Назовём крутым натуральное число, которое увеличивается в 4,5 раза, если в нём поменять местами цифры.
а) Найдите хотя бы одно крутое число;
б) Докажите, что крутых чисел бесконечно много;
в) Найдите хотя бы два непересекающихся бесконечных семейства крутых чисел.
1) Настя утверждает, что нашла простое число, которое начинается с цифры 7, оканчивается двумя цифрами "99", а все остальные цифры в нём - пятёрки.
«Ты что-то напутала!» — ответила Насте её подружка Даша.
Докажите, что Даша права.
2) В зашифрованном равенстве OX*OF=FOX цифры заменены буквами: одинаковые цифры — одной и той же буквой, а разные — разными буквами. Найдите все возможные расшифровки, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.
Студентка Настя и её преподавательница Даша заметили, что сумма их возрастов записывается одинаковыми цифрами. Мало того, произведение их возрастов также записывается одинаковыми цифрами!
Сколько лет Насте и сколько лет Даше?
(возраст считаем целым числом, Даша старше Насти, Насте больше трёх лет)
На Ленинградской олимпиаде 1972-го года предлагалась следующая задача:
Существует ли натуральное число, сумма цифр квадрата которого равна 1972?
Мне удалось найти натуральное число, у которого не только сумма цифр квадрата равна 1972, но и сумма цифр самого числа также равна 1972.
Сделайте это и вы, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.
Легко представить номер текущего года, сиречь число 2025, в виде суммы кубов пяти целых чисел: 2025=1000+1000+27+(-1)+(-1)=10^3+10^3+3^3+(-1)^3+(-1)^3.
А можно ли сделать это так, чтобы все 5 чисел были по модулю меньше 10?
Только чур, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.
