Почему математика так хорошо описывает реальность?
Вступление
Одна из самых интересных проблем философии науки — это связь математики и физической реальности. Почему математика так хорошо описывает происходящее во вселенной? Ведь многие области математики были сформированы без какого-либо участия физики, однако, как в итоге оказалось, они стали основой в описании некоторых физических законов. Как это можно объяснить?
Наиболее явно этот парадокс можно наблюдать в ситуациях, когда какие-то физические объекты были сначала открыты математически, а уже потом были найдены доказательства их физического существования. Наиболее известный пример — открытие Нептуна. Урбен Леверье сделал это открытие просто вычисляя орбиту Урана и исследуя расхождения предсказаний с реальной картиной. Другие примеры — предсказание Дираком о существовании позитронов и предположение Максвелла о том, что колебания в электрическом или магнитном поле должно порождать волны.
Ещё более удивительно, что некоторые области математики существовали задолго до того, как физики поняли, что они подходят для объяснения некоторых аспектов вселенной. Конические сечения, изучаемые ещё Аполлонием в древней Греции, были использованы Кеплером в начале 17 века для описания орбит планет. Комплексные числа были предложены за несколько веков до того, как физики стали использовать их для описания квантовой механики. Неевклидова геометрия было создана за десятилетия до теории относительности.
Почему математика так хорошо описывает природные явления? Почему из всех способов выражения мыслей, математика работает лучше всего? Почему, например, нельзя предсказать точную траекторию движения небесных тел на языке поэзии? Почему мы не можем выразить всю сложность периодической таблицы Менделеева музыкальным произведением? Почему медитация не сильно помогает в предсказании результата экспериментов квантовой механики?
Лауреат нобелевской премии Юджин Вигнер, в своей статье «The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences», также задается этими вопросами. Вигнер не дал нам каких-то определенных ответов, он писал, что «невероятная эффективность математики в естественных науках — это что-то мистическое и этому нет рационального объяснения».
Альберт Эйнштейн по этому поводу писал:
Как может математика, порождение человеческого разума, независимое от индивидуального опыта, быть таким подходящим способом описывать объекты в реальности? Может ли тогда человеческий разум силой мысли, не прибегая к опыту, постичь свойства вселенной? [Einstein]
Давайте внесем ясность. Проблема действительно встает, когда мы воспринимаем математику и физику как 2 разные, превосходно сформированные и объективные области. Если смотреть на ситуацию с этой стороны, то действительно непонятно почему эти две дисциплины так хорошо работают вместе. Почему открытые законы физики так хорошо описываются (уже открытой) математикой?
Этот вопрос обдумывался многими людьми, и они дали множество решений этой проблемы. Теологи, например, предложили Существо, которое строит законы природы, и при этом использует язык математики. Однако введение такого Существа только все усложняет. Платонисты (и их кузены натуралисты) верят в существование «мира идей», который содержит все математические объекты, формы, а так же Истину. Там же находятся и физические законы. Проблема с Платонистами в том, что они вводят ещё одну концепцию Платонического мира, и теперь мы должны объяснить отношение между тремя мирами (прим. переводчика. Я так и не понял зачем третий мир, но оставил как есть). Так же встает вопрос являются ли неидеальные теоремы идеальными формами (объектами мира идей). Как насчет опровергнутых физических законов?
Наиболее популярная версия решения поставленной проблемы эффективности математики заключается в том, что мы изучаем математику, наблюдая за физическим миром. Мы поняли некоторые свойства сложения и умножения считая овец и камни. Мы изучили геометрию, наблюдая за физическими формами. С этой точки зрения, неудивительно, что физика идет за математикой, ведь математика формируется при тщательном изучении физического мира. Главная проблема с этим решением заключается в том, что математика неплохо используется в областях, далеких от человеческого восприятия. Почему же спрятанный мир субатомных частиц так хорошо описывается математикой, изученной благодаря подсчетам овец и камней? почему специальная теория относительности, которая работает с объектами, двигающимися со скоростями близкими к скорости света, хорошо описывается математикой, которая сформирована наблюдением за объектами, двигающимися с нормальной скоростью?
В двух статьях (раз, два) Макр Зельцер и Я (Носон Яновски) сформулировали новый взгляд на природу математики (прим. переводчика. В целом в тех статьях написано то же, что и здесь, но куда более развернуто). Мы показали, что также, как и в физике, в математике огромную роль играет симметрия. Такой взгляд дает довольно оригинальное решение поставленной проблемы.
Что есть физика
Прежде чем рассматривать причину эффективности математики в физике, мы должны поговорить о том, что такое физические законы. Говорить, что физические законы описывают физические феномены, несколько несерьезно. Для начала можно сказать, что каждый закон описывает много явлений. Например закон гравитации говорит нам что будет, если я уроню свою ложку, также он описывает падение моей ложки завтра, или что будет если я уроню ложку через месяц на Сатурне. Законы описывают целый комплекс разных явлений. Можно зайти и с другой стороны. Одно физическое явление может наблюдаться совершенно по-разному. Кто-то скажет, что объект неподвижен, кто-то, что объект движется с постоянной скоростью. Физический закон должен описывать оба случая одинаково. Также, например, теория тяготения должна описывать мое наблюдение падающей ложки в двигающимся автомобиле, с моей точки зрения, с точки зрения моего друга, стоящего на дороге, с точки зрения парня, стоящего у него на голове, рядом с черной дырой и т.п.
Встает следующий вопрос: как классифицировать физические явления? Какие стоит группировать вместе и приписывать одному закону? Физики используют для этого понятие симметрии. В разговорной речи слово симметрия используют для физических объектов. Мы говорим, что комната симметрична, если левая её часть похожа на правую. Иными словами, если мы поменяем местами стороны, то комната будет выглядеть точно также. Физики немного расширили это определение и применяют его к физическим законам. Физический закон симметричен по отношению к преобразованию, если закон описывает преобразованный феномен таким же образом. Например, физические законы симметричны по пространству. То есть явление, наблюдаемое в Пизе, так же может наблюдаться в Принстоне. Физические законы также симметричны по времени, т.е. эксперимент, проведенный сегодня должен дать такие же результаты, как если бы его провели завтра. Ещё одна очевидная симметрия — ориентация в пространстве.
Существует множество других типов симметрий, которым должны соответствовать физические законы. Относительность по Галиею требует, чтобы физические законы движения оставались неизменными, независимо от того неподвижен объект, или двигается с постоянной скоростью. Специальная теория относительности утверждает, что законы движения должны оставаться прежними, даже если объект движется со скоростью, близкой к скорости света. Общая теория относительности говорит, что законы остаются прежними, даже если объект движется с ускорением.
Физики обобщали понятие симметрии по-разному: локальная симметрия, глобальная симметрия, непрерывная симметрия, дискретная симметрия и т.д. Виктор Стенджер объединил множество видов симметрии по тем, что мы называем инвариантность по отношению к наблюдателю (point of view invariance). Это означает, что законы физики должны оставаться неизменными, независимо от того, кто и как их наблюдает. Он показал как много областей современной физики (но не все) могут быть сведены к законам, удовлетворяющими инвариантности по отношению к наблюдателю. Это означает, что явления, относящиеся к одному феномену, связанны, несмотря на то, что они могут рассматриваться по-разному.
Понимание настоящей важности симметрии прошло с теорией относительности Эйнштейна. До него люди сначала открывали какой-то физический закон, а потом находили в нем свойство симметрии. Эйнштейн же использовал симметрию, чтобы найти закон. Он постулировал, что закон должен быть одинаков для неподвижного наблюдателя и для наблюдателя, двигающегося со скоростью, близкой к световой. С этим предположением, он описал уравнения специальной теории относительности. Это была революция в физике. Эйнштейн понял, что симметрия — определяющая характеристика законы природы. Не закон удовлетворяет симметрии, а симметрия порождает закон.
В 1918 году Эмми Нётер показала, что симметрия ещё более важное понятие в физике, чем думали до этого. Она доказала теорему, связывающую симметрии с законами сохранения. Теорема показала, что каждая симметрия порождает свой закон сохранения, и наоборот. Например инвариантность по смещению в пространстве порождает закон сохранения линейного импульса. Инвариантность по времени порождает закон сохранения энергии. Инвариантность по ориентации порождает закон сохранения углового момента. После этого физики стали искать новые виды симметрий, чтобы найти новые законы физики.
Таким образом мы определили что называть физическим законом. С этой точки зрения неудивительно, что эти законы кажутся нам объективными, вневременными, независимыми от человека. Так как они инвариантны по отношению к месту, времени, и взгляду на них человека, создается впечатление, что они существуют «где-то там». Однако на это можно посмотреть и по-другому. Вместо того, чтобы говорить, что мы смотрим на множество различных следствий из внешних законов, мы можем сказать, что человек выделил какие-то наблюдаемые физические явления, нашел в них что-то похожее и объединил их в закон. Мы замечаем только то, что воспринимаем, называем это законом и пропускаем все остальное. Мы не можем отказаться от человеческого фактора в понимании законов природы.
Прежде чем мы двинемся дальше, нужно упомянуть о одной симметрии, которая настолько очевидная, что о ней редко когда упоминают. Закон физики должен обладать симметрией по приложению (symmetry of applicability). То есть если закон работает с объектом одного типа, то он будет работать и с другим объектом такого же типа. Если закон верен для одной положительно заряженной частицы, двигающейся со скоростью, близкой к скорости света, то он будет работать и для другой положительно заряженной частицы, двигающейся со скоростью такого же порядка. С другой стороны, закон может не работать для макрообъектов с малой скоростью. Все похожие объекты связанны с одним законом. Нам понадобится этот вид симметрии, когда мы будем обсуждать связь математики с физикой.
Что есть математика
Давайте потратим немного времени на то, чтобы понять самую суть математики. Мы рассмотрим 3 примера.
Давным давно какой-то фермер обнаружил, что если ты возьмешь девять яблок и соединишь их с четырьмя яблоками, то в итоге ты получишь тринадцать яблок. Некоторое время спустя он обнаружил, что если девять апельсинов соединить с четырьмя апельсинами, то получится тринадцать апельсинов. Это означает, что если он обменяет каждое яблоко на апельсин, то количество фруктов останется неизменным. В какое-то время математики накопили достаточно опыта в подобных делах и вывели математическое выражение 9 + 4 = 13. Это маленькое выражение обобщает все возможные случаи таких комбинаций. То есть оно истинно для любых дискретных объектов, которые можно обменять на яблоки.
Более сложный пример. Одна из важнейших теорем алгебраической геометрии — теорема Гильберта о нулях (https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Гильберта_о_нулях ). Она заключается в том, что для каждого идеала J в полиномиальном кольце существует соответствующее алгебраическое множество V(J), а для каждого алгебраического множества S существует идеал I(S). Связь этих двух операций выражается как , где  — радикал идеала. Если мы заменим одно алг. мн-во на другое, мы получим другой идеал. Если мы заменим один идеал на другой, мы получим другое алг. мн-во.
Одним из основных понятий алгебраической топологии является гомоморфизм Гуревича. Для каждого топологического пространства X и положительного k существует группа гомоморфизмов из k-гомотопичой группы в k-гомологичную группу. . Этот гомоморфизм обладает особым свойством. Если пространство X заменить на пространство Y, а  заменить на , то гомоморфизм будет другим . Как и в предыдущем примере, какой-то конкретный случай этого утверждения не имеет большого значения для математики. Но если мы собираем все случаи, то мы получаем теорему.
В этих трех примерах мы смотрели на изменение семантики математических выражений. Мы меняли апельсины на яблоки, мы меняли одну идею на другую, мы заменяли одно топологическое пространство на другое. Главное в этом то, что делая правильную замену, математическое утверждение остается верным. Мы утверждаем, что именно это свойство является основным свойством математики. Так что мы будем называть утверждение математическим, если мы можем изменить то, на что оно ссылается, и при этом утверждение останется верным.
Теперь к каждому математическому утверждению нам нужно будет приставить область применения. Когда математик говорит «для каждого целого n», «Возьмем пространство Хаусдорфа», или «пусть C — кокуммутативная, коассоциативная инволютивная коалгебра», он определяет область применения для своего утверждения. Если это утверждение правдиво для одного элемента из области применения, то оно правдиво для каждого (при условии правильного выбора этой самой области применения, прим. пер.).
Эта замена одного элемента на другое, может быть описана как одно из свойств симметрии. Мы называем это симметрия семантики. Мы утверждаем, что эта симметрия фундаментальна, как для математики, так и для физики. Таким же образом, как физики формулируют свои законы, математики формулируют свои математические утверждения, одновременно определяя в какой области применения утверждение сохраняет симметрию семантики (иными словами где это утверждение работает). Зайдем дальше и скажем, что математическое утверждение — утверждение, которое удовлетворяет симметрии семантики.
Если среди вас найдутся логики, то им понятие симметрии семантики будет вполне очевидно, ведь логическое высказывание истинно, если оно истинно для каждой интерпретации логической формулы. Здесь же мы говорим, что мат. утверждение верно, если оно верно для каждого элемента из области применения.
Кто-то может возразить, что такое определение математики слишком широкое и что утверждение, удовлетворяющее симметрии семантики — просто утверждение, не обязательно математическое. Мы ответим, что во-первых, математика в принципе достаточно широка. Математика — это не только разговоры о числах, она о формах, высказываниях, множествах, категориях, микросостояниях, макросостояниях, свойствах и т.п. Чтобы все эти объекты были математическими, определение математики должно быть широким. Во-вторых, существует множество утверждений, не удовлетворяющих симметрии семантики. «В Нью-Йорке в январе холодно», «Цветы бывают только красными и зелеными», «Политики — честные люди». Все эти утверждения не удовлетворяют симметрии семантики и, следоваиельно, не математические. Если есть контрпример из области применения, то утверждение автоматически перестает быть математическим.
Математические утверждения удовлетворяют также и другим симметриям, например симметрии синтаксиса. Это означает, что одни и те же математические объекты могут быть представлены по-разному. Например число 6 может быть представлено как «2 * 3», или «2 + 2 + 2», или «54/9». Также мы можем говорить о «непрерывной самонепересекающийся кривой», о «простой замкнутой кривой», о «жордановой кривой», и мы будем иметь в виду одно и то же. На практике математики пытаются использовать наиболее простой синтаксис (6 вместо 5+2-1).
Некоторые симметрические свойства математики кажутся настолько очевидными, что о них вообще не говорят. Например математическая истина инвариантна по отношению ко времени и пространству. Если утверждение истинно, то оно будет истинно также завтра в другой части земного шара. Причем неважно, кто его произнесет — мать Тереза или Альберт Эйнштейн, и на каком языке.
Так как математика удовлетворяет всем этим типам симметрии, легко понять почему нам кажется, что математика (как и физика) объективна, работает вне времени и независима от наблюдений человека. Когда математические формулы начинают работать для совершенно разных задач, открытых независимо, иногда в разных веках, начинает казаться, что математика существует «где-то там». Однако, симметрия семантики (а это именно то, что происходит) — это фундаментальная часть математики, определяющая её. Вместо того, чтобы сказать, что существует одна математическая истина и мы лишь нашли несколько её случаев, мы скажем, что существует множество случаев математических фактов и человеческий разум объединил их вместе, создав математическое утверждение.
Почему математика хороша в описании физики?
Ну что, теперь мы можем задаться вопросов почему математика так хорошо описывает физику. Давайте взглянем на 3 физических закона.
Наш первый пример — гравитация. Описание одного феномена гравитации может выглядеть как «В Нью-Йорке, Бруклин, Майн стрит 5775, на втором этаже в 21.17:54, я увидел двухсотграммовую ложку, которая упала и стукнулась о пол спустя 1.38 секунд». Даже если мы настолько аккуратны в наших записях, они нам не сильно помогут в описаниях всех явлений гравитации (а именно это и должен делать физический закон). Единственный хороший способ записать этот закон будет записать его математическим утверждением, приписав к нему все наблюдаемые явления гравитации. Мы можем сделать это, написав закон Ньютона . Подставляя массы и расстояние, мы получим наш конкретный пример гравитационного явления.
Точно также для того, чтобы найти экстремум движения, нужно применить формулу Эйлера-Лагранжа . Все минимумы и максимумы движения выражаются через это уравнение и определяются симметрией семантики. Конечно, эта формула может быть выражена и другими символами. Она может быть записана даже на эсперанто, в целом не важно на каком языке она выражается (на эту тему переводчик мог бы подискутировать с автором, но для результата статьи это не так важно).
Единственный способ описать взаимоотношения между давлением, объемом, количеством и температурой идеального газа — это записать закон . Все инстансы явлений будут описываться этим законом.
В каждом из трех приведенных примеров физические законы естественно выражаются только через математические формулы. Все физические явления, которые мы хотим описать, находятся внутри математического выражения (точнее в частных случаях этого выражения). В терминах симметрий мы говорим, что физическая симметрия применимости — частный случай математической симметрии семантики. Более точно, из симметрии применимости следует, что мы можем заменить один объект на другой (того же класса). Значит математическое выражение, которое описывает явление, должно обладать таким же свойством (то есть его область применения должна быть хотя бы не меньше).
Иными словами, мы хотим сказать, что математика так хорошо работает в описании физических явлений, потому-что физика с математикой формировались одинаковым образом. Законы физики не находятся в платоновом мире и не являются центральными идеями в математике. И физики, и математики выбирают свои утверждения таким образом, чтобы они подходили ко многим контекстам. В этом нет ничего странного, что абстрактные законы физики берут свое начало в абстрактном языке математики. Как и в том, что некоторые математические утверждения сформулированы задолго до того, как были открыты соответствующие законы физики, ведь они подчиняются одним симметриям.
Теперь мы полностью решили загадку эффективности математики. Хотя, конечно, есть ещё множество вопросов, на которые нет ответов. Например, мы можем спросить почему у людей вообще есть физика и математика. Почему мы способны замечать симметрии вокруг нас? Частично ответ на этот вопрос в том, что быть живым — значит проявлять свойство гомеостазиса, поэтому живые существа должны защищаться. Чем лучше они понимают своё окружение, тем лучше они выживают. Неживые объекты, например камни и палки, никак не взаимодействуют со своим окружением. Растения же, с другой стороны, поворачиваются к солнцу, а их корни тянутся к воде. Более сложное животное может замечать больше вещей в своем окружении. Люди замечают вокруг себя множество закономерностей. Шимпанзе или, например, дельфины не могут этого. Закономерности наших мыслей мы называем математикой. Некоторые из этих закономерностей являются закономерностями физических явлений вокруг нас, и мы называем эти закономерности физикой.
Можно задаться вопросом почему в физических явлениях вообще есть какие-то закономерности? Почему эксперимент проведенный в Москве даст такие же результаты, если его провести в Санкт-Петербурге? Почему отпущенный мячик будет падать с одинаковой скоростью, несмотря на то, что его отпустили в другое время? Почему химическая реакция будет протекать одинаково, даже если на неё смотрят разные люди? Чтобы ответить на эти вопросы мы можем обратиться к антропному принципу. Если бы во вселенной не было каких-то закономерностей, то нас бы не существовало. Жизнь пользуется тем фактом, что у природы есть какие-то предсказуемые явления. Если бы вселенная была полностью случайна, или похожа на какую-то психоделическую картину, то никакая жизнь, по крайней мере интеллектуальная жизнь, не смогла бы выжить. Антропный принцип, вообще говоря, не решает поставленную проблему. Вопросы типа «Почему существует вселенная», «Почему есть что-то» и «Что тут вообще происходит» пока остаются без ответа.
Несмотря на то, что мы не ответили на все вопросы, мы показали, что наличие структуры в наблюдаемой вселенной вполне естественно описывается на языке математики.
Взято отсюда https://habr.com/ru/post/390201/.
Оригинал:
https://arxiv.org/abs/1506.08426
Ложь, наглая ложь и статистика
Все, наверное, слышали эту фразу, приписываемую Марку Твену (впрочем, он сам утверждал, что она не его). Фраза не отдаёт должное такой замечательной дисциплине, как статистика. Статистика сама по себе не может лгать, ложью её либо по незнанию, либо намеренно, делают люди при толковании.
Люди воспринимают окружающую действительность через набор предрассудков, от которых никто по-настоящему не свободен. Предрассудки же эти основываются очень часто на ошибочных суждениях.
Начнём с шуточного вопроса: как, по-вашему, в среднем, на протяжении всей жизни больше сексуальных партнёров бывает у мужчин или у женщин?
Пример абстрактный, поэтому, несколько упростим задачу и рассмотрим только гетеросексуальные контакты. Если в поисках ответа провести опрос случайных прохожих, можно получить очень разные ответы, в зависимости от личного опыта и наблюдений респондента за своим окружением. Возможно, меня сочтут «Капитаном Очевидность», но всё же уточню момент, который, как выяснилось, не так уж и очевиден для некоторых: если мужчина имел сексуальный контакт с женщиной, то это автоматически значит, что и женщина имела сексуальный контакт с этим мужчиной – счёт 1:1.
Теперь посмотрим на тот факт, что женщин в целом на земле меньше, чем мужчин. Для наглядности, давайте представим себе «мир», в котором всего 4 женщины и 5 мужчин:
Думаю, теперь, глядя на эту диаграмму, очевидно, что вне зависимости от того, кто и сколько раз с кем-то переспал, общее количество сексуальных контактов у мужчин и у женщин должно совпадать. Но теперь, давайте разделим общее количество связей на количество мужчин:
7 / 5 = 1,4 – в среднем, один мужчина имеет 1,4 сексуальных партнёров.
Теперь ту же операцию проделаем с женской половиной:
7 / 4 = 1,75 – в среднем, у женщины 1,75 сексуальных партнёров, то есть на 25% больше, чем у мужчин. Ну а теперь, когда мы сделали это сенсационное открытие, представим заголовок:
Британские учёные: женщины занимаются сексом на 25% больше, чем мужчины!
Виновата в этом статистика? Нет! Британские учёные? Тоже нет!
Если задуматься, вовсе не обязательно было проводить опрос, в ходе которого, кстати, ещё и не исключено, что люди будут врать по такому деликатному поводу. Достаточно было разделить количество женщин на количество мужчин и получить ту же разницу в 25%.
Пример притянут за уши? Хорошо! А как вам скандал, начатый с публикации The Boston Globe так называемого «исследования», которое показало, что «…в среднем, представители меньшинств проводят больше занятий с представителями не меньшинств, чем наоборот…».
Причина просто в том, что они «меньшинства», то есть пример из реальной жизни в точности повторил тот абстрактный пример про секс чуть выше. Случилось то, что математически просто обязано было случиться.
Что ж, оставим эту ложь на совести журналистов из «The Boston Globe» и пойдём дальше.
Чтобы проиллюстрировать его, возьмём стереотип, будто красивые женщины всегда стервы. Стереотип родился, разумеется, не на пустом месте, а из «жизненных наблюдений». Чтобы доказать, что это всего лишь стереотип, построим график, где по горизонтальной оси будем отмечать степень привлекательности: от очень страшной до божественной красоты, а по вертикальной – характер: от милашки до стервы. Давайте будем честны, мы согласимся встречаться с женщиной только, если выполнится условие:
Характер + Внешность > X
Иными словами, наши кандидаты лежат в области, закрашенной красным, других мы просто проигнорируем.
Но это ещё не всё. Если мы встретим очень милую и очень красивую женщину, то, скорее всего, мы подумаем, что сами не очень-то и хороши для неё, и что сами не подходим под критерии её оценки, тем самым, мы искусственно «обрезаем» верхний правый угол нашей красной области:
Думаю, на графике уже видны корни данного стереотипа. Суть парадокса Берксона или «Ошибки Берксона» в том, что когда нам кажется, что между двумя событиями или факторами имеется корреляция (в рассмотренном случае зависимость между внешностью и характером), в действительности её может и не быть, так как мы сами исключили из «исследования» случаи, когда соблюдаются (или не соблюдаются) условия для обоих критериев.
Другой пример.
Представим себе больницу во время эпидемии гриппа. Сейчас мы станем «британскими учёными» и докажем, что грипп каким-то образом защищает нас от приступов аппендицита.
Исходим из следующих данных:
• 10% населения заражено гриппом
• В больнице доля заражённых разумеется больше: 30% пациентов поступило с гриппом
• 10% поступило с приступом аппендицита
Пациент с аппендицитом может, разумеется, заразиться ещё и гриппом, равно как и у больного гриппом может случиться приступ аппендицита. Наши вводные данные говорят нам, что больных, которых коснулись обе напасти, составляет 10% от 10%, то есть, 1% от всех пациентов:
Пациенты больницы: синие – грипп, красные – аппендицит, у одного пациента – и то, и другое.
Если случайным образом выбрать пациента, с 30% вероятностью, у него грипп, с 10% вероятностью – аппендицит.
Теперь давайте обследуем пациентов, не заражённых гриппом, и проверим, у скольких их них приступ аппендицита, то есть, обследуем мы только область, обведённую жёлтым:
Мы знаем следующее:
• У тридцати пациентов, больных гриппом, лишь у одного аппендицит
• Из 100 пациентов, аппендицит у 10 пациентов
• При этом аппендицит ещё у 9 пациентов из 72, не заражённых гриппом.
Произведём расчёт: у тех, кто не болеет гриппом, аппендицит у 12,9%. Это на 2,5% выше, чем 10% среди больных гриппом.
Ура! Получаем грант и пишем в пресс-релизе:
Британские учёные доказали, что грипп снижает риск приступов аппендицита на 2,5%!
Вам может показаться, что пример искусственный и притянут за уши? Однако, тем, кто сомневается, можно ознакомиться с делом несчастной Салли Кларк, потерявшей двух детей, умерших в результате синдрома внезапной детской смертности (СВДС), после чего против неё выдвинули обвинение в их убийстве. На суде выступал профессор-педиатр Рой Мидоу, давший показания о том, что вероятность наступления СВДС 1 к 8500, а вероятность наступления двух случаев – 1 к 72 миллионам. Только на основании этих статистических данных, 9 ноября 1999 года присяжные осудили Салли 10 голосами против 2, после чего она была приговорена к пожизненному заключению, после чего она с «репутацией» детоубийцы и дочери полицейского отправилась отбывать наказание. И лишь спустя 4 года, в 2003 её вторая апелляция возымела действие, когда приняли к сведению то, что в анализах крови и спиномозговой жидкости её второго сына присутствовала бактерия Staphylococuus aureus (Золотистый стафилококк).
Кларк выпустили на свободу, но её жизнь была окончательно сломлена и в 2007 году она скончалась от алкогольного отравления.
После этого случая в Великобритании были пересмотрены сотни дел, где в качестве доказательной базы использовались статистическим методы, а Королевское статистическое общество даже выпустило заявление, где выражалась озабоченность злоупотреблениями статистическими данными в судах.
Ошибка обвинителя состояла в предположении, что два события СВДС в одной семье являются независимыми, поэтому он просто возвёл 8500 в квадрат, получив цифру в ~73 млн. Пресса, далёкая от понимания происходящего растиражировала мнение, что «1 к 73 миллионам, что Салли Невиновна». Чтобы действительно оценить вероятность невиновности Салли, присяжные должны были сравнивать относительные вероятности разных версий смерти детей, а не только вероятность того, что она невиновна – наступление двух случаев СВДС – редкость, но статистически двойное детоубийство могло быть событием ещё более редким. Профессор математики Рэй Хилл, используя статистику СВДС по всей Великобритании, пришёл к выводу, что после первого случая СВДС, вероятность наступления второго возрастает в 5 – 10 раз. В своём исследовании, он пришёл к выводу, что в случае Салли, вероятность того, что она была убийцей составляла 1:9, в то время как вероятность повторного СВДС – 4,5:1. Если сравнить две вероятности, то, по сути, она могла быть невиновной в соотношении ½, а не 1/73000000.
Данный феномен называется «Заблуждение прокурора» (Prosecutor’s fallacy).
Систематическая ошибка выжившего
Эта реальная история времён второй мировой войны. Двигатели на самолётах были слабыми, поэтому бронировать самолёт целиком означало существенно сократить дальность полёта и боезапас. Поэтому венгерскому математику Абрахаму Вальду поставили задачу – найти оптимальную схему бронирования самолётов. В качестве исходных данных была предоставлена схема пробоин от снарядов, которые получили вернувшиеся из боя самолёты. Что-то вроде этого:
Вальд рассудил здраво, исследование показывает, что самолёт, получивший пробоины в данных местах, ещё может вернуться на базу. Самолёт, которому попали в двигатель или бензобак, выходит из строя и не возвращается. Поскольку попадания от вражеского огня на самом деле (в первом приближении) распределены равномерно, укреплять надо те места, которые у вернувшихся в массе наиболее «чистые».
К этой же ошибке можно отнести и расхожее мнение о доброте дельфинов, основанное на рассказах пловцов, которых животные толкали к берегу, но нет данных от тех, кого толкали в обратном направлении… или истории успеха известных людей, которые бросили учёбу в молодости, но всё равно добились успеха – никто не знает судьбы тех, кто поступил так же, но не стал ни богатым, ни знаменитым.
Очень часто можно слышать рассуждения о том, что «раньше было лучше». Говоря это, люди приводят в пример архитектуру прошлых лет, музыку, книги, фильмы и пр. Всё это – проявления всё той же систематической ошибки выжившего. До нас не дошли плохие здания, которые были разрушены со временем, как не дошли до нас ни всеми забытые плохие книги, фильмы и музыка.
Статистика в рекламе
Мы очень часто видим рекламу, в которой нам любезно сообщают, что «80% стоматологов рекомендуют нашу зубную пасту*» или нечто подобное (заметьте звёздочку после текста). Технически, реклама не врёт, если потратить время, докопаться до исследования, то можно будет увидеть нечто подобное:
Как показывает наше исследование, 80% стоматологов действительно порекомендовали зубную пасту «Бренд А» в опросе. Но что в рекламе не говорят, что «Бренд Б» так же порекомендовали 80% стоматологов. Говорит ли это что-нибудь о том, что паста А лучше других? Разумеется, нет!
Ещё глупее, если разобраться, выглядит реклама, говорящая, что волосы стали на 15% мягче, кожа – на 20% нежнее, и т. д.
Темпы роста и темпы прироста
Представим ситуацию, когда, например, в прошлом году уровень безработицы составлял 1% от количества занятых, а в этом году их число составило уже 2%. Два разных аналитика могут сказать два утверждения, однако подтексты будут абсолютно разными. Один скажет: «Уровень безработицы вырос на 100%!» и будет прав, так как, действительно если безработных было, скажем 100 тыс. человек, а теперь их стало 200 тыс., это означает 100% рост. Другой аналитик (на другом сайте или телеканале) напишет, что безработица поднялась на 1%, и тоже будет прав, так как был 1%, стало 2%. Если обыватель не будет вдаваться в детали, в первом случае он может подумать «Это катастрофа!», а во втором «1% – это не так уж и много».
Повышенные риски для здоровья
Когда мы слышим или читаем очередную статью, где написано «Учёные установили, {что-то} повышает риски заболеваний на {N}%», относиться к этому тоже надо с осторожностью. В этой связи показателен пример британской комиссии по безопасности лекарственных препаратов, которая в 1995 году выпустила пресс-релиз, в котором говорилось, что использование противозачаточных таблеток для женщин нового поколения повышает риски закупорки сосудов на 100% по сравнению с предыдущим препаратом.
В действительности же, исследование показывало, что если при использовании старых таблеток, лишь у одной женщины из 7000 развивались подобные симптомы, то с новыми таблетками таких женщин было уже две из 7000. И действительно, количество случаев выросло на 100%. Но если брать количество осложнений от общего количества обследованных, то рост составит всего 0,14%. Результатом этого пресс-релиза стало то, что десятки тысяч женщин отказались от приёма данного препарата, что, в свою очередь привело, к обвинениям данной комиссии в 13 тыс. случаев нежелательной беременности, особенно среди подростков.
Корреляция и причинно-следственная связь
Это не одно и то же. Пример – знаете ли вы то, что наличие вшей на вашей голове полезно для здоровья? Абсурд? Да, но в средневековье такое мнение было широко распространено. Дело в том, что люди с педикулёзом были, в целом, здоровы, а вот у больных людей вшей обычно не было. Это наблюдение позволило сделать неверный вывод о том, что вши положительно влияют на здоровье людей. В действительности же, эти насекомые оказались чувствительны к повышенной температуре человеческого тела и покидали носителя, у которого была лихорадка.
Дело в том, что корреляцию между двумя явлениями А и Б в статистике выявить довольно просто, но наличие корреляции ещё не доказывает причинно-следственной связи между двумя событиями, то есть, это не значит, что Б является следствием А.
Скорость вращения ветряного генератора коррелирует со скоростью ветра, но это не значит, что генератор является причиной возникновения ветра. Здесь причина и следствие перепутаны местами, это вам и ребёнок объяснит, однако, далеко не всегда ситуация настолько очевидна. Известное утверждение «жестокие компьютерные игры воспитывают в детях жестокость», – тому пример. Но что если предположить, что жестокие дети будут с большим удовольствием играть в жестокие игры?
Скрытые переменные
Хотел бы я, чтобы они пореже включали табличку насчёт ремней безопасности. Каждый раз, когда она включается, начинает трясти.
Давно известно, что если спать в ботинках, то с утра велика вероятность, что будет болеть голова, а если вы будете есть много мороженого, то рискуете получить сердечный приступ. Разумеется, это шутки, голова у вас болит с похмелья, потому что вы были слишком пьяны вчера вечером, чтобы снять обувь, а мороженое едят в основном летом, а при жаркой погоде повышается количество сердечных приступов.
Это шутки, конечно же, но вот исследование университета Пенсильвании, опубликованного в авторитетном и уважаемом журнале Nature в 1999 году показало, что сон при включённом свете вызывает развитие у детей миопии (близорукости). Но как выяснилось в более позднем исследовании университета Огайо, близорукие родители чаще оставляли на ночь включённый свет в детской, поэтому развитие близорукости у их детей связано не с включённым освещением, а с наследственными факторами.
Здесь мы имеем дело со скрытой переменной, когда между событиями А и Б причинно-следственная связь отсутствует, но есть скрытый от исследователя фактор В, являющийся причиной А и Б.
Таких примеров можно привести ещё много: выбросы углекислого газа в атмосферу вызывает ожирение, курящие студенты учатся хуже, чем некурящие.
Суть парадокса: для каждой из групп (синяя и красная линия) по отдельности проявляется положительная тенденция, но при их объединение (пунктир) – тенденция становится отрицательной.
Здесь хочется рассказать о нашумевшей истории 1973 года, когда университет в Беркли обвинили в дискриминации абитуриентов по половому признаку. И действительно, из 8442 мужчин, подавших заявку, к обучению были допущены 44%, тогда как из 4321 девушек допуск получили только 35%. Уже в то время это были достаточно серьёзные обвинения (в наши дни шум вообще бы поднялся до небес). Однако, если более детально взглянуть на ту же статистику, выявится несколько иная закономерность:
Как видно, по большей части факультетов доля допущенных к обучению женщин была даже больше, чем мужчин. Позднее, исследователи опубликовали работу, где наглядно было показано, что среди женщин наблюдалась тенденция подавать заявки на факультеты с большим конкурсом (например, факультет английского языка), в то время, как абитуриенты мужского пола чаще подавали заявки на факультеты с более низким конкурсом (инженерный и химический факультеты).
Визуальное представление и инфографика
Не секрет, что технологии манипуляции общественным мнением активно развиваются. Вот пример:
В 2019 году относительно существующего сейчас среднего размера пенсии в России (более 14 тыс. рублей) сумма повышения соответствует прибавке на 7,05% (при годовой инфляции 4,3%). Предполагается, что такой темп «в два раза выше инфляции» будет сохранен и в последующие годы, благодаря чему к 2024 году средний размер пенсионного обеспечения россиян составит 20 тыс. руб. (увеличение на 35% относительно 2018 года).
Посмотрите на левую и правую диаграммы. Они правдиво показывают одни и те же данные, однако, путём «правильного» подбора масштабов вертикальной шкалы можно добиться совершенно разного визуального впечатления.
Чтобы не быть голословным, приведу пример, где подобная инфографика буквально решала вопросы жизни и смерти – дело Терри Шайво. Вкратце, женщина находилась в больнице в вегетативном состоянии, и решался вопрос об её отключении от системы жизнеобеспечения. Родители же были против и прибегли к апелляции к общественному мнению, что впоследствии привело к серьёзным политическим дебатам в отношении вопроса о принудительном отключении подобных больных от системы питания. История довольно драматичная, но нам интересен результат опроса, проведённый CNN, а так же форма представления результатов:
Поскольку шкала начинается на 53, создаётся впечатление, что согласных отключить Терри от аппарата среди демократов во много раз больше. Согласитесь, если бы была приведена такая диаграмма, то впечатление бы не было столь сильным:
Подобные приёмы нашли широкое применение не только в политике, но и при составлении всевозможных рейтингов, хит-парадов, чартов и прочих маркетинговых инструментов.
Послесловие
Статистика – замечательная дисциплина, позволяющая анализировать данные, находить закономерности и связи, достоверно предсказывать развитие сложных систем, однако, как и любой другой инструмент, его обращение во благо или во зло находится на совести применяющего его человека. А сама наука тут не причём.
О случайностях, вероятностях и параллельных вселенных
Слышали ли вы о законе Мёрфи? Закон подлости, как его назвали на просторах СНД. Только вот суть этого закона охватывает намного более широкий спектр бытия, нежели банальный шанс стопроцентного падения бутерброда маслом вниз или выпадение дождя после мойки машины. Если предположить, что этот закон работает, причём для всех (однако в разной мере), можно ли говорить о том, что это происходит из-за того, что из бесконечного количества параллельных временных линий/вселенных со всеми возможными вариантами развития событий, вплоть до мельчайших отличий по типу каждого решения отдельного человека, ваш разум переходит в ту линию/вселенную, в которой случился худший вариант развития событий?
Нужно пару минут для раздумий, немного глюкозы для опухшего мозга. Кофе с сахаром идеальный вариант.
Как насчёт эффекта Манделы? Предполагаю, некоторые из вас точно на протяжении жизни сталкивались с такой вещью, как расхождение в некоторых мелких (или может даже крупных) деталях окружающего мира, эмблем всемирных компаний, исторических фактах, точных фраз известных людей и даже расположение стран и континентов. Расхождение между реальностью и вашей памятью. Вы помните, что в вашем детстве в городе был дом, внутри которого вы были, которого никогда не существовало? Или конфеты с лимонным вкусом, вы их так обожали будучи дошкольником, которых никогда не выпускали? Не конкретно это, конечно, что-то подобное. Это не чётко откладывается в памяти. Наверное вам это снилось? А вроде и шрам остался в том доме полученный, когда на гвоздь наступил. Или вы помните, что у вас был шрам, но сейчас его нет. Тут вариантов, как говорится, вагон и маленькая тележка. Как и пищи для раздумий, если вздумается.
Возможно вдумываться в это нецелесообразно, бесполезно. Тут не поспорю. Но меня это заинтересовало, поэтому мне необходимо мнение других людей по этому поводу. Которым это интересно, конечно же.
Это улеглось в вашей многострадальной коре головного мозга? Можно продолжить?
Что если существует ненулевой шанс существования людей, для которых закон Мёрфи работает с другим знаком. Наоборот значит. Везение, да.
В конкретной ситуации такой человек совершит такую последовательность действий, которая приведёт к лучшему результату. Сознательно был сделан или нет, его выбор здесь не играет роли, потому что он оказывается в той линии/вселенной, в которой эти действия привели к успеху (напомню, среди бесконечного количества вселенных вероятность любого события ненулевая). Но в тоже время другая линия времени может в разной степени не совпадать с предыдущей. Но память остаётся, хоть и размывается. Вернулись к конфетам, да.
И если существует, то как это проверить экспериментально? Как измерить удачу? А если удача работает только на ключевые события в жизни, а не на всё подряд?
Представьте себе тест. Напечатанные на бумаге 100 вопросов с пятью вариантами ответов в каждом, один правильный. У вас есть правильные ответы на каждый вопрос, вы можете выучить эту базу перед самим тестом. Какова вероятность того, что вы наберёте <90% правильных ответов, при том что выучили 1/3 часть правильных ответов, а в самом тесте вопросы расположены случайным образом (в базе 1000 вопросов с ответом, в тесте 100 рандомных вопросов из этой 1000)?
Ах да, угадывать нельзя, эти 90+ вопросов должны рандомно выпасть из тех 333/1000 что вы выучили. Посчитайте, если интересно. Не такой уж и малый шанс. А если я скажу что знаю человека, который таким образом успешно выполнял это задание на протяжении нескольких лет много десятков раз. Без неудач. Совсем.
Как думаете, как можно более подробно изучить это?
P.S. Галоперидол, аминазин не предлагать.
Как я Москву покорял(4. Американская рулетка)
Начало: Как я в казино работал (1. Начало).
Предыдущийпост: Как я Москву покорял(3. Мерчандайзер на демонстрации).
Я продолжал искать возможности устроится дилером и мне удалось записаться на тренинг во вновь открывающееся казино. Тренинг проходил в районе м.Спортивная и продолжался 3-4 часа. Этот был вариант позволявший одновременно с обучением работать мерчандайзером. Во многих крупных игорных домах Москвы оплачивали обучение тренистам в размере 50-100 долларов ежемесячно. В мелких казино такое встречалось реже. В моем случае платили всего 25 долларов. Здесь я наконец выучил "устные ставки" на рулетке, практически не встречавшиеся в региональных казино, но пользующиеся популярностью в столице. Именно из-за незнания трека на рулетке дилера из регионов не могли рассчитывать получить работу в московском заведении без дополнительного обучения.
Что же это за ставки? Искушенные игроки знают расположение чисел на колесе рулетки и заставляют номера из одного сектора. Таким образом они пытаются "поймать" дилера. Я уже упоминал что рулеточное колесо - это идеальный генератор случайных чисел и крупье кидающие определенный сектор это игра воображения. Но в любом случае игра на треке очень интересная и динамичная. Для устных ставок(англ. call bets) на сукне рулеточных столов нарисован трек(схема расположения чисел на колесе). На треке можно ставить "соседей" - число и по два соседних с каждой стороны. Например ставка на соседей "24" включает числа: 10,5,24,16,13. Ставка должна быть кратна пяти с шагом пять долларов. Если выпадает один из этих пяти номеров, дилер одну пятую ставки выставляет в номер.
Кроме соседей на треке можно ставить сектора. Voisins du zero(фр. соседи зеро), или просто "уазон" - ставка кратная 9-ти закрывает 17 чисел, практически половину. Tier(англ,фр. ярус)- "тьер", ставка кратная шести, закрывающая треть круга. Orphelins(фр. сироты) - "орфалайн", ставка кратная пяти, закрывает восемь чисел. Пять номеров находятся на одной стороне круга, а еще три числа напротив. Zero spiel(нем. игра зеро) - ставка кратная четырем закрывает семь чисел.
Во время спина(период когда шарик крутится по ободу рулетки) игроки делают не только ставки в поле, но и кидают дилеру фишки для ставок на треке. Игрок может бросить 200 долларов фишками и объявить: "Уазон по десять, соседи 26 по пятнадцать, сдача на зеро шпиль." Это означает что 90 долларов ставка на уазон(10*9=90), 75 на соседей(15*5=75), а оставшиеся на зеро шпиль, который будет играть по пять долларов(20/4=5). Остается 15 долларов сдача, т.к. мы не можем разделить их на четыре с шагом пять долларов. Дилеру нужно разменять фишки, выставить суммы ставок на объявленные поля и отдать сдачу. Все это можно успеть сделать за время спина, но если не получилось нужно объявить о закрытии ставок, выставить долли и проделать эти манипуляции уже без лишней спешки. Я привел пример устной ставки чуть выше средней сложности. За рулеткой спокойно могут играть семь и больше посетителей одновременно каждый из них может ставить устные ставки. Кроме приема устных ставок дилер должен следить чтобы ставки в поле были правильными, за три круга до падения шарика нужно закрыть ставки. На активно играющей рулетке, кроме дилера находится инспектор, следящий за правильной работой крупье и помогающий ему. Еще один член команды рулеточного стола - чипер. Он собирает проигравшие фишки с игрового поля, в стеки(столбики по 20 фишек). Если игроков за рулеткой много и один чипер не успевает, то могут поставить двух чиперов. В очень редких случаях я видел двух инспекторов на одной рулетке. Второй инспектор занимался множеством устных ставок от одного вип игрока , который решил сыграть на "бизи"столе(проф. жарг. занятой загруженный от англ.busy ). На каждом рулеточном столе стоит ограничения по максимальной и минимальной ставке в поле и на шансах. Стандартные минимумы максимумы: 1-25 в поле 25-500 на шансах; 2-50 в поле, 50-1000 на шансах. Нередко возникают спорные ситуации с неправильно принятой ставкой. Для решения таких споров в казино имеется высококлассное видеонаблюдение и микрофоны за каждым игровым столом.
На тренинге узнал интересный факт - сумма всех чисел на рулетке составляет 666. Заинтересовался, почитал про историю рулетки. Рулетка появилась и получила распространение во Франции. Пару веков тому назад приняла похожий на современный вид. Был период когда на рулетку действовала государственная монополия, еще кардинал Мазарини первым придумал собирать налог с игорного бизнеса. Поэтому многие термины имеют французские корни.
Существует много систем для обыгрывания рулетки. Самая известная система Мартингейла. Смысл ее в том чтобы с каждым проигрышем повышать следующую ставку. Систему эту обычно применяют при игре на равные шансы. Черное красное, чет-нечет. У нас в родном городе на рулетке часто сидел игрок и записывал на бумажке выпавшие цифры. Выигрывать он не выигрывал, но сидел за игрой долго. В московских заведениях пошли навстречу игрокам. На рулетках устанавливались электронные табло с последними 15 или 20-ю выпавшими номерами. Если этого мало, берите красивую картоночку удобным образом разлинованную под запись чисел и продолжайте статистические исследования. Я на таких табло видел все выпавшие числа одного цвета. Предлагаю посчитать какой будет размер ставки по Мартингейлу после 15 проигрышей подряд, если начальная ставка 25 долларов? Считается что математическая вероятность выпадения черного или красного на рулетке всегда одинакова, независимо от того сколько раз выпадало красное или черное до этого. Если выпадет зеро вы проиграете все ставки кроме тех что на зеро. Казино за счет одного зеро имеетна рулетке математический перевес в 1/37 или 2,7 %. Этот перевес заложен в выплаты в ставках на поле. Угадав номер вы получаете 36 фишек. Так если вы заставите все номера на поле вы потратите 37 фишек. Оплата же выпавшего будет 36. В США имеет распространение рулетка с двумя зеро. На такой рулетке перевес казино против игрока уже 5,2% или 2/38. Сначала на рулетках было два зеро. Одно зеро на рулетках появилось в середине 19-го века и более распространено в Европе. Я до сих пор не знаю почему в России рулетку с одним зеро называют американской.
Поиграем в бизнесменов?
Одна вакансия, два кандидата. Сможете выбрать лучшего? И так пять раз.
Обманывает ли нас казино? Базовая математика азартных игр.
Всем привет. В комментариях я упомянул, что по работе иногда имею дело с онлайн казино в качестве математика, и меня попросили рассказать, как вся эта магия работает. Текста будет довольно много.
Для начала небольшой дисклеймер:
Автор по образованию является криптографом, и его основная сфера деятельности - распределенная криптография, а не казино. С разработкой азартных игр ему приходилось иметь дело только частично, он не участвовал в процессе полностью от начала и до конца.
Думаю, на Пикабу найдутся люди, кто работал в этой сфере больше (особенно с точки зрения бизнеса, а не математики), они поправят неточности, если таковые возникнут.
Также, само собой, это НЕ является рекламой казино или азартных игр в целом. Азартные игры могут вызвать серьезную зависимость, и автор призывает дважды подумать, если Вы решите этим заняться. Пост носит исключительно информационный характер.
Написанное ниже в первую очередь относится именно к онлайн казино, хотя общие математические правила везде, конечно же, одни.
Теперь можно начинать. Многие привыкли думать, что казино - это место, где игрока пытаются нае обмануть всеми силами и любыми средствами вытянуть из него деньги.
Отчасти это правда. Во-первых, есть огромный рынок нелегальных казино, которые никак не регулируются, и может свободно обманывать своих игроков.
С другой стороны, "нелегальный" рынок в целом ничем хорошим не отличается, здесь Вас будут пытаться обмануть и торговцы "паленой" водкой. Но это же не значит, что вся водка - плохая?
В этом посте я хочу сосредоточиться больше на легальных казино, которые прошли все проверки и честно взаимодействуют со своим клиентом (да, есть и такие).
На мой взгляд, подобные компании обманывают пользователя не более чем любой другой бизнес-проект. Само собой, они хотят вытянуть с пользователя как можно больше денег, в этом суть бизнеса. Но мысль, которую я хочу здесь донести, это то, что им вовсе не обязательно мухлевать с результатами. Чтобы объяснить эту мысль, я разделю дальнейший текст на две части: "математическую", которая объяснит как казино зарабатывает на играх и короткую "юридическую", в которой немного раскрою тему регулирования.
Далее под "обманом" я буду подразумевать именно подделку результатов генерации случайных чисел. Например, у игрока на выбор есть три шкатулки и условное казино заявляет, что шанс найти приз в них равновероятен, но на самом деле в одной из шкатулок приз выпадает чаще.
Или просто раз в десять выигрышей игроку говорят, что он проиграл, хотя на самом деле он выбрал "правильную" шкатулку.
Я буду использовать в основном англоязычную терминологию, так как с ней я лучше знаком.
Типы игр.
Традиционно принято разделять азартные игры на два условных типа: Game of Chance и Game of Skill. Первые зависят только от случайности, и умения игрока никак на них не влияют. Примерами Game of Chance служат "однорукие бандиты", рулетка и лотерея.
Успех игроков Game of Skill зависит от их умений и знаний. Например, к этому типу относятся многие из карточных игр (покер, блекджек, вот это все).
Немного другую категорию составляют ставки на спорт, которые вроде как Game of Skill, но не зависят напрямую от случайных чисел.
Так как откровенно "обманывать" с результатами спортивных состязаний достаточно сложно, то далее речь будет идти только об обычных азартных играх.
Математика в казино.
Вообще математика в казино очень важна. Без нее этот бизнес не мог бы существовать.
Чтобы было понятнее, эту часть повествования рассмотрим на примере. Возьмем рулетку, классическую европейскую, с одним зеро. Примерно такую:
Для каждой азартной игры определяются два понятия: House Edge (HE) и Return To Player (RTP). По сути это одно и тоже, но с разных сторон.
- House Advantage / House Edge (Преимущество Казино) - это процент от каждой ставки, который остается у казино.
- Return To Player - это процент от каждой ставки, который остается у игрока.
Оба понятия рассчитываются в "долгосрочной перспективе" с точки зрения теории вероятностей. Это означает, что если RTP игрового автомата равен 95%, то игрок гарантированно вернет 95% своих денег, но только если будет играть очень долго.
Для казино это не проблема, у него множество игроков, которые все вместе очень много играют. А значит, каждый день происходит очень много ставок. Часть из них окажется выигрышной, часть проигрышной, но в среднем за месяц жизни казино получит свои 5% дохода со ставок на этом автомате.
Посмотрим, почему так происходит с точки зрения математики. Есть рулетка, на ней 37 секторов. Если Вы поставите на один из них 1 доллар и выиграете, то получите за это 35 долларов (таковы правила рулетки). К ним добавляется Ваша ставка и в сумме Вы остается с 36 долларами. А шансы угадать были 1/37. В этой разнице между шансом выигрыша и выплатой и лежит доход казино. Да, то же самое правило действует и в ставках на спорт, но я не знаю, как именно происходит сам расчет вероятности победы той или иной команды.
Рассчитаем точные цифры для рулетки. Для тех, кто не упустил шанса изучить теорию вероятностей, сразу скажу, что HE - это просто математическое ожидание, никакой магии.
Итак, формула для расчета:
HE = p_lose * bet - p_win * payoff,
где p_win - вероятность выигрыша, p_lose - вероятность проигрыша, payoff - выплата в случае выигрыша, bet - ставка.
Как видите, все довольно просто и может быть сведено к обычному построению таблицы выигрышей/проигрышей и базовой теории вероятностей.
Какой размер ставки брать абсолютно неважно, главное, взять соответствующую ей выплату, потому пусть bet = 1 доллар.
Тогда
HE = 36/37 * 1 - 1/37 * 35= 36/37 - 35/37 = 1/37 = 0,027.
В процентах получается 2,7%, которые стабильно уходят в карман казино.
А если мы будем ставить только на красное/черное? Давайте проверим.
Напомню, что есть 18 красных секторов, 18 черных секторов и один особенный сектор - зеро. Получается, если ставить на красное, то 18 ячеек "на нашей стороне" и 19 играют против нас. Выплата в случае ставки на цвет - один к одному.
HE = 19/37 * 1 - 18/37 * 1 = 1/37 = 0.027.
Совпадение? Определенно нет. Какой бы тактики вы не придерживались, играя в европейскую рулетку невозможно получить HE < 2,7%.
Надеюсь, общая идея здесь понятна - платят всегда меньше, чем стоило бы за принятый риск.
Цифры отличаются для разных игр, где-то больше, где-то меньше. Например, на подпольных автоматах house edge может быть и 40% (и "подкрученный" генератор случайных чисел сверху), а на лицензированных автоматах популярного казино он может быть равен паре процентов.
Игровые автоматы и выплаты в них - это вообще отдельная большая история, потому что таблицы выигрышей в современном игровом автомате рассчитываются очень хитро.
Честно говоря, я этим никогда не занимался, мне доставались только игры "попроще", знаю только, что общая идея там та же, просто таблицы вероятных исходов больше.
Про автоматы есть интересная русскоязычная статья на хабре.
Вот немного примеров для разных игр:
Заметили, что HE рулетки отличается от того, что мы рассчитали? Это потому, что здесь показан расчет для американской версии рулетки. Отличие в том, что в американской версии появляется второй сектор зеро, который поднимает прибыль казино в два раза.
Математика в казино. Волатильность.
Какие еще числа "интересуют" владельца казино? Существует понятие волатильности азартной игры. Опять же, для знакомых с теорией вероятности скажу, что это дисперсия. Для людей более далеких от этой науки, я уже не буду приводить формулы, так как они выглядят чуть сложнее и, на мой взгляд, выходят за рамки этого поста.
Вместо этого я объясню, на что влияет волатильность игры. Отметим, что при одинаковом значении house edge, волатильность игры может быть совсем разной. Это в свою очередь влияет на получаемые игроком ощущения от игры. Рулетка нам снова отлично подходит для примера, потому что волатильность рулетки зависит от стратегии игрока.
Волатильность игры высокая, если выплаты игроку производятся реже, но с более высоким коэффициентом. Для рулетки это будет означать ставки на "числа", когда шанс выигрыша низок, зато награда за него высокая.
И наоборот, волатильность низкая, если выплаты игроку производятся часто, но малыми суммами. В случае рулетки это будут ставки на красное и черное.
Есть ли разница для игрока, если house edge в итоге одинаковый? Конечно есть, ведь игрок отыгрывает свои 97,3% денег только в долгосрочной перспективе. А это значит, что при равных ставках на игре с высокой волатильностью ему нужно куда больший запас денег, чтобы успеть "отыграться" в случае провала.
В принципе, этих двух значений (преимущество казино и волатильность) достаточно для базового понимания работы азартных игр.
Game of Skill.
Но в примере с рулеткой все более-менее понятно, это типичная Game of Chance. А что насчет этих цифр в Game of Skill? Во-первых, давайте разделим их еще на два типа: игры против казино (блекджек) и игры между игроками (покер).
В первом случае есть некоторый минимальный HE, которого можно достичь в том случае, если Вы ведете идеальную игру. Чем больше неправильных решений в процессе Вы принимаете, тем выше становится преимущество казино и тем меньше денег Вы вернете себе в долгосрочной перспективе. Рассчитывается этот минимальные HE по схожей логике с приведенной выше.
Во второом случае казино в принципе не получает ничего именно с процесса игры. Обычно есть просто некоторая комиссия за "вход" в игру, на которой и зарабатывает казино.
Попытки обмануть казино.
И прежде чем перейти ко второй части, пару слов о тех, кто пытается "обыграть" казино хитростью.
Во-первых, иногда математики, которые занимались подсчетом новой игры, лажают. Все мы люди, и все мы ошибаемся на работе. Что-то идет не так, и при верной тактике реальный HE оказывается не просто ниже ожидаемого, но даже ниже нуля. Получается, что уже игрок имеет преимущество над казино.Помимо этого, иногда казино ошибается и дарит игрокам "слишком много" бонусов, что позволяет им заработать на этом.
Случается такое не часто, но случается. Есть люди, которые на этом зарабатывают деньги. Честно, не знаю, можно ли прожить на подобные доходы в чистом виде, но очень сомневаюсь.
Во-вторых, все мы слышали про подсчет карт при игре в блекджек (Или "Очко" в российских реалиях). Идея в том, чтобы, основываясь на предыдущей открытой информации, предугадать лучший вариант ставки. Это в принципе работает. Проблема в том, что это хорошо работает только с маленькими колодами. Сейчас часто в реальных казино при игре в блекджек объединяется несколько колод в одну (от четырех до восьми, насколько я знаю). В онлайн-казино Вы будете играть с колодой, которая перемешивается после каждой раздачи (или с "бесконечной" колодой, зависит от реализации), так что этот трюк точно не сработает.
Теперь немного о юридическом аспекте. Чтобы легально открыть онлайн-казино, Вам необходимо сначала получить специальную лицензию в одной из юрисдикций, которые эти лицензии выдают. Сложность получения подобной лицензии и ее итоговая стоимость зависит от строгости законов страны, на гражданах которой Вы хотите зарабатывать (например, некоторые страны признают только собственную лицензию).
Помимо лицензии на проведение азартных игр, Вам необходимо получить сертификацию своего программного кода. И здесь интересный момент. Казино должно сертифицировать свой программный код, и предполагается, что именно этот код оно и будет использовать в дальнейшем. Вот только... их почти не проверяют.
Этот момент является, кстати, одним из рекламных пунктов проектов онлайн-казино на блокчейне. Мол "у нас тут весь код работает прозрачно, мы никогда его не подменим" (на самом деле, в зависимости от качества проекта, под капотом может твориться что угодно не совпадающее с красивыми словами на сайте).
Но вернемся к "традиционным" онлайн-казино. Что произойдет, если владельцев схватят за задницу на том, что они обманывают пользователя?
Не знаю. Это зависит от страны, в которой они работали, и от изначально полученной лицензии (да, некоторые не очень ответственные юрисдикции могут после подобного даже не забрать лицензию). Надеюсь, в комментариях найдутся более сведущие в этом вопросе люди и смогут подробнее описать последствия в условиях РФ/СНГ.
Тем не менее, в странах со строгим подходом к азартным играм владельцам может быть очень невыгодно лишаться лицензии и получать штрафы, обменивая долгосрочный доход на быструю прибыль.
Эпилог.
Ну и напоследок вернемся к изначальному вопросу поста: обманывают ли нас? В первую очередь, это зависит от выбранного казино, здесь, как и везде, есть свои любители "нагнуть клиента", а есть честные участники рынка.
И все же, возможно ли существование честного казино? Некоторые люди считают, что эти проценты с преимуществом казино и есть обман, ведь Вы рисковали не просто так!
К тому же, house edge выбранной Вами игры скорее всего не будет указан на сайте казино (для части игр можно высчитать его самостоятельно, но вот с игровыми автоматами это не получится, там много закрытой информации).
Да-да, никто не захочет, чтобы их пользователи видели, на сколько центов их нагревают с каждого потраченного доллара.
С другой стороны, казино предоставляет эти данные регулятору, который может их проверить. А для классических игр, вроде рулетки или блекджека, все уже давно рассчитано. И теперь, с полученными из этого поста знаниями, Вы можете сесть играть в рулетку и точно знать, что с каждого вашего доллара вы отдадите 2,7 цента казино (если, конечно, Вы нашли место, где играют "по правилам").
На мой взгляд, это выглядит как честная сделка. Каждый должен получать деньги за свою работу. Казино - это не способ "легко поднять деньжат", это сфера развлечений, которая предоставляет возможность пощекотать себе нервы. А за сферу развлечений обычно принято платить. Готов выслушать Ваше мнение по этому поводу.