Как построить график и определить формулу по имеющимся точкам (автоматически). И немного про регрессионный анализ
Если хотите сразу быстро, прокрутите до части II.
Существуют разные математические операции.
► 1. Известны два слагаемых — нам требуется операция сложения.
Пример:
2+3 = a
a = 5
► 2. Известно одно слагаемое и результат — нам требуется операция вычитания.
Пример:
1+a = 2
a = 2-1
a = 1
► 3. Известны два множителя — нам требуется операция умножения.
Пример:
3*4 = a
a = 12
► 4. Известен один множитель и результат — нам требуется операция деления.
Пример:
2*a = 6
a = 6/2
a = 3
► 5. Известно число и степень, в которую оно возводится, — нам требуется операция возведения в степень.
Пример:
5^2 = a
a = 25
► 6. Известна степень, в которую возводится число, и результат — нам требуется операция извлечения корня (или возведение в дробную степень).
Пример:
a^3 = 27
a = ∛27 = 27^(1/3) = 3
► 7. Известно число и результат, который получается при возведении числа в некоторую степень, — нам требуется логарифм.
Пример:
4^a = 64
a = log_4(64)
a = 3
(если кто не знал, как связана возведение в степень, извлечение корня и нахождение логарифма)
► 8. Известна формула графика и значение аргумента. Если мы хотим узнать значения функции — нам требуется подставить значение в формулу.
Пример:
y = 2 * x + 4,
где x = 3, тогда
y = 2 * 3 + 4
y = 10
► 9. Известна формула графика и значение функции. Если мы хотим узнать значение аргумента — нам требуется подставить значения в формулу.
Пример:
y = 3 * x^2 + 2,
где y = 29, тогда
29 = 3 * x^2 + 2
27 = 3 * x^2
x^2 = 9
x = √9
x = 3
► 10. Известны два или несколько значений аргумента и принимаемых при этом значений функции. Хотим узнать формулу графика. Для этого нам требуется регрессионный анализ.
Так что то, что делалось в школе было своеобразной подготовкой, пусть и на более простых линейных уравнениях.
Впрочем, вот готовый инструмент.
Вставляйте в качестве X и Y показатели, и будет рассчитываться коэффициенты для графика.
Если вы ещё не знакомы с Desmos, то это очень удобный сервис по построению графиков, решению задач и прочему.
Помимо построений по заданным точкам и формулам, если графиков несколько, то можно их нарисовать несколько, а потом определить их точки пересечения.
Есть и возможность "зарисовывать" области, что помогает при интегралах, там же можно добавлять граничные условия, многое другое.
Подробнее можно почитать и посмотреть тут (пройтись по всем интерактивным примерам):
ТЕОРИЯ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА
А). В общем случае график функции выглядит так. Линейная зависимость.
y = k * x + bВ обычном случае подставляются значения первой и второй точки, решается система уравнений. Но можно использовать инструмент выше.
где k — часто угол наклона,
b — часто величина подъёма.
Б). Ещё в более общем виде график может выглядеть так. Нелинейная (часто квадратичная) зависимость.
y = k * x^n + b
где n — позволяет описать степенную функцию (аналог параболы при положительных значениях выше 1, гипербола при отрицательных). Часто n=2.
В). Иногда может быть логарифмическая зависимость:
y = k * ln(x) + b
В реальной жизни часто имеются "точки" (показатели X, Y) и бывает нужно найти хотя бы приблизительную "формулу графика", некоторые тенденции — такие данные суть статистики.
А статистика применяется в различных сферах знаний — медицина, социальные науки, финансы, эконометрика и др.
Например, ориентировочно знаем, на сколько увеличивается выпуск продукции при росте капиталовложений (X1, Y1; X2, Y2; X3, Y3). Вероятно, будет некоторая логарифмическая зависимость, получилась бы какая-то формула. А была бы формула, могло бы быть интересно, сколько будет Y4 при заданном X4.
Или, например, имеются показатели ВВП на душу населения (с поправкой на инфляцию) за 10 лет. И показатели продаж, ну, допустим, импортных автомобилей. Будет, скорее всего, некоторая линейная зависимость. И если точный график мог бы не так помочь, то как минимум приблизительно можно было судить о некоторой взаимозависимости факторов (или, так называемой, "корреляции"), которая может быть как положительной (растёт X, растёт Y), так и отрицательной (растёт X, падает Y). Аналитиками также мог бы добавиться дополнительный показатель, так называемый коэффициент "автокорреляции" (поправка на время), поскольку в этом примере идёт некоторый анализ "временных рядов".
А то, насколько приблизительно "правильной" получится модель, мог бы сказать, так называемый, показатель R^2, его ещё называют "коэффициентом детерминации". Который характеризует "плотность выборки" (чем ближе к 1, тем точнее), или точность между имеющимися точками и проходящим через них графиком.
Например,
y = k * x + b
x = [1, 2, 3]
y = [1, 3, 5]
даст
R^2 = 1
k = 2
b = -1
Потому что это та самая формула.
А предположи мы, что формула
y = k * x^2 + b,
тогда
R^2 = 0,9796
и менее красивые коэффициенты k и b.
Что очень близко, согласитесь, положительная часть графика параболы ведь почти проходит через нужные точки, поэтому он и не равен 1 (иногда в реальных задачах по анализу тенденций показатель R^2 до 0,9 — считается вполне терпимым, хотя лучше 0,99+).
В заключение.
Сначала идёт "сложение", потом "умножение", затем базирующееся на этом "возведение в степень". Увеличивается уровень абстракции, пусть и можно было бы обойтись одним сложением и вычитанием (например, как при японском способе умножения требуются только эти две простые операции).
Так что изучение базы в целом полезно, а также важен подход к обучению. Тогда можно во многом разобраться, в том числе и с регрессией и всяким таким.
Надеюсь, было немного интересно.
Два графика с Desmos. Остальное собственное — CC0.
Как я подслушивал лекции с бутербродом
Первое время мне очень хотелось поступить на факультет ВМ (высшая математика), но не взяли. Медленно соображаю в матане, да и другие, более достойные кандидаты были.
Диплом магистра решил писать с очень большим уклоном на мат.часть, а именно на ЦОС (цифровая обработка сигналов). Тема: "восстановление расфокусированных изображений". Направление было выбрано именно такое так как тема была интересна, а там как получится (может и восстановление смазанных смогу осилить)...
Но вот проблема, ЦОС на моем факультете (программное обеспечение ВС) не преподавался, даже близко ничего похожего не было, а тему уже выбрал, учебники прочел, застрял с дипломом. Беда.
От одного очень хорошего преподавателя с кафедры ВМ узнал, что Умняшкин (имя реальное) занимается ЦОС-ом, в моей теме он как рыба в воде. Возникла другая проблема, его лекции проходили для узкого круга студентов с ВМ, в очень маленькой аудитории. А еще его лекции начинались так, что я бы постоянно прерывал его чтобы попасть на лекцию. Неудобно. А со своего предмета тоже не мог уйти. Сошлись же звезды именно так...
Нашел решение: захожу в соседнюю аудиторию (она была свободна) и слушаю лекцию через стенку. Все было слышно, даже как препод по доске мелом писал, только ничего не видно, зато ем бутер, чаек пью как царь, впитываю знания... Прихожу довольный на следующую лекцию, захожу в эту же аудиторию и что вы думаете? Общащный сосед, который учится на следующем курсе (ВМ) и живет за стенкой, сидит и переслушивает лекцию через кружку.
Ну что делать, поздоровался и сел рядом XD
Интригал - разрешитель интриг
Был у нас в инсте один очень вушлый парень. Насколько знаю, за все 6 лет обучения он никогда ничего не учил, ну или почти не учил.
И была у парнишки особенность, которая выяснилась позже: в учёбе он плавал, но так, как никто не плавает и всегда как-то выплывал, как какаха в проруби. Присутствовал на многих лекциях, но ничего не слушал. Что с ним сейчас - не знаю.
Сдача экзамена, для него, была равносильна подготовке шпор. Обычно готовил сам, но на одном экзамене осечка вышла, пришлось брать чужие.
И вот сидим на экзамене, к нему подходит аспирант и начинается разговор:
П: ... А это интригал. Пишется так... Смысл такой-то...
Аспирант с юмором и с серьёзным лицом подыгрывает: не забудьте рассказать о том почему его итегра... Извините, интригалом назвали...
П: почему?
А: ну мы же сумму не знаем...
Паренёк подхватил идею или что в голову пришло и понес: а, ну да, вспомнил. Значит так, сумму мы не знаем, в том-то и вся интрига. Но интригал позволяет нам просуммировать бесконечно малые на отрезке [a, b] и, таким, образом, вычислить площадь фигуры... Вот отсюда у него такое название "интригал".
А: интригал - разрешитель интриг
И смеются вместе :)
Ну поставьте мне 2, пожалуйста...
Первый экзамен по матану в моей жизни. Подготовился плохо, сдаю какому-то очень доброму аспирату. Аспирант-то добрый, видит что старался, но тему не понимаю, следовательно об оценке выше тройки и речи быть не может. Спрашивает меня о какой-то теореме, я рассказываю. Иногда аспирант шуткует по-доброму, а потом говорит: откуда вы это все взяли, кто вас научил так доказывать? Я молча незаметно тычу пальцем впереди сидящего лектора и добавляю, что еще пытался в фихтенгольце разобрать доказательства, но не получилось.
То ли звезды сошлись, то ли лектор сказал ставить всем минимум трояки чтобы на пересдаче не было горы народа. В общем аспирант хочет поставить тройбан, берет зачетку.
Я знаю, что с трояком стипендии мне не видать и говорю: не савьте тройку. Да, я не подготовился, разрешите пересдать.
А: никаких пересдач, ставит тройку.
Я уже нахально вырываю зачетку, но пытаюсь как бы не сильно нахально это делать. И говорю: я не готов, поставьте мне 2 и я пересдам.
А: какую 2, успокойтесь, я вам 3 ставлю.
Я: но я 2 хочу!
Аспирант видит такое дело, будет он еще спорить со мной, пошли с ним к лектору.
Подходим, аспирант: Татьяна Васильевна, тут студент 2 хочет, а знает он на 3.
Татьяна Васильевна смотрит на меня и говорит: так ставь ему 3, и так полно людей на пересдаче будет!
Я: Татьяна Васильевна, но я не готов, понимаете, я ничего не знаю.
Татьяна Васильевна перевела взгляд на меня: как ничего не знаешь? Тебе же 3.
Я: ну я не знаю теорему Коши, не знаю принцип Вейерштрасса, не помню правило Лопиталя, не помню формулу Тейлора (притворился что вообще ничего не помню)...
Вся аудитория перевела на меня взгляд, Татьяна Васильевна сидит выпучив глаза типа: "ОФИГЕТЬ НЕ ВСТАТЬ ЧТО ДЕЛАЕТСЯ": ставь ему 2, с такими пробелами только на пересдачу.
Я: спасибо Вам большое :)
Друг познается в чате
«Чат на чат» — новое развлекательное шоу RUTUBE. В нем два известных гостя соревнуются, у кого смешнее друзья. Звезды создают групповые чаты с близкими людьми и в каждом раунде присылают им забавные челленджи и задания. Команда, которая окажется креативнее, побеждает.
Реклама ООО «РУФОРМ», ИНН: 7714886605
Авторитет
Лекция по мат.анализу. Сижу на галерке и краем глаза слушаю очень крутого МГУшного лектора, пытаюсь успеть записать вывод числ PI, в детали не вникаю.
Лектор трудится, выводит... Закончил вывод, вычисляет значение и оказывается, PI = 4.73... Лектор быстро поворачивается к аудитории, отряхивает ладони от мела и говорит: ну вот, на самом деле PI = 4.73..., а не 3.14... как все ошибочно считают.
Аудитория молчит, я в шоке от результата. Кто-то с первой парты (а там сидят прикладные математики) спросил: что, правда что ли?
Снова молчание. Лектор смотрит на аудиторию, ждет вопосов. Но вопросов нет, поворачивается чтобы подойти к доске и начать доказательство новой теоремы. Я не вытерпел и нагло кричу: офигеть мы доехали! я сам лично делил длину окружности на диаметр и там было 3.14...
Лектор: ну слава богу хоть кто-то. Я тоже офигел от того, что все поверили. Где-то в выводе ошибся, потому и ерунда получилась...