Однако, если принять во внимание гравитационное притяжение между самими планетами, всё становится гораздо сложнее. Теперь нельзя точно рассчитать положения и скорости планет на больших промежутках времени — вместо этого приходится строить модель их взаимодействия на протяжении того или иного временного отрезка. Могут ли эффекты взаимного притяжения планет накапливаться и нарушать точность столь выверенного механизма как Солнечная система?
Детальное численное моделирование, вроде того, что было представлено Жаком Ласкаром и Микаэлем Гастино из Парижской обсерватории в 2009 году, указывает на то, что есть небольшая, но всё же реальная вероятность возникновения хаоса. Однако эти симуляции, хотя и важны, не являются математическим доказательством. Они не могут быть полностью точными, и, как продемонстрировано ими же, даже небольшая погрешность может в течение миллиардов симулированных лет привести к совершенно разным результатам. Более того, они не обеспечивают даже базового объяснения того, почему те или иные события могут происходить. «Мы хотим понять, какие математические механизмы вызывают нестабильность и доказать, что эти нестабильности действительно существуют», — пояснил Марсель Гуардия, математик из Университета Барселоны.
Математики Марсель Гуардия (слева) и Жак Фежоз уже несколько лет сотрудничают в поисках доказательства нестабильности, возникающей в модели Солнечной системы. Фото: Jessica Massetti
На сегодня Гуардия и двое его коллег впервые доказали, что нестабильность неизбежно возникает в модели, описывающей орбиты планет вокруг Солнца, опубликовав свои вычисления в трёх статьях, общим объемом более 150 страниц (ссылки на данные научные работы будут представлены в конце статьи — прим. ред.).
«Результат действительно впечатляющий, — резюмировала Габриэлла Пинзари, физик-математик из Падуанского университета в Италии. — Авторы доказали одну из самых красивых теорем, которую только можно было доказать». Это также может помочь объяснить, почему Солнечная система выглядит именно так, а не иначе.
Четыре страницы и новая история
Уже столетия назад было очевидно, что гравитационное взаимодействие между планетами может привести к долгосрочным последствиям. Рассмотрим Меркурий. У него уходит три месяца, чтобы совершить оборот вокруг Солнца по эллиптической траектории. Однако эта траектория также медленно вращается — на один градус каждые 600 лет, полный оборот происходит каждые 200 000 лет. Этот вид вращения, известный как прецессия, в значительной степени обусловлен воздействием Венеры, Земли и Юпитера на Меркурий.
Однако исследования, проведённые ещё в 18 веке такими математическими гениями как Пьер-Симон Лаплас и Жозеф Луи Лагранж, указывали на то, что, за исключением прецессии, размер и форма эллипса являются стабильными. И только в конце 19 века эта ситуация начала меняться, когда Анри Пуанкаре обнаружил, что даже для модели с тремя небесными телами (например, звездой, вокруг которой обращаются две планеты) невозможно сделать точные вычисления в рамках уравнений Ньютона. «Небесная механика — это деликатная вещь», — подтвердил Рафаэль де ла Льяве, математик из Технологического института Джорджии. Достаточно изменить начальные условия на крошечную величину — например, сдвинув предполагаемое положение одной планеты всего на метр, как сделали Ласкар и Гастино в своих симуляциях — и на больших временных промежутках система станет выглядеть совершенно иначе.
В задаче трёх тел Пуанкаре обнаружил такую запутанность возможных их поведений, что сначала подумал, что допустил ошибку. После того, как он подтвердил достоверность своих результатов, больше нельзя было считать стабильность Солнечной системы как само собой разумеющеюся. Однако, поскольку работа с уравнениями Ньютона является настолько непростой, не было до конца ясно, может ли поведение Солнечной системы быть сложным и хаотичным исключительно на малом масштабе. Например, планеты могут оказаться в разных положениях, но всё же в предсказуемом диапазоне. Или же, как подтвердили Гуардия и его коллеги в своей модели, размер и форма орбит могут изменяться настолько сильно, что планеты могут столкнуться друг с другом или же улететь в бесконечность космоса.
Инфографика: Merrill Sherman | Quanta Magazine
Затем, в 1964 году математик Владимир Арнольд написал четырёхстраничную статью, в которой сформулировал правильную постановку проблемы.. Он обнаружил конкретную причину, по которой ключевые переменные в динамической системе могут сильно изменяться. Сначала он создал искусственную модель, странное сочетание маятника и ротора, которая вообще не напоминала что-либо, с чем можно столкнуться в природе. С помощью этой модели-игрушки он доказал, что при достаточном времени определённые величины, которые обычно остаются постоянными, могут значительно меняться.
Арнольд предположил, что большинство динамических систем должны проявлять такой вид нестабильности. В случае Солнечной системы это может означать, что формы орбит или эксцентриситеты определённых планет могут изменяться в течение миллиардов лет.
Однако, несмотря на значительные успехи математиков и физиков в доказательстве возникновения нестабильности в общем случае, им было трудно доказать это на примере моделей небесных тел. Это связано с тем, что гравитационное воздействие Солнца настолько сильно, что многие особенности планетарной модели сохраняются даже при учёте дополнительных сил, создаваемых планетами (в данном контексте, ньютоновская механика даёт настолько хорошее приближение к реальности, что в этих моделях не нужно учитывать эффекты общей теории относительности). Такая врождённая устойчивость затрудняет обнаружение нестабильности.
Могут ли параметры, остающиеся такими неизменными в вычислениях Лапласа, Лагранжа и других учёных, действительно измениться столь значительно? «Похоже, мы имеем дело с крайне слабой нестабильностью», — объясняет Лоран Недерман из университета Париж-Сакле. Обычными методами её не обнаружить.
Численное моделирование давало надежду на то, что поиск такого доказательства не был напрасным. И предварительные доказательства были. Например, в 2016 году де ла Льяве и двое его коллег доказали нестабильность в упрощённой модели небесной механики, состоящей из Солнца, планеты и кометы, при условии, что комета не имеет массы и, следовательно, не оказывает гравитационного влияния на планету. Такая конфигурация модели известна как «ограниченная» проблема N тел.
Новые работы решают настоящую проблему N тел — они показывают, что нестабильность возникает в планетарной системе, где три маленьких тела вращаются вокруг гораздо большего Солнца. Несмотря на то, что размеры и формы орбит могут длительное время колебаться вокруг фиксированных значений, в конечном итоге они резко меняются.
Это было вполне ожидаемо — считалось, что стабильность и нестабильность сосуществуют в такого рода моделях, но математики первыми доказали это.
Абсолютная нестабильность
Гуардия впервые попытался доказать нестабильность в задаче трёх тел (одно Солнце, две планеты) в 2016 году вместе с Жаком Фежом из Университета Парижа-Дофин. Хотя им удалось подтвердить, что возникает хаотическая динамика в духе Пуанкаре, они не смогли доказать, что такое хаотическое поведение приводит к большим и долгосрочным изменениям.
В сентябре 2020 года к ним присоединился Эндрю Кларк, научный сотрудник под руководством Гуардии. Они решили взяться за эту проблему вновь, на этот раз добавив в модель ещё одну планету. В ней три тела вращаются вокруг Солнца на всё больших расстояниях друг от друга. Ключевым моментом является то, что самая ближняя к звезде планета начинает своё движение с существенным наклонением своей орбиты относительно орбит второй и третьей планет, так что её траектория образует практически прямой угол с их траекториями.
Математик Эндрю Кларк просыпается посреди ночи, задаваясь вопросом, проявляет ли наша Солнечная система ту же нестабильность, что и модели, которые он изучает. Фото: Frith Carlisle
Это наклонение позволило математикам найти начальные условия, приводящие к нестабильности.
Они доказали существование траекторий, приводящих к практически любому возможному эксцентриситету второй планеты: со временем её эллипс мог сжиматься до такой степени, что почти становился прямой линией. В то же время орбиты второй и третьей планет, которые изначально находились в одной плоскости, также могли оказаться перпендикулярными друг другу.
Вторая планета даже могла развернуться на полные 180 градусов: и в то время как все планеты изначально двигались вокруг Солнца по часовой стрелке, она обращалась в обратном направлении. «Представьте себе, что вы заглядываете в будущее на миллион лет вперёд, и Марс движется в противоположном направлении, — пояснил Ричард Монтгомери из Университета Калифорнии в Санта-Крузе. — Это было бы весьма странно».
«Избежать очень экстремальных орбит даже в таком простом случае невозможно», — подтвердил Нидерман.
Тем не менее, размеры орбит оставались стабильными. Это связано с тем, что в этой модели планеты движутся вокруг Солнца очень быстро по сравнению с тем, как долго их орбиты прецессируют — что позволяет математикам игнорировать «быстрые» переменные, связанные с движением планет. «Если вам действительно интересно, что меняется на протяжении тысячи лет, то задумываться о том, что происходит каждый год, может быть утомительно», — пояснил Мёкель. Колебания размера каждого эллипса, измеряемые через величину большой полуоси, усредняются.
Это не стало сюрпризом. «Общепризнано, что наклонение и эксцентриситет должны быть менее стабильными, чем полуось», — объяснил Гуардия. Но затем он и его коллеги поняли, что если они поместят третью планету ещё дальше от Солнца, то смогут добавить ещё больше нестабильности в свою модель.
Эта новая система и уравнения, использовавшиеся в ней, оказались более сложными, и математики не были уверены, что смогут получить какие-либо результаты. «Однако это было слишком важно, чтобы просто сдаться, — сказал Кларк. — Если есть шанс доказать, что полуоси могут смещаться, то, я уверен, нужно пытаться сделать это».
Ласкар, руководивший большей частью вычислительных исследований по нестабильности в Солнечной системе, обнаружил, что если совместить подобную модель с Солнечной системой, то можно увидеть, что первая планета располагается прямо возле Солнца, вторая планета занимает место Земли, а третья планета находится в Облаке Оорта, на границе внешней части Солнечной системы (именно поэтому, согласно его словам, это представляет собой «очень экстремальную ситуацию» — которую он не ожидает встретить в нашей галактике).
Чем больше расстояние планеты от Солнца, тем больше времени ей требуется на полный оборот вокруг него. В этом случае, третья планета находится настолько далеко, что прецессия двух внутренних планет происходит гораздо быстрее. В таком случае невозможно усреднить движение последней планеты — сценарий, который Лагранж и Лаплас не учитывали в своих исследованиях стабильности Солнечной системы. «Это полностью меняет структуру уравнения», — пояснил Ален Шансинер, математик из Парижской обсерватории. Теперь появляются дополнительные переменные, которые нужно учитывать.
Кларк, Фежоз и Гуардия доказали, что орбиты могут становиться произвольно большими. «Они, наконец, добились увеличения размера орбиты, а не только изменения её формы или чего-то подобного, — сказал Мёкель. — Это представляет собой абсолютную нестабильность».
Несмотря на то, что эти изменения накапливались очень медленно, они всё же происходили быстрее, чем можно было бы ожидать. Это говорит о том, что в реальной планетарной системе они могут накапливаться на протяжении сотен миллионов, а не миллиардов лет.
В 2009 году физик-математик Габриэлла Пинзари выявила забытую на десятилетия сложную систему координат, что позволило проводить новые исследования нестабильности планетарных систем. Фото: Department of Mathematics of University of Padua
Полученные результаты предоставляют потенциальное объяснение того, почему орбиты планет Солнечной системы лежат почти в одной плоскости. Например, даже такой простой фактор, как большой угол наклона, может быть источником значительной нестабильности по многим параметрам. «Если представить конфигурацию модели, где взаимные наклоны орбит достаточно большие, то такая система развалится довольно быстро, — пояснил Ченсайнер. — Она была бы разрушена сотни, тысячи веков назад».
Многомерные пути
Понадобились методы геометрии, анализа и динамики, а также возвращение к самим основам для доказательства этих утверждений.
Математики представили каждую конфигурацию своей планетарной системы (положения и скорости планет) как точку в многомерном пространстве. Их целью было показать существование «путей» в пространстве, соответствующих, скажем, большим изменениям эксцентриситета орбиты второй планеты или большой полуоси орбиты третьей планеты.
Для этого было необходимо выразить каждую точку в терминах координат, которые были настолько экзотичны и сложны, что едва ли кто-то о них слышал, не говоря уже о попытках их использования. Эти координаты были впервые открыты в начале 1980-х годов бельгийским астрономом Андре Депри, затем благополучно забыты и впоследствии снова обнаружены Пинзари в 2009 году, когда она работала над своей докторской диссертацией. С тех пор они почти не использовались.
Используя координаты Депри для описания многомерного пространства планетарных конфигураций, математики получили более глубокое понимание его структуры. «В этом заключается часть красоты доказательства: уметь использовать эту 18-мерную геометрию», — рассказал Фежоз.
Фежоз, Кларк и Гуардия обнаружили «пути», пересекающие несколько особенных регионов в этом пространстве. Затем они использовали своё понимание многомерной геометрии, чтобы доказать, что эти «пути» соответствуют нестабильной динамике размера и формы орбит планет.
«Когда я получил свою докторскую степень 30 лет назад, — рассказал Нидерман, — мы были крайне, крайне далеки от подобных результатов».
«Это столь сложная система, что у вас возникает ощущение, что произойти может всё, что не является явно невозможным, — пояснил Шансинер. — Но обычно очень трудно это доказать».
Теперь математики надеются использовать методы Кларка, Фежоза и Гуардии для доказательства нестабильности в моделях, более похожих на Солнечную систему. Эти результаты становятся особенно значимыми по мере того, как астрономы открывают всё больше экзопланет, обращающихся вокруг других звёзд и демонстрирующих самый широкий спектр конфигураций систем. «Это похоже на открытую лабораторию, — пояснил Мариан Гидеа, математик из Йешива-университета. — Понять на бумаге, какие типы эволюций планетарных систем могут существовать и сравнить это с тем, что вы способны наблюдать — это очень захватывающе. Это даёт много информации о физике Вселенной и о том, насколько наша математика способна выразить это через относительно простые модели».
В надежде на проведение подобного сравнения, Фежоз обсуждал с несколькими астрономами возможность обнаружения планетарных систем, которые хотя бы отдалённо напоминают модель, разработанную им и его коллегами. Другие исследователи, включая Гидеа, говорят, что эта работа может быть полезной для разработки эффективных траекторий для искусственных спутников или определения способов перемещения высокоскоростных частиц с помощью ускорителя. По словам Пинзари, исследования в области небесной механики до сих пор остаются весьма актуальными.
Конечной целью является доказательство нестабильности в Солнечной системе. «Я просыпаюсь ночью и думаю об этом, — поделился Кларк. — Я бы сказал, что это была бы настоящая мечта, но это был бы кошмар, не так ли? Потому что мы бы оказались в полной…»..