Теперь, когда у нас есть инструментарий, приступаем к доказательству. Нам нужно вычислить сумму 2 + 2.
Разложим второе слагаемое, используя определение функции следования. Мы знаем, что 2 -- это S(1). Значит, наше выражение принимает вид 2 + S(1).
Используем второе правило сложения: x + S(y) = S(x + y). Выносим оператор следования за скобки. Получаем S(2 + 1).
Теперь нам нужно разобраться с тем, что внутри скобок, то есть с 1. Мы знаем, что 1 -- это S(0). Подставляем это внутрь. Наше выражение превращается в S(2 + S(0)).
Снова применяем второе правило сложения для внутренней части. Выносим еще один оператор S наружу. Теперь у нас получается конструкция вида S(S(2 + 0)).
Здесь вступает в игру первое правило сложения: x + 0 = x. Значит, 2 + 0 равно просто 2. Упрощаем выражение и получаем S(S(2)).

Осталось только интерпретировать результат, разворачивая определения обратно. Мы знаем, что S(2) -- это следующее число за двойкой, то есть 3. Наше выражение превращается в S(3). А S(3), согласно определению функции следования, есть число, следующее за тройкой. То есть 4.

Опираясь на аксиомы индукции и рекурсивное определение арифметических операций, мы неопровержимо доказали изоморфизм между операцией объединения двух множеств мощности два и множеством мощности четыре.

Но раз мы подошли к понятию аксиом, то давать подобную задачу, не уточнив, в какой системе аксиом ее надо решать, глупо и даже безграмотно. Получается, задавший эту задачу человек уже достаточно взрослый, чтобы познакомиться с аксиоматикой Александрова, но не узнал, что в других системах есть аксиома Паша.

В любом случае с 1950-х годов в СССР были другие программы. Геометрию изучали по учебникам Киселёва или Никитина, и начиналась она только в 6 классе. Забавно, что у Никитина уже в самом начале курса написано ровно то, что хочет @Plexator:

И что тут неправильного?

Позже экспериментировали с другими программами по геометрии: Колмогорова, Атанасяна-Бутузова, Погорелова. Но никогда с 1950-х геометрию не начинали в 5 классе: геометрия начиналась в 6, а после перехода на 11-летнее обучение - в 7 классе.

И там про аксиомы написано всё правильно.

Конечно, элементы геометрии в курсе математики вводились и в ранних классах. Буквально в первом. Там про аксиомы ничего не говорилось.

Выходит, @Plexator плохо запомнил, чему и вообще когда его учили. После такого введения можно было ожидать любой ахинеи, но ничего суперошибочного автор не написал. В целом он говорит разумно, здраво, я с ним согласен.

Но по мелочевке проблемы вылазят. Например:

найдено сразу два пространства, которые описываются геометрией Лобачевского. Более того, эти пространства являются подмножествами евклидова пространства. Это значит, что любое утверждение из геометрии Лобачевского мы можем "перевести" на язык геометрии Евклида, причём истинное утверждение при таком переводе останется истинным, а ложное - ложным.

Два пространства? Что имеет в виду автор? Почему два, а не, например, штук около пяти, как в Википедии? С чего автор решил, что то, что "любое утверждение из геометрии Лобачевского можно перевести на язык геометрии Евклида", следует упростить до слов "пространство Лобачевского является подмножеством евклидова", что вообще автор понимает под словом "подмножество"?

Сдаётся мне, автор напутал. Он, наверное, имел в виду, что существует две геометрические системы, являющиеся неевклидовыми в узком смысле слова. Только вот одна из них - не Лобачевского.

Также непонятно, почему автор вообще утверждает, что "любое утверждение из геометрии Лобачевского мы можем "перевести" на язык геометрии Евклида, причём истинное утверждение при таком переводе останется истинным, а ложное - ложным". Есть масса утверждений, эквивалентных пятому постулату, и они, разумеется, в геометрии Лобачевского ложные, например о том, что накрест лежащие углы при параллельных и секущей равны, или что отношение длины окружности к диаметру есть константа, или что сумма углов треугольника равна развёрнутому углу, или что вокруг каждого треугольника можно описать окружность. Ничего этого в геометрии Лобачевского нет, как нет в ней прямоугольников и подобных треугольников.

Сейчас словари обычно дают другое определение: "Аксиома - исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства". Это правильное определение, но неподготовленному человеку сложно понять, что именно за ним скрывается и чем оно отличается от того определения, которое я привёл выше. Вот я и постараюсь немного раскрыть это определение.

Зачем вообще нужны аксиомы? Их необходимость вытекает из ограничений, которые накладывает логика. Логика - это инструмент, позволяющий делать выводы об истинности суждений на основе знаний об истинности других суждений. Например, мы знаем, что медь - металл и что все металлы проводят электрический ток, и на основании этого можем сделать вывод, что медь проводит электрический ток. А смогли бы мы сделать такой вывод, если бы не знали, что медь - металл? Нет, у нас не было бы базы для нашего вывода. Поэтому, прежде чем мы сделаем свой первый логический вывод, мы должны иметь какие-то утверждения, в истинности которых мы не сомневаемся. И ещё древние греки решили, что есть утверждения, слишком очевидные, чтобы их доказывать. У них это относилось только к геометрии, но сейчас аксиомы используются во всей математике, а также в естественных науках.

Сначала рассмотрим только аксиомы в математике, к естественным наукам я вернусь чуть позже. Главное отличие математики от естественных наук - то, что она работает исключительно с абстрактными понятиями, существующими лишь в уме. Поэтому в математике не может быть такого вопроса: а как оно на самом деле? Нет никакого "на самом деле", что придумаем, с тем и будем работать. Например, в рамках математики нельзя поставить вопрос о том, какова размерность пространства на самом деле: одномерные, двумерные, трёхмерные, миллионмерные и даже бесконечномерные пространства в математике имеют равные права на существование. И то, что наблюдаемое нами пространство имеет ровно три измерения (по крайней мере, в масштабах, доступных нашим измерениям), математику никак не ограничивает - ей дела нет до того, как устроен реальный мир и даже до того, существует ли он вообще.

Эта мысль доходила до человечества долго, многие поколения математиков полагали, что математические понятия столь же реальны, как и физические объекты, ну разве что существуют в каком-то идеальном мире. Но в конце концов всё-таки поняли, что это не так, и это тоже существенно повлияло на понимание того, что такое аксиома.

Хотя греки на словах и считали аксиомы абсолютно очевидными, некоторые сомнения в этом были и у них. Здесь показательна история так называемого пятого постулата Евклида (Евклид делил утверждения, принятые без доказательств, на аксиомы и постулаты, но для нас сейчас эта разница несущественна - в современной математике это всё называется аксиомами). В переводе на современный язык этот постулат звучит так: "Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и при том только одну". Видимо, у Евклида существовали какие-то сомнения в правильности этого утверждения, потому что он сначала доказал 22 "чистых" теоремы, для которых это утверждение не требуется, а потом только добавил этот постулат.

Сомнения Евклида понятны: это утверждение могло бы быть по-настоящему очевидным только в том случае, если бы мы могли обозреть прямые от одной бесконечности до другой и убедиться, что пересечений действительно нет. Но так как мы имеем дело только с небольшими кусками прямых, возникают подозрения, что вдруг они всё-таки когда-то пересекутся? Или, наоборот, можно провести одну параллельную прямую, а потом через точку другую прямую, под таким маленьким углом к первой, что она тоже никогда не пересечётся с данной прямой?

Этим вопросом так или иначе интересовались многие последователи Евклида, но задача долгое время оказывалась математикам не по зубам. С мёртвой точки дело сдвинулось, когда этим занялся Николай Лобачевский. Он предположил, что это утверждение - не аксиома, а теорема, т.е. его можно доказать на основании остальных аксиом. И для доказательства он пытался использовать метод "от противного". Напомню, что при доказательстве от противного предполагают, что то, что хотят доказать, на самом деле ложно, после чего доказывают, что в этом случае с необходимостью возникает какое-то очевидное противоречие. Наличие противоречия является доказательством того, что исходное утверждение на самом деле истинно. Лобачевский предположил, что через точку можно провести две различных прямых, параллельные данной, и всю оставшуюся жизнь пытался прийти к какому-то противоречию, но так и не пришёл.

Лобачевский, к сожалению, умер, не успев понять всю важность своего открытия. Но позже было найдено сразу два пространства, которые описываются геометрией Лобачевского. Более того, эти пространства являются подмножествами евклидова пространства. Это значит, что любое утверждение из геометрии Лобачевского мы можем "перевести" на язык геометрии Евклида, причём истинное утверждение при таком переводе останется истинным, а ложное - ложным. А теперь самый важный вывод из этого: если бы геометрия Лобачевского была ошибочной, это означало бы, что в ней можно доказать два утверждения, которые являются взаимоисключающими. Но так как доказательство - это тоже последовательность утверждений, оно тоже переводится на язык евклидовой геометрии, и это означало бы, что и в евклидовой геометрии мы бы доказали два взаимоисключающих утверждения. Другими словами, если геометрия Лобачевского содержит ошибку, то и геометрия Евклида тоже содержит ошибку.

Придя к такому неожиданному выводу, математики начали постепенно понимать, что аксиома - это что-то не совсем то, что они раньше думали. Имеем две теории, которые противоречат друг другу, но при этом обе правильные - как такое вообще может быть? И вот тут, наконец, стало приходить понимание, что математика совершенно оторвана от реального мира, поэтому правильность теории с математической точки зрения - это только отсутствие внутренних противоречий (ну и, конечно, отсутствие ошибок при выводе теорем), а никакого глобального критерия того, что теория правильна "вообще" нет и быть не может. Поэтому правильность геометрии Евклида не отменяет правильности геометрии Лобачевского, и наоборот.

Наверное, это сложно понять сразу. Всё-таки, через точку можно провести только одну параллельную прямую или целых две? Чтобы понять это, зайдём немного с другой стороны.

Вы, наверное, привыкли, что в математике всему даются строгие определения. Возможно, вы из школы помните, что отрезок - это множество всех точек прямой, лежащих между двумя различными точками этой прямой, треугольник - это фигура, ограниченная отрезками, попарно соединяющими три различные точки, не лежащие на одной прямой, а окружность - это множество всех точек, равноудалённых от данной точки. Но можете ли вы вспомнить определения точки и прямой? Это вряд ли, потому что таких определений нет ни в школьных учебниках, ни в более серьёзных работах.

Дело в том, что с определениями мы попадаем в ту же ловушку, в которую чуть раньше попали с логически доказываемыми утверждениями: определения даются через уже известные определения, и где-то надо остановиться. Геометрия (обычная, не аналитическая) останавливается как раз на точке и прямой - у них нет явных определений.

Но если у них нет определений, то как мы можем с ними работать? Я не зря сказал, что нет именно явных определений - ведь определить-то можно и неявно. Аксиомы, собственно, и являются этими определениями: точка и прямая - это такие объекты, которые обладают следующими свойствами - и дальше смотри список аксиом, в них всё написано. Правда, утверждения относительно свойств точек и прямых (а также ряда других понятий, используемых в геометрии) там переплетены так, что невозможно отделить одно от другого, но это не мешает делать выводы о каких-то других свойствах этих объектов, т.е. доказывать теоремы.

Теперь ответ на вопрос о том, сколько параллельных прямых можно провести через точку, становится ясен. У Евклида и у Лобачевского разные наборы аксиом, а значит, разные определения точки и прямой. Другими словами, точка и прямая у Евклида - это не то же самое, что точка и прямая у Лобачевского. Поэтому для точек и прямых Евклида будет только одна параллельная прямая, а для точек и прямых Лобачевского - две. Так что на самом деле никакого противоречия, просто поменяли определение.

Таким образом, в математике аксиомы - это просто определение того, с какими объектами мы работаем. Вопрос об истинности или ложности в этом случае вообще не стоит. Вы же не будете доказывать или опровергать определение окружности - это всего лишь определение. То же самое и с аксиомами - это не какая-то абсолютная истина, это просто определения, принятые в данной теории.

Теперь перейдём к естественным наукам. В идеале естественнонаучная теория строится так же, как математическая, т.е. задаётся набор аксиом и выводы из них. Но так как стоит задача описать реальный мир, то аксиомы должны браться из экспериментов.

Здесь возникает некоторое противоречие: в основу теории надо положить как можно более общие утверждения, чтобы сделать как можно больше выводов, а эксперимент всегда конкретен. Галилей сбрасывал с Пизанской башни не камень вообще, а какие-то конкретные камни. Они падали у него за одно и то же время, из чего он сделал вывод, что время падения не зависит от массы вообще. Имел ли Галилей право на такой вывод? Ведь масса камней, участвовавших в эксперименте, была ограничена возможностью затащить их на башню. А если сбросить камень массой сто миллионов тонн - вдруг он упадёт за другое время? А если нам каким-то чудом удалось сбросить камень в сто миллионов тонн - вдруг камень в сто миллиардов тонн всё-таки полетит по-другому? А вдруг дело не в массе, а в материале, и шары из базальта полетят не так, как шары из гранита? Короче, выводы из эксперимента - это всегда некоторое обобщение, которое делается на основе ограниченного числа экспериментов, поэтому каждый такой вывод потенциально может быть ошибочным, но мы об этом не узнаем, пока не наткнёмся на эксперимент, который вступит в противоречие с этим выводом. А обобщения, в свою очередь, можно обобщать и дальше - например, когда-то в механике на основании изучения движения тел был сделан вывод о существовании закона сохранения энергии, и это стало аксиомой, но потом обнаружилось, что этот закон (а заодно многие другие) можно доказать, если ввести аксиому об однородности времени. Другими словами, аксиомы в естественных науках - это обобщения наиболее высокого на данный момент уровня, те утверждения, которые ещё не смогли обобщить дальше. После этого из данных аксиом строится теория точно так же, как в математике.

Если обобщения получились удачными (а другие быстро забываются), то они не только объясняют ранее сделанные эксперименты, но и предсказывают результаты ещё не сделанных. Значит, надо их по возможности сделать и проверить - вдруг угадали. Пока угадываем, аксиомы считаются правильными, как только получили результат, противоречащий теории - всё, эти аксиомы сломались, несите новые.

Я, конечно, нарисовал идеальную картину, потому что на самом деле от момента, когда мы понимаем несостоятельность теории, до момента, когда мы можем предложить ей замену, может пройти немало времени, и всё это время нужно как-то жить. Сейчас, например, понятно, что теория относительности безнадёжно лажает при попытке описать микромир, а квантовая механика - при попытке описать гравитацию, т.е. обе этих теории на концептуальном уровне ошибочны и должны быть заменены более продвинутой теорией, лишённой этих недостатков. Но пока у нас нет этой теории, мы продолжаем пользоваться тем, что есть, стараясь по возможности не выходить за пределы применимости. А это значит, что мы прекрасно осознаём ошибочность заложенных в эти теории аксиом, но, за неимением лучшего, в рамках применимости делаем вид, что всё в порядке, не забывая при этом по возможности проводить исследования, которые дадут нам возможность придумать искомую теорию.

Напоследок - краткие выводы-напоминания. В математике аксиомы - это, по сути, определения, которые мы даём тем сущностям, которые собираемся использовать в теории. Именно поэтому аксиомы в математике принимаются без доказательств - определения ни в каких доказательствах в принципе не нуждаются, доказывать можно только то, что аксиомы одной теории не противоречат друг другу. Аксиомы из разных теорий без проблем могут противоречить друг другу - просто в теориях используются разные определения, ничего страшного.

Аксиомы в естественных науках - это самые лучшие обобщения, до которых нам удалось додуматься на данный момент. Частично подтверждаются экспериментами, но не считаются абсолютной истиной, каждый вменяемый учёный держит в голове мысль, что вновь открывшиеся факты могут опровергнуть любую из этих аксиом.