В теории принятия решений парадокс двух конвертов — вероятностное рассуждение, приводящее к абсурдному результату.

Существует несколько вариантов парадокса. Чаще всего предлагается следующая ситуация решения: у нас есть конверта, каждый из который содержит по чеку. Мы знаем, что один из чеков содержит в два раза большую сумму по сравнению с другим, но у нас нет информации о том, как эти суммы были распределены. Ведущий предлагает игроку выбрать один из конвертов. Та сумма, которая написана на чеке, содержащаяся в выбранном конверте, будет подарена игроку.

Настоящий парадокс заключается в следующем: прежде чем игрок откроет выбранный конверт, ведущий советует ему изменить свой выбор со следующей аргументацией.

Пусть V — стоимость чека в выбранном конверте. Возможны два случая:

один шанс из двух, что в другом конверте находится чек в два раза больше (следовательно, номиналом 2V);

один шанс из двух, что в другом конверте находится чек в два раза меньше (следовательно, на сумму V/2).

Математическое ожидание суммы, полученной при смене конверта, будет тогда Epr=50% 2V+50% V/2=V+V/4=5/4 V, что больше, чем V.

Следовательно, в интересах игрока поменять конверт, что абсурдно, поскольку оба конверта играют одну и ту же роль, и игрок, еще не вскрывший первый, не может их различить.

Задача стала популярной благодаря Мартину Гарднеру, который описал ее в 1982 году под заголовком «Чей кошелек самый толстый?». Новый интерес к парадоксу возник после того, как Барри Нейлбафф опубликовал в журнале Journal of Economic Perspectives статью, в которой перечислялся ряд парадоксов теории вероятностей. Получив множество откликов на эту публикацию, он подготовил вторую статью «Чужой конверт всегда зеленее», посвященную непосредственно парадоксу двух конвертов.

Может ли одна и та же игра быть «выгоднее» для каждого из двух партнеров? Явно нет. Не парадоксально ли, что каждый игрок ошибочно полагает, что его шансы на победу и поражение равны?

С точки зрения Нейлбаффа, первое удовлетворительное объяснение его проблемы дано Сэнди Забеллом в книге «Потери и приобретения: парадокс обмена» («Losses and Gains: The Paradox of Exchange»). Немного перефразируя, вот что пишет Нейлбафф:

Каждый думает, что не имеет значения, какую сумму он видит, учитывая вероятность того, что позже в его конверте окажется большая сумма. Это означает, что мы оцениваем вероятность того, что сумма нашего конверта выше, составляет 1/2 независимо от суммы, которую мы видим. Что верно только в том случае, если каждое значение от нуля до бесконечности равновероятно. Но если все бесконечные возможности равновероятны, вероятность каждого значения равна нулю. Тогда у каждого исхода нет шансов. И это не имеет смысла.

Данная статья относится к Категории 🔮 Появление нового жанра

«Кратко обрисуем теперь особенности классического английского детектива (далее - детектив) […]

1. Жанр не имеет прототипов в античной литературе, не представлен в мифах и архетипах, не числится в списке мировых Сюжетов. Он возник как целое, в законченном виде, вместе со всеми своими атрибутами, причём произошло это очень поздно (конец XVIII - начало ХIХ века). Следует добавить, что детектив представляет собой жанр с очень строгой структурой текста, и не будет ошибкой заявить, что он заявляет Сюжет.

2. В детективе представлены «чистые» типы мышления. Более того, классическое научное мышление инсталлировалось в социальную среду через жанр детектива.

3. В детективе мышление героев, как преступников, так и сыщиков, является очень «продвинутым»: оно сильное, последовательное, рефлективное, чёткое. При этом герои ещё и решительны, предприимчивы, готовы рискнуть жизнью - то есть обладают высокой пассионарностью. Эти качества относятся к представителям самых разных социальных слоев - по детективам Агаты Кристи в одной деревушке Сен-Мери-Мид живёт больше рефлективных людей, чем, по моим представлениям, реально существует во всей Европе в целом, и даже самый последний пьяница в этом селении поддерживает протоколы коммуникации метафорического уровня. Грубо говоря, в детективе «последний преступник» обладает мышлением, соответствующим высшим управленческим элитам.

С этой точки зрения детектив фантастичен: способы как совершения, так и раскрытия преступления не имеют ничего общего с действительностью. Для преступников Агаты Кристи как нельзя лучше подходят слова К. Еськова:

«Для того чтобы задумать и совершить такое, нужно иметь полностью раскрепощённое воображение - этакий «хомо люденс» по ту сторону добра и зла - и плюс к этому - высочайшую культуру штабной работы».

4. В детективе впервые описаны рефлективные управленческие группы – организационно-деятельностные двойки, теория которых появилась почти через 200 лет.

5. Детектив этически анизотропен и буквально настаивает на различии добра и зла. «Я не одобряю убийств», - говорит Пуаро (Эркюль Пуаро - герой произведений Агаты Кристи – Прим. И.Л. Викентьева). Эта особенность - лишь одна из множества черт, благодаря которым детектив оказывается «вне времени» (это интересное свойство проявляется, например, в том, что великие сыщики и их спутники живут сколь угодно долго, причём практически не меняются всё это время - тот же Пуаро был пожилым человеком, пенсионером, с 1914 по 1970-е годы).

6. Детектив является формальным контрпримером к «бритве Оккама».

7. Детектив производит впечатление искусственно сконструированного жанра. Тот же спутник главного героя явно взят из жанра волшебной сказки.

Характеристические признаки детектива можно описать следующим образом:

- Инверсия времени (причины событий восстанавливаются по их следствиям, сначала описывается результат преступления, затем - механизм раскрытия его, затем, в самом конце, воссоздается картина преступления);

- Завязкой всегда является убийство (все остальные формы преступления можно рассматривать как превращенную «цензурированную» версию убийства). Это всегда убийство с заранее обдуманным намерением или, в очень редких случаях, случайное убийство, которое преднамеренно скрывают (то есть намерение, обдуманное не априори, а апостериори)

- В произведении обязательно содержится загадка, причём она должна отвечать всем требованиям, предъявляемым к шахматной задаче: единственность решения, сложность решения, элегантность решения, парадоксальность решения;

- Всегда присутствуют следующие «ролевые элементы»; Гениальный Сыщик; Помощник Гениального Сыщика; Преступник; Подозреваемый (хотя бы один);

- Ситуация всегда этически неоднородна, причём Гениальный Сыщик представляет Абсолютное Добро, а Преступник - Абсолютное Зло;

- Мышление Гениального Сыщика и его Помощника относится к разным типам, и эти типы являются чистыми и выраженными;

- Содержанием текста является описание мыследеятельности Гениального Сыщика (А. Конан Дойл, Агата Кристи) или мыслекоммуникации Гениального Сыщика с Преступником и Подозреваемыми (Э. Гарднер, Р. Стаут);

Укажем здесь ещё несколько странных особенностей английских детективов и их авторов.

А. Конан Дойл - крупный публицист Британской империи, один из ведущих корреспондентов «Таймс» во времена поздней Виктории и Эдуарда, по образованию врач. Ввёл в культурный оборот не только образы Холмса и Ватсона, но и фигуру профессора Челленджера; два или три исследовательских судна и один разбившийся «Шаттл» были названы именем этого персонажа. Весьма влиятельный человек в британском «теневом истеблишменте» начала XX столетия.

Г. Честертон, создатель влиятельного литературно-политического кружка, знаком с У. Черчиллем, семьей Чемберленов и т.п. Ввёл два образа: сыщик-католик отец Браун и джентльмен Хорн Фишер, вылитый Майкрофт Холмс, но для следующей эпохи. Поставил вопрос о кризисе демократии.

А. Кристи - одна из очень немногих писателей, награжденных орденом Британской империи и получивших рыцарское звание».

Переслегин С.Б., Возвращение к звёздам: фантастика и эвология, М., «Аст», 2010 г., с. 387-391.

Источник — портал VIKENT.RU

Дополнительные материалы

Общая схема детективных рассказов по В.Б. Шкловскому

см. термин Демократизация Творчества в 🔖 Словаре проекта VIKENT. RU

+ Плейлист из 8-ми видео: ЧЕЛОВЕК БУДУЩЕГО и ПЕДАГОГИКА ВЫСШИХ ДОСТИЖЕНИЙ

+ Ваши дополнительные возможности:Идёт приём Ваших новых вопросов по более чем 400-м направлениям творческой деятельности – на онлайн-консультацию третье воскресенье каждого месяца в 19:59 (мск). Это принципиально бесплатный формат.

Задать вопросы Вы свободно можете здесь: https://vikent.ru/w0/

Изображения в статье

Сергей Борисович Переслегин — русский культуролог, футуролог, военный историк / RussiaPost.ru Photo by Craig Whitehead on Unsplash

Задача о разборчивой невесте

Задача о секретаре, секретарше или секретарях — это математическая задача в теории оптимальной остановки в теории принятия решений, теории вероятностей и статистике. Эта проблема также известна как проблема принцессы и проблема немедленного найма. Внезапно, но в русской литературе она называется задачей о разборчивой невесте.

Контекст данной задачи таков: кто-то хочет нанять секретаря и собеседует по-очереди конечное и известное количество кандидатов. Для каждого он должен решить, брать его на работу или нет. Если это так, он завершает процесс найма, не видя других кандидатов. В противном случае у него нет возможности перезвонить кандидату позже. В контексте этой проблемы рекрутер не имеет доступа к абсолютной ценности кандидатов (например, «этот кандидат имеет оценку 7/10»), он может только сравнивать их (например, «этот кандидат лучше, чем первый но хуже второго).

Цель состоит в том, чтобы определить стратегию, которая максимизирует вероятность найма лучшего кандидата.

На первый взгляд эта задача кажется непреодолимой и даже обманом. Эта проблема на самом деле имеет элегантное математическое решение. Практическая мудрость, вытекающая из данной задачи, обычно теряется на страницах книг по теории вероятностей. Я думаю, что это очень неудачно, потому что есть много ситуаций, в которых знание оптимальной стратегии выбора среди неизвестных альтернатив может быть полезным. Эта стратегия может вам помочь в следующих житейских ситуациях:

Решение снять квартиру в многолюдном городе.

Быстро найти старшую карту во время перетасовки колоды.

Найти недорогой магазин без кучи поездок туда и обратно.

Ну и, наконец, выбрать мужа или жену, не возвращаясь к бывшим ;)

Во всех этих случаях вы не знаете, какие варианты будут следующими. Однако вы можете захотеть принять быстрое, но в то же время справедливое решение. Моя цель — объяснить решение задачи о секретаре в понятных терминах и проиллюстрировать его там, где это необходимо.

Перед лицом полной неопределенности заманчиво полагаться на удачу. Вы можете принять произвольное решение: «все равно я выбираю первый вариант». Неудивительно, что эта случайная стратегия работает плохо. У вас есть достаточно маленький шанс, что первый кандидат будет лучшим. То же самое верно, когда вы всегда выбираете последнего кандидата или всегда кандидата номер 2. Ваши шансы всегда равны для каждой из заранее фиксированных подобных опций.

Случайная стратегия становится все менее и менее полезной по мере увеличения числа кандидатов.

Возможно, вы поняли, что единственная переменная, которую вы контролируете, — это количество вариантов, от которых вы отказались. Ваша стратегия может заключаться только в том, чтобы решить, от скольких вариантов вы хотите отказаться, прежде чем вы действительно начнете принимать решения. Суть подхода в том, что вы хотите подождать достаточно долго, чтобы иметь хорошую отправную точку, а затем выбрать следующего кандидата, который лучше, чем варианты, которые вы уже рассмотрели. Количественно эта стратегия формулируется следующим образом:

Давайте посмотрим на первые X вариантов и отклоним их. Запоминаем лучший вариант. Назовём его B.

Мы продолжаем рассматривать последующие варианты, пока не будет найден первый с оценкой выше B. Мы выбираем этот вариант.

Эта стратегия выглядит многообещающе, но необходимо уточнить одну деталь: от скольких вариантов следует отказаться?

Когда число X слишком велико, вы можете установить более высокие критерии выбора. Но вы также рискуете отказаться от лучшего варианта. Когда число X слишком маленькое, у вас недостаточно точная отправная точка. Скорее всего, вы выберете неоптимальный вариант. Что нам нужно сделать, так это найти оптимальное значение количества отказов, учитывая общее количество кандидатов. Чтобы понять это, требуются достаточно серьёзные знания теории вероятностей. Однако, мы избавим вас этой сложности.

Оптимальная стратегия состоит в том, чтобы пропустить 37% кандидатов (или, точнее, пропорцию 1/e), а затем подождать, пока не будет кандидата лучше, чем все кандидаты из этой первой выборки. Иногда мы говорим о правиле 37%.

Всем привет! Я продолжаю свою серию постов по популяризации науки :) Пока я выкладываю материалы по теории игр.

Штрафы за отклонение от стратегий

Введя штрафы за какие-то поступки, можно достаточно сильно поменять матрицу платежей.

Пусть Франкенштейн и Дракула заключили предварительно такой договор: в случае, если кто-то один из них попытается заложить другого, друзья того, кого он заложил, поймают и посадят его в подвал на 3 года. Посмотрим, как изменится матрица платежей в данном случае.

Ну что же, очевидно, что теперь уже взаимное молчание является равновесием. Так что да, такой механизм вполне работает.

Парадокс Сена

Я закончу первоначальное знакомство с теорией игр и концепцией равновесий по Нэшу и Парето-оптимальности еще одним парадоксом, связанным с концепцией оптимума в смысле Парето.

Либеральный парадокс, также называемый парадоксом Сена, представляет собой логический парадокс, предложенный Амартия Сеном в статье 1970 года. Он показывает, что ни одна социальная система не может одновременно быть привязанной к минимуму свободы, и приводить к эффективности по Парето.

Этот парадокс спорен, потому что он, кажется противоречащим классическому либеральному утверждению, что рынки одновременно эффективны и уважают личные свободы.

В исходном примере Сена использовалось простое общество, в котором было всего два человека и одна социальная проблема для рассмотрения. Назовем этих двух членов общества «Гарри Гудини» и «Дэвид Копперфильд». В этом обществе существует только одна копия «Теории игр». Эту книгу можно дать прочитать либо Дэвиду Копперфильду (решение А), либо Гарри Гудини (В), либо никому (С).

Предположим, что Гарри Гудини нравится такое чтение, и он предпочитает читать само произведение, а не избавляться от него (B>C). Однако еще большее удовольствие он получил бы от того, что Дэвид Копперфильд должен был прочитать эту книгу и немного поумнел (A>B>C).

Дэвид Копперфильд считает, что книга неприлична и ее вообще не следовало издавать, т.е. её вообще не стоит читать (он предпочитает, прежде всего, решение C). Однако, если кто-то должен это прочитать, Дэвид Копперфильд предпочел бы, чтобы это всё-таки сделал он, а не Гарри Гудини (A>B). Итак, для Дэвида Копперфилда C>A>B.

Учитывая предпочтения двух индивидуумов в обществе, специалист по социальному планированию должен решить, что делать. Должен ли планировщик заставлять Гарри Гудини читать книгу (A), заставлять Дэвида Копперфилда (B) читать её или оставить её непрочитанной (C)? Точнее, должен ли он ранжировать три возможных исхода в соответствии с их социальной желательностью?

Либеральный социальный планировщик решает, что он должен отстаивать права личности, каждый человек должен иметь возможность самостоятельно прочитать книгу.

Гарри Гудини должен иметь возможность решить, будет ли результат «Гарри Гудини читает» (B) иметь более высокий рейтинг, чем «Никто не читает» (C). Точно так же Дэвид Копперфильд также должен иметь возможность решить, будет ли результат «Дэвид Копперфильд читает» (A) выше, чем «Никто не читает» (C).

Следуя этой стратегии, социальный планировщик объявляет, что результат «Гарри Гудини читает» будет иметь более высокий рейтинг, чем «Никто не читает» (из-за предпочтений Гарри Гудини: B>C), и что «Никто не читает» будет иметь более высокий рейтинг, чем «Дэвид Копперфилд читает» (из-за предпочтений Дэвида Копперфилда в C>A). Затем согласованность требует, чтобы «Гарри Гудини читает» был выше, чем «Дэвид Копперфильд читает», и поэтому социальный планировщик дает Гарри Гудини книгу для чтения по принципу транзитивности B>C>A.

Но этот результат либерального планировщика, отдающего предпочтение индивидуальному выбору, и Дэвид Копперфильд, и Гарри Гудини считают хуже, чем «Дэвид Копперфильд читает» (А).

Действительно, Дэвид Копперфильд предпочитает читать плохую книгу вместо Гарри Гудини (A>B для Дэвида Копперфильда), а Гарри Гудини считает, что книга настолько хороша, что Дэвид Копперфильд обязательно должен ее прочитать (A>B также для Гарри Гудини).

Таким образом, результат, выбранный либеральным планировщиком, хуже по Парето. Есть еще один результат, который выше по Парето: тот, где Дэвид Копперфильд вынужден читать книгу.

Данная статья относится к Категории 🔮 Появление нового жанра

«Взглянем «с птичьего полёта» на жанр научной популяризации. И сразу станет видно несколько больших групп книг.

Книги, посвящённые выдающимся научным достижениям. Помнится, мне в детстве попадалась книга Мартина Гарднера «Теория относительности для миллионов». И ведь действительно для миллионов. Ещё двадцать с небольшим лет назад, в добрые старые времена тираж журнала «Знание - сила» был около миллиона, а «Наука и жизнь» издавалась трёхмиллионным тиражом... Книги и журналы этого жанра максимально наглядно и доступно рассказывают о том, что полезно и интересно знать многим… В упомянутой книге обсуждалась относительность пространства, времени, одновременности, удивительный парадокс близнецов, знаменитая формула Е = mс2, имеющая непосредственное отношение к ядерному оружию. Множество книг такого сорта было выпущено «Молодой гвардией» в серии «Эврика».

Книги, посвящённые основам наук. «Занимательная физика», «Занимательная математика», «Занимательная астрономия» и прочие, прочие, прочие. Королём этого жанра был Я.И. Перельман. Главный адресат таких книг - школьники. Именно им надо показать, что наука - это интересно, увлекательно и доступно.

Книги развлекательного типа. Это разнообразные «математические досуги», «лаборатории дома» и т. д. Множество блестящих книг такого жанра перевёл «поэт нелинейной динамики» Юлий Александрович Данилов. К примеру, тот же Мартин Гарднер, «Математические головоломки и развлечения». И когда есть что-то понятное, но и вместе с тем неожиданное, а также талантливый и увлечённый всем этим автор, то читатели всегда найдутся. Как правило, это книги без формул и без ссылок, рассчитанных на дотошного читателя, готового дойти до первоисточников.

Научно-художественная литература. Эти книги не только об идеях, теориях и результатах, но и о творцах науки. Например, такова книга выдающегося популяризатора науки Даниила Семёновича Данина «Неизбежность странного мира».

Так вот, книга Роджера Пенроуза не относится ни к одному их этих жанров. Судите сами. Нового крупного достижения, которому посвящена была бы книга, нет. Напротив, есть несколько тупиков, из которых исследователям, занимающимся фундаментальными задачами, уже не первое десятилетие не удается выбраться. Так что книга посвящена не достижениям, успехам и перспективам, а неудачам и поискам выхода из нынешней проблемной ситуации.

Хотя в книге объясняется, что такое вектор, комплексные числа, фазовое пространство, метрика и многое другое, это книга не об основах наук, а об их вершинах.

Хотя формул действительно немного и есть очаровательное обращение к читателям «Как читать математические формулы» (после которого были бы уместны любые выкладки), это - не развлекательная книга.

Наконец, это и не научно-художественная работа. Ведь в ней идёт речь не о вдохновении творцов, а о красоте идей, составляющих фундамент современного естествознания.

Так что же это? И кто читатели этого произведения? Кому адресована эта книга? Представьте себя в положении ученого, намеревающегося организовать междисциплинарные исследования глубокой и интересной проблемы. Здесь далеко до результатов. Здесь нет ещё исследовательской программы, под которую можно было бы организовать институт или получить грант. Здесь нужен поиск, в котором бы участвовали представители многих научных дисциплин, совместные усилия. Определяя синергетику, Герман Хакен в своё время писал именно об этом - о междисциплинарном подходе, разработка которого требует усилий представителей многих научных дисциплин.

Что делать в этом случае? Обратиться к коллегам по цеху? Скорее всего, они вас вежливо выслушают, пожмут плечами и вернутся к своим прежним научным делам. Междисциплинарный диалог - дело нелёгкое, и трудно надеяться, что многие к нему окажутся готовы. Обратиться к профессионалам из «чужих» областей? Тут шансы на успех ещё меньше. Кроме того, диалог затрудняет в лучшем случае «языковый барьер». А в худшем - предрассудки иного научного цеха оказываются просто непреодолимы. Выращивать студентов и аспирантов? Но это тоже работа на многие годы, а начать хотелось бы уже сегодня.

Как же действовать? После появления книги Роджера Пенроуза это ясно. (Имеется в виду книга: Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики – Прим. И.Л. Викентьева). Надо написать книгу, рассчитанную на будущих соратников по предполагаемым исследованиям. Р. Пенроузу удалось написать удивительную книгу. Она не имеет, на мой взгляд, аналогов в научной литературе и, очевидно, не является научно-популярной.

Во-первых, потому что это скорее интуитивная, чем рациональная книга. Она посвящена догадкам, гипотезам, аналогиям, а не полученным результатам. И в начале исследований она и не может быть другой! И, конечно, создание такого текста требует и незаурядного мастерства, и большой интеллектуальной смелости.

Во-вторых, в этой книге своим будущим коллегам надо максимально ясно и просто изложить результаты той дисциплины, в которой сам автор является ведущим специалистом и которые могут оказаться важными для них. (Это и делает книгу внешне не похожей на научно-популярную.)

В-третьих, придется наметить эскиз всей междисциплинарной программы и сказать, каким видится решение поставленной проблемы.

В-четвёртых, нужно рассказать о множестве разных результатов и идей в тех областях, в которых автор не является узким специалистом. Поэтому понадобится большая библиография, чтобы последователи смогли уточнить детали и двинуться дальше, а также ясная собственная оценка альтернативных точек зрения (в научном мире, да, наверно, и в других мирах, это не просто).

В-пятых, это надо сделать кратко и гармонично, чтобы хотя бы некоторые читатели смогли добраться от начала до конца.

Роджеру Пенроузу всё это удалось. И если междисциплинарные исследования будут успешно развиваться, то книг в этом замечательном жанре будет появляться всё больше».

Малинецкий Г.Г., Синергетика, нелинейность и концепция Роджера Пенроуза – Введение в книгу: Роджер Пенроуз, Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики, «Едиториал УРСС», 2005 г., с.4-5.

Источник — портал VIKENT.RU

Дополнительные материалы

Популяризация проблем / задач будущего в литературе по Г.С. Альтшуллеру

см. термин Демократизация Творчества в 🔖 Словаре проекта VIKENT. RU

+ Плейлист из 17-ти видео: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ: МАРКЕТИНГ, РЕКЛАМА, PR

+ Ваши дополнительные возможности:Идёт приём Ваших новых вопросов по более чем 400-м направлениям творческой деятельности – на онлайн-консультацию третье воскресенье каждого месяца в 19:59 (мск). Это принципиально бесплатный формат.

Задать вопросы Вы свободно можете здесь: https://vikent.ru/w0/

Изображения в статье

Георгий Геннадьевич Малинецкий — советский и российский математик. Специалист в области синергетики, автор более 800 научных трудов и более 100 научно-популярных статей / Экоград & Photo by Daniel on Unsplash

Photo by K. Mitch Hodge on Unsplash

Image by Vectonauta on Freepik

Роджер Пенроуз — британский физик и математик, работающий в различных областях математики, общей теории относительности и квантовой теории; автор теории твисторов, лауреат Нобелевской премии по физике (2020) / Единое знание

Всем привет! Я продолжаю свою серию постов по популяризации науки :) Пока я выкладываю материалы по теории игр.

Парето-оптимальность

Из двух возможных видов игр мы до сих пор рассматривали только некооперативные, то есть те, в которых каждый игрок является эгоистом и желает максимизировать только свой собственный выигрыш или минимизировать свой проигрыш. Возникает вопрос: почему, например, в дилемме заключённого игроки не могут договориться между собой о том, какие стратегии применять?

Критики игрового анализа дилеммы заключённого считают, что рациональное поведение, приводящее к более выгодным для всех ситуациям, возникает не для отдельных лиц, а для групп. Поэтому они считают, что для отдельно взятого игрока его оптимальная стратегия будет заключаться в достижении оптимальной цели для всей группы в целом. Теория рабочего класса Карла Маркса является проявлением такого мышления.

Вильфредо Парето (1848–1923), итальянский социолог и экономист, внес свой вклад в изучение распределения доходов и анализ индивидуального выбора. Он вводит понятие эффективности и помогает развивать область микроэкономики с помощью таких идей, как кривая безразличия. Возможно, вы уже слышали о «принципе Парето». Также называемый законом Парето, принципом 80-20 или даже законом 80-20, это эмпирическое явление, наблюдаемое в определенных областях: примерно 80% следствий являются продуктом 20% причин. Хотя работы Парето не обязательно подразумевает распределение 80-20, Джозеф Джуран в 1954 году использовал выражение «принцип Парето» для его обозначения.

Другой термин, носящий его имя, связан с теорией игр. Пусть имеется система с несколькими частными показателями. Тогда система достигла оптимальности по Парето (стала эффективной по Парето), если при улучшении любого из показателей достигается ухудшение других.

Сам Парето высказывался так:

«Всякое изменение, которое никому не приносит убытков, а некоторым людям приносит пользу (по их собственной оценке), является улучшением»

Относительно исходной ситуации, улучшение по Парето — это новая ситуация, в которой некоторые агенты выиграют, а ни один агент не проиграет.

Ситуация называется доминируемой по Парето, если возможно улучшение по Парето.

Таким образом, система допускает локальные улучшения до тех пор, пока они не приносят никому вреда.

В своем «Руководстве по политической экономии»  Парето рассматривает максимальную полезность для общества как свойство общего экономического равновесия и определяет ее как положение, при котором всякая малая вариация увеличивает полезность одних и уменьшает полезность других.

Полезность относится к полезности товара или услуги, ощущаемой данным экономическим агентом в данное время, в отличие от объективной полезности того же товара или услуги. Например, для путешественника в пустыне стакан воды субъективно будет стоить намного дороже, чем для человека в бассейне.

Таким образом, система допускает локальные улучшения, если они никому не вредят. Общее благо общества по Парето максимально в том состоянии, когда никакое изменение полученного оптимального распределения не наносит вреда благосостоянию хотя бы одного объекта системы. Например, в дилемме заключённых состояние «оба молчат» является Парето-оптимальным.

Но опять же возникает проблема. Философы, которые считают, что этот факт показывает противоречие между некооперативной и кооперативной теорией игр упускают из виду важность предположения в кооперативной теории игр о том, что могут быть сделаны жесткие договоренности. Не имеет значения, что Франкенштейн и Дракула обещали соблюдать соглашение. Они, например, могут договориться, но не сдержать обещания. Или же они могут затратить ресурсы на обеспечение нерушимости договора.

Фонтан с водой и оптимум Парето

Мы обсудим здесь ситуацию, описанную в статье одного французского исследователя.

В административном ресторане есть довольно классический для франции питьевой фонтан, оборудованный двумя кранами, с одной особенностью, которая кажется весьма распространенной: общий поток воды одинаков при работе одного или обоих кранов. Когда два человека приходят наполнить свои графины, они обычно делают это одновременно, используя оба крана. Это действительно хорошая идея?

Представьте себе, что первый человек, Гензель, подходит к фонтану, чтобы наполнить свой графин. Как раз в тот момент, когда он собирается начать налить себе водички, в свою очередь появляется второй человек, Гретель. У последней есть выбор между двумя стратегиями: активировать второй кран, чтобы наполнить ее графин одновременно с Гензелем, или подождать, пока тот не закончит, прежде чем начать делать это.

Когда работает только один из кранов, он наполняет графин примерно за 20 секунд. Когда оба крана открыты, каждый из них наполняет графин за 40 секунд. Если Гретель решит использовать второй кран, она и Гензель проведут у фонтана 40 секунд. Если же она решит подождать, Гензель проведет там только 20 секунд, а она 40 (20, чтобы подождать и 20, чтобы наполнить свой графин).

Таким образом, Гретель абсолютно ничего не выигрывает, если откроет второй кран, а Гензель в таком случае потеряет 20 секунд. Поэтому лучшим общим решением будет подождать и никогда не использовать оба крана одновременно.

В случае, который нас здесь интересует, есть две ситуации: одна, когда Гретель использует второй кран, и другая, когда она ждет, прежде чем наполнить свой графин. Вторая ситуация – оптимум Парето, но не первая, поскольку можно улучшить результат Гензеля (сократить его время у фонтана с 40 до 20 секунд), не ухудшив результат Гретель (у которой и так и так будет 40 секунд ожидания).

На самом деле, единственный плюс двух краников у таких фонтанов – это возможность поболтать с коллегой, пока наполняются графины, поэтому, несмотря на всю их нелогичность, во Франции они всюду =)

Попробуйте вспомнить, с какими примерами подобных ситуаций вы уже сталкивались в своей жизни?

Всем привет! Я продолжаю свою серию постов по популяризации науки :) Пока я выкладываю материалы по теории игр.

Прошлые посты тут:

Игра с природой, или что такое математическое ожидание? : Часть 1, Часть 2

Дилемма заключённого : Часть 1, Часть 2, Часть 3,

Частные и общественные блага: Часть 1, Часть 2

Немного классификации и терминов

Мы с вами уже построили платёжные матрицы в двух играх, проведём немного классификации.

В 1944 году за авторством Оскара Моргенштерна и Джона фон Неймана была опубликована книга «Теория игр и экономическое поведение» («Game Theory and Economic Behavior»), в которой:

- Было сформулировано определение «игры», как деятельности двух и более участников (игроков) имеющей условия некоего «выигрыша» и «проигрыша», в рамках которой все участники могут распоряжаться какими-то ресурсами и взаимодействуют между собой, преследуя цель «выиграть» и принимая решения, основанные на поведении других игроков;

- Был математически описан способ поиска оптимальных стратегий в такой игре (ведущих к «выигрышу» с какой-то определенной вероятностью).

Джон фон Нейман (1903—1957) – американский математик и физик венгерского происхождения. Он внес важный вклад во многие области. Тема упомянутой выше книги скорее связана с экономикой. На самом деле до 1930-х годов экономическая наука (по крайней мере, ее основные направления того времени) использовала большое количество числовых данных, но без какой-либо настоящей научной строгости. Это напоминало физику 17-го века, ожидающую языка и научного метода для выражения и решения своих проблем. В то время как классическая физика нашла решение в исчислении бесконечно малых, фон Нейман предлагает для экономики в характерном для нее аксиоматическом подходе теорию игр и теорию общего равновесия.

Суммой игры называется общий итог выигрышей и проигрышей.

В игре с нулевой суммой выигрыш одной стороны равен проигрышу другой. Некоторые карточные игры – преферанс, покер, бридж – есть игры с нулевой суммой. Игры с отрицательной суммой тоже имеются − например, лотереи (если считать сумму участников и не учитывать организаторов).

Команда, выступающая как единое целое, тоже может считаться игроком.

Антагонистической игрой называется игра двух игроков с нулевой суммой – выигрыш одного игрока оборачивается проигрышем другого.

Первым значительным вкладом фон Неймана в 1928 году стала минимаксная теорема, которая утверждает, что в игре с нулевой суммой при полной информации (каждый игрок знает возможные стратегии своего противника и их последствия) у каждого есть набор предпочтительных («оптимальные») стратегии. В игре между двумя рациональными игроками нет ничего лучше для каждого из них, чем выбрать одну из этих оптимальных стратегий и придерживаться её.

Существуют игры с количеством участников, большим двух. Эти игры можно разделить на два класса – кооперативные, когда разрешено нескольким участникам вступать в коалицию (например, в преферансе при розыгрыше мизера обычно два игрока играют против одного в пределах одной партии). В некооперативных играх каждый участник играет только за себя.

В спортивных играх – командных (футбол, хоккей) или личных (шахматы) каждый матч или партия есть игра с нулевой суммой по результатам (ничья, или же один выигрывает, а другой проигрывает). Хотя в турнирных таблицах фигурируют общие набранные очки, в шахматах, например, считают именно «плюсы» – разницу между выигранными и проигранными партиями. В футболе, в связи с борьбой с ничьими, ничейный результат невыгоден обоим. Но если брать именно набранные очки, то турнир – игра с положительной суммой.

Равновесие по Нэшу

Джон Нэш (John Forbes Nash) (1928-2015) в теории игр был признан второй звездой после фон Неймана. Родился в 1928 г., изучал математику в Принстоне и скоро проявил интерес к теории игр. В своей диссертации (1950) двадцатидвухлетний Нэш сформулировал понятие, которому суждено было изменить теорию игр. Кстати, по мотивам его жизни был снят фильм «Игры разума», весьма советую к просмотру.

Термин «равновесие по Нэшу» настолько популярен, что сам Нэш стал бы миллионером, если бы ему платили по доллару за каждое упоминание о нём. Во всяком случае, профессором MIT он стал. А также Нэш – единственный математик и экономист, удостоенный Нобелевской премии по экономике в 1994 году и Абелевской премии по математике в 2015 году.

Вначале Нэш исследовал игру двух игроков с ненулевой суммой, затем объектом его исследований стали некооперативные игры с тремя и более участниками. Нэш вначале выдвинул понятие о равновесии в таких играх, затем доказал, что оно существует для любых конечных игр с любым числом игроков. До него фон Нейманом было доказано только равновесие в играх двух лиц с нулевой суммой.

Исследования Джона Нэша принесли ему Нобелевскую премию по экономике в 1994 году совместно с Джоном Харсаньи и Райнхардом Селтеном. Нобелевский комитет пояснил, что Харсаньи премирован за «распространение равновесия по Нэшу на класс игр с неполной информацией», а Селтен – за обогащение этого равновесия.

Мы видим, что равновесие по Нэшу привело троих учёных к Нобелевской премии (хотя это была математика, премию дали за экономику, математикам Нобелевские премии не положены). Так что же это такое, равновесие по Нэшу?

Равновесие по Нэшу – ситуация в игре, в которой ни один из игроков не может улучшить свое положение, односторонне изменив свою стратегию, если другие игроки свои стратегии не меняли.

Каждый из игроков в равновесии по Нэшу осведомлён о стратегиях других игроков и в связи с этим выбирает для себя лучшую из доступных ему стратегий. В равновесии по Нэшу действует принцип «оглашения» – если все игроки огласят свои стратегии, ни один из них не захочет изменить свою. Это приводит к выводу, что каждому из игроков невыгодно в одностороннем порядке менять свою стратегию – система находится равновесии. Для его поддержания не требуется внешних сил, каждый из игроков старается реализовать в создавшихся условиях именно свою стратегию, и равновесие нарушать невыгодно каждому из игроков. Именно здесь кроется различие между кооперативными и некооперативными играми – для устойчивости первых могут потребоваться внешние силы (например, обращение в суд), устойчивость вторых же внешних сил не требует.

К сожалению, встречаются такие ситуации, когда такое устойчивое состояние возникает в невыгодной для всех ситуации. Если бы все изменили свои стратегии, система пришла бы к более выгодному состоянию для всех, но для этого необходимо сотрудничество всех, которое невозможно в некооперативных играх, а попытка любого из игроков изменить для себя стратегию приводит к ещё более худшим результатам. Упомянутая ранее дилемма заключённого – один из случаев стабильно плохой по Нэшу ситуации для всех.