 1821. Остаточный член в форме Пеано появился в 1910-х годах благодаря недавно придуманной нотации о-малого (Э. Ландау, 1909).
Форма Пеано не позволяет сделать численную оценку остаточного члена, так что Тамму из байки про махновца она бы не пригодилась. Для оценки достаточно дифференциальной формы Лагранжа, опубликованной за век до рождения Тамма.
Проходили ли всё это в дореволюционной России? В школах - нет. В 7 классе реальных училищ проходили матан, но так же поверхностно и на пальцах, как сейчас - в 10-11 классах. Киселёв, написавший учебник "Начала дифференциального и интегрального исчислений" в 1908 году, придумал своё, довольно странное и нестрогое основание матанализа. Ряда Тейлора там нет, материал в целом похож на современный для непрофильных классов, типа того, что в учебнике Колмогорова.
Тамм ходил не в реальное училище, а в гимназию, но сомневаюсь, что в гимназиях преподавали намного больше математики.
Другое дело - университеты. Курсы матанализа для студентов появились в России еще в XVIII веке. Так, уже в 1796 году Гиларовский издал учебник "Сокращение вышней математики" для учительских гимназий/семинарий. Не знаю, были ли там ряды Тейлора-Маклорена.
Почти уверен, что остаточный член был в учебнике Зернова (1842): в доступных мне сканах отсутствуют нужные страницы, так что могу лишь утверждать, что сами ряды Тейлора и Маклорена в Зернове точно были, насчет остаточного члена не гарантирую.
И совершенно точно остаточный член в форме Коши был в "Курсе анализа" Хандрикова (1887), причем почти в современной нам нотации:
В целом же в школьной и вузовской программе первых пары курсов по математике нет почти ничего, а по физике - не так много фактов и методов, неизвестных в XIX веке.
Ответ на пост «Кто ты, воин ? )»
найди мне оценку приближения ряда Маклорена первыми n-членами
Тамм не мог поверить своим ушам: задача относилась к довольно узкой области высшей математики. Дрожащими руками, под дулом винтовки, он сумел-таки вывести решение и показал его предводителю.
Студенческий фольклор:
Чей же член придется впору,
Чтобы вставить в зад Тейлору?
Оба члена хороши:
И Лагранжа, и Коши!
Оценка остаточного члена ряда Тейлора, в том числе и ряда Маклорена - стандартная программа технических вузов, обычно первый семестр матана. В некоторых физмат-школах изучается в 10-11 классе.
Даже в американской школьной программе встречается, хотя сдают этот предмет только ~120 тысяч школьников в год. Пример экзамена (здесь оценка остаточного члена названа error bound):