Еще в рассказе «Звенья Цепи» (1929) венгерский писатель Фридьеш Каринти описал игру, в которой герои обсуждают, насколько человечество стало ближе друг к другу, чем прежде. Чтобы доказать это, в игре предлагается связаться с любым человеком из всего населения Земли (около 1,8 миллиарда в то время), используя только личную сеть знакомств, делая ставку на то, что полученная цепочка будет состоять не более чем из пяти посредников.

В рассказе впервые появилось выражение «шесть рукопожатий», чтобы отразить идею о том, что все люди в мире находятся на расстоянии не более шести социальных связей друг от друга. На первый взгляд тут нет ничего удивительного: если у каждого человека есть хотя бы 100 знакомых, то знакомых знакомых может быть уже 10 тысяч, на третьем шаге — миллион, и т. д., вплоть до триллиона на шестом шаге. Однако в реальности люди будут повторяться уже на втором шаге, так что такого быстрого роста может и не случиться. Например, при первобытном строе, когда каждый знал только людей из своего племени и парочки соседних, никакого закона шести рукопожатий быть не могло. Вполне естественно, что концепция возникла только в XX веке — с появлением телеграфа, радио, океанских пароходов и курьерских поездов.

Позже эта концепция была оформлена математически и получила название  модели «малого», или «тесного» мира. Моделью сети является граф, то есть математический объект, состоящий из вершин (узлов) и ребер (двусторонних связей между вершинами).

При классическом понимании «малого мира» граф обладает сразу двумя свойствами. Во-первых, у него высокий уровень кластеризации, то есть он содержит множество «компаний» — групп вершин, которые попарно связаны друг с другом. Во-вторых, любые две вершины графа соединены короткой цепочкой посредников. С течением времени концепция «малого мира» становится все более популярной, потому что обозначенным свойствам удовлетворяют все современные социальные интернет-сети.

Однако типичное ограничение на длину цепочки посредников, возникающее в моделях, — логарифмическое, то есть хоть и медленно, но растущее с увеличением сети. Вместе с тем во многих реальных сетях общества самого разного размера возникает ограничение именно длиной 6, как в правиле шести рукопожатий. Такое явление называется «сверхтесным миром».

До сих пор отсутствовало четкое объяснение механизмов, через которые сети человеческих связей организуются именно в такие схемы. Почему они возникают? Каковы основные механизмы явления? Почему длина кратчайшего пути между агентами в социальной сети обычно ограничена шестью, а не пятью, семью или любым другим числом? Одно из стандартных объяснений — наличие в обществе иерархических структур: за несколько шагов можно «подняться» до лидера страны, от него перейти к лидеру другой страны и дальше «спуститься». Неясно, однако, почему такой же эффект наблюдается в самых разных социальных сетях, независимо от их популярности в подобных иерархических структурах.

Математики МФТИ с коллегами по международной исследовательской группе под руководством Стефано Боккалетти вывели и предложили теоретико-игровой механизм, объясняющий этот социальный феномен за счет горизонтальных связей, а не вертикальных структур. Их исследование показывает, что этот уникальный эффект может являться прямым результатом динамической эволюции любой исходной структуры, в которой люди соотносят свое стремление стать полезными посредниками для большего числа людей, с затратами, понесенными при формировании или поддержании связей.

«В теоретико-игровых моделях построения социальных сетей каждая вершина сети — это некоторый рациональный агент, который хочет занимать выгодное положение в сети. Вопрос “что значит выгодное положение?” является хорошим и не имеет однозначного ответа. Обычно в таких моделях “выгодным” называется центральное положение вершины. Под центральностью вершины подразумевается такое положение, при котором через нее проходит много путей, соединяющих какие-то другие вершины сети. Простыми словами, человек стремится быть полезным посредником для большого количества других людей. Мы определили взвешенный аналог этой функции центральности — weighted betweenness centrality — и предложили использовать его как функцию выигрыша в теоретико-игровой модели: то есть каждая вершина стремится увеличить свою центральность, при этом с наименьшими усилиями», — рассказал первый автор исследования, студент магистратуры кафедры дискретной математики МФТИ Иван Самойленко.

Ученые проанализировали возникающие в модели структуры аналитически, а также симулировали на компьютере эволюцию социального графа, рост которого регулируется простым правилом компенсации. Это правило уравновешивает затраты, понесенные узлами (людьми) при поддержании соединений (социальных связей), и выгоду, получаемую от них.

«Люди часто стремятся приобрести “ценные связи” или сами стать “нужным человеком”. Однако поддержание таких связей требует определенных усилий и затрат, так что реально возникнут лишь те связи, для которых игра стоит свеч: выгоды превышают издержки. В нашей модели мы изучаем ситуацию, когда такой балансировкой занимаются одновременно все агенты в сети, и возникающие при этом глобальные эффекты.

Важно, что размер выгод зависит от уже сложившихся связей, то есть решения агентов влияют друг на друга. Мы строго показываем, что в равновесии, когда ни один агент уже не хочет ничего менять, сеть имеет диаметр, не зависящий от размеров системы и равный шести. Это и есть эффект “сверхтесного мира” — и, что примечательно, именно для знаменитой константы шесть. Кроме теоретического анализа, мы провели компьютерную симуляцию, в которой при простых правилах эволюции сети, когда выгодные связи заводятся, а невыгодные разрываются, глобальная картина довольно быстро приходит к закону шести рукопожатий. Таким образом, наше исследование показывает, как индивидуальные устремления людей в сети складываются в общую картину», — добавил доцент кафедры дискретной математики МФТИ Даниил Мусатов.

АВТОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ

И. Самойленко1,2,* , Д. Алея3,4,5,* , Э. Примо3,5 , К. Альфаро-Биттнер3,5 , Е. Васильева1,6 , К. Коваленко7 , Д. Мусатов1,8,9 , Райгородский А.М.1,9,10,11 , Р. Криадо3,5,12 , М. Романтика3,5,12 , Д. Папо13,14 , М. Перк15,16,17,18,19 , Б. Барзель20,21,22 и С. Боккалетти1,3,5,23,24

• 1 Московский физико-технический институт, 141701, Московская область, Долгопрудный, Институтский переулок, д. 9

• 2 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Россия, 119048, Москва, ул. Усачева, д. 6

• 3 Universidad Rey Juan Carlos, Calle Tulipán s/n, 28933 Мостолес, Мадрид, Испания

• 4 Кафедра внутренних болезней, Мичиганский университет, Анн-Арбор, Мичиган 48109, США

• 5 Лаборатория математических вычислений в сложных сетях и их приложениях, Королевский университет им. Хуана Карлоса, Calle Tulipán s/n, Мостолес, 28933 Мадрид, Испания

• 6 П.Н. Лебедева РАН, Ленинский проспект, 53, Москва 119991, Россия

• 7 Scuola Superiore Meridionale, Largo S. Marcellino, 10, 80138 Napoli NA, Италия

• 8 Российская академия народного хозяйства и государственной службы, Россия, 119606, Москва, проспект Вернадского, д. 84

• 9 Кавказский математический центр Адыгейского государственного университета, ул. Первомайская, 208, Майкоп, Адыгея, 385000, Россия

• 10 Московский государственный университет, Ленинские горы, 1, Москва 119991, Россия

• 11 Институт математики и компьютерных наук Бурятского государственного университета, 670000, Республика Бурятия, Улан-Удэ, ул. Ранжурова, д. 5

• 12 Исследовательский институт данных, сложных сетей и кибербезопасности, Королевский университет им. Хуана Карлоса, Plaza Manuel Becerra 14, 28028 Мадрид, Испания

• 13 Кафедра неврологии и реабилитации, Университет Феррары, Феррара, Италия

• 14 Центр трансляционной нейрофизиологии речи и коммуникации, Fondazione Istituto Italiano di Tecnologia, Феррара, Италия

• 15 Факультет естественных наук и математики, Мариборский университет, Корошка цеста 160, 2000 Марибор, Словения

• 16 Департамент медицинских исследований, Больница Китайского медицинского университета, Китайский медицинский университет, Тайчжун 404332, Тайвань

• 17 Complexity Science Hub Vienna, Josefstädterstraße 39, 1080 Вена, Австрия

• 18 Alma Mater Europaea, Slovenska ulica 17, 2000 Марибор, Словения

• 19 Факультет физики, Университет Кён Хи, 26 Кёнхэдэ-ро, Тондэмун-гу, Сеул, Республика Корея

• 20 Кафедра математики, Университет Бар-Илан, Рамат-Ган, 52900, Израиль

• 21 Многопрофильный исследовательский центр Гонды, Университет Бар-Илан, Рамат-Ган, 52900, Израиль

• 22 Институт сетевых наук, Северо-восточный университет, Бостон, Массачусетс, 02115, США

• 23 CNR — Институт сложных систем, Via Madonna del Piano 10, I-50019 Sesto Fiorentino, Италия

• 24 Лаборатория сложных систем, факультет физики, Индийский технологический институт, Индор-Симрол, Индор 453552, Индия

• * Эти авторы внесли одинаковый вклад в эту работу.