Бесконечность - это абстрактное понятие, используемое для описания чего-то бесконечного или безграничного. Оно имеет большое значение в математике, космологии, физике, вычислительной технике и искусстве.
Фрактал - это абстрактный математический объект, используемый в искусстве и для моделирования природных явлений. Записанные в виде математического уравнения, большинство фракталов нигде не дифференцируются. При просмотре изображения фрактала это означает, что вы можете увеличить масштаб и увидеть новые детали. Другими словами, фрактал можно бесконечно увеличивать.
Снежинка Коха - интересный пример фрактала. Снежинка начинается как равносторонний треугольник. На каждой итерации фрактала: Каждый отрезок линии делится на три равных отрезка.
Строится равносторонний треугольник, основанием которого служит средний сегмент, направленный наружу. Отрезок линии, служащий основанием треугольника, удаляется. Этот процесс можно повторять бесконечное число раз. Получившаяся снежинка имеет конечную площадь, но ограничена бесконечно длинной линией.
У бесконечности есть свой особый символ: ∞. Этот символ, иногда называемый лемнискатой, был введен священнослужителем и математиком Джоном Уоллисом в 1655 году. Слово "лемниската" происходит от латинского слова lemniscus, что означает "лента", а слово "бесконечность" происходит от латинского слова infinitas, что означает "безграничный".
Возможно, Уоллис взял за основу символа римскую цифру 1000, которую римляне использовали для обозначения "бесчисленного количества" в дополнение к числу. Также возможно, что в основе символа лежит омега (Ω или ω), последняя буква греческого алфавита.
Концепция бесконечности была понята задолго до того, как Уоллис дал ей символ, который мы используем сегодня. Примерно в IV или III веке до нашей эры в джайнском математическом тексте "Сурья Праджнапти" числа были названы либо перечислимыми, либо неисчислимыми, либо бесконечными. Греческий философ Анаксимандр использовал произведение apeiron для обозначения бесконечного. Зенон из Элеи (родился около 490 года до н.э.) был известен парадоксами, связанными с бесконечностью.
Из всех парадоксов Зенона самым известным является парадокс о черепахе и Ахиллесе. В этом парадоксе черепаха вызывает греческого героя Ахиллеса на состязание, при условии, что черепахе будет предоставлена небольшая фора. Черепаха утверждает, что выиграет гонку, потому что, когда Ахилл догонит ее, черепаха пройдет немного дальше, увеличив дистанцию.
Если говорить проще, представьте, что вы пересекаете комнату, проходя половину расстояния с каждым шагом. Сначала вы покрываете половину расстояния, и остается половина. Следующий шаг - половина от половины, или четверть. Три четверти расстояния пройдены, но остается четверть. Следующий шаг - 1/8 часть, затем 1/16 часть и так далее. Хотя каждый шаг приближает вас, вы никогда не достигнете другого конца комнаты. Вернее, достигнете, сделав бесконечное количество шагов.
Число Пи как пример бесконечности
Другим хорошим примером бесконечности является число π или пи. Математики используют символ для обозначения числа пи, потому что записать его невозможно. Пи состоит из бесконечного числа цифр. Его часто округляют до 3,14 или даже 3,14159, но сколько бы цифр вы ни записали, до конца дойти невозможно.
Одним из способов осмысления бесконечности является теорема об обезьяне. Согласно этой теореме, если дать обезьяне пишущую машинку и бесконечное количество времени, то в конце концов она напишет "Гамлета" Шекспира. Хотя некоторые люди считают, что теорема говорит о том, что все возможно, математики рассматривают ее как доказательство того, насколько невероятны некоторые события.
Различные размеры бесконечности
Бесконечность безгранична, но она бывает разных размеров. Положительные числа (те, что больше 0) и отрицательные числа (те, что меньше 0) можно рассматривать как бесконечные множества одинакового размера. Однако что произойдет, если объединить оба множества? Получится множество в два раза больше. В качестве другого примера рассмотрим все четные числа (бесконечное множество). Это бесконечное множество вдвое меньше всех целых чисел.
Другой пример - простое прибавление 1 к бесконечности. Число ∞ + 1 > ∞.
Космология и бесконечность
Космологи изучают Вселенную и размышляют о бесконечности. Продолжается ли космос без конца и края? Этот вопрос остается открытым. Даже если физическая Вселенная, как мы ее знаем, имеет границу, остается рассмотреть теорию мультивселенной. То есть наша вселенная может быть лишь одной из бесконечного числа вселенных.
Деление на ноль - это запрет в обычной математике. В обычной схеме вещей число 1, деленное на 0, не может быть определено. Это бесконечность. Это код ошибки. Однако это не всегда так. В расширенной теории комплексных чисел 1/0 определяется как форма бесконечности, которая не распадается автоматически. Другими словами, существует более одного способа заниматься математикой.
