Natural numbers k such that concatenation of the first k positive integers ending with 1, 3, 7, or 9 (starting with 1) is prime:

2, 3, 5, 136, ...

Натуральные числа k, такие что конкатенация (приписывание подряд) первых k положительных целых чисел, оканчивающихся на 1, 3, 7 или 9 (начиная с 1), является простым числом:

2, 3, 5, 136, ...

Натуральное число n назовём непривычным, если сумма кубов всех его собственных делителей (включая 1) равна n^2.

Имеется предположение, что единственным непривычным числом является число 6. Как это доказать или опровергнуть?

Назовём крутым натуральное число, которое увеличивается в 4,5 раза, если в нём поменять местами цифры.

а) Найдите хотя бы одно крутое число;

б) Докажите, что крутых чисел бесконечно много;

в) Найдите хотя бы два непересекающихся бесконечных семейства крутых чисел.

На Ленинградской олимпиаде 1972-го года предлагалась следующая задача:

Существует ли натуральное число, сумма цифр квадрата которого равна 1972?

Мне удалось найти натуральное число, у которого не только сумма цифр квадрата равна 1972, но и сумма цифр самого числа также равна 1972.

Сделайте это и вы, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.

Легко представить номер текущего года, сиречь число 2025, в виде суммы кубов пяти целых чисел: 2025=1000+1000+27+(-1)+(-1)=10^3+10^3+3^3+(-1)^3+(-1)^3.

А можно ли сделать это так, чтобы все 5 чисел были по модулю меньше 10?

Только чур, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.

Выписываем наименьшее простое число, затем его порядковый номер, затем следующее простое число и его порядковый номер и так далее. Всё это пишем друг за другом без пробелов. Если так написать первые 11 простых чисел с их номерами, получится число

2132537411513617719823929103111

, которое тоже простое. Красиво, правда?

Число 213253 также простое и построено по тому же принципу.
А вот третьего такого числа, кажется, нет. Во всяком случае, компьютерная проверка вплоть до первых 60 простых чисел не дала результата.
Если вдруг обнаружите новый «успешный» пример — это будет маленькая сенсация!

Задача про хвост «2121…21».

Докажите, что сколько бы раз Дождливая Аня ни выписала подряд без пробелов число 21, найдётся точный квадрат, десятичная запись которого оканчивается на выписанное Аней число.