«Не трогай моих кругов» – число Пи и гибель Архимеда
Продолжаю исторические посты-коротыши, сегодня – об Архимеде. Но перед этим небольшое вступление о событиях куда более недавних, чтобы было понятно, почему этот пост размещаю именно сегодня.
В 1988 году американский физик Ларри Шоу заметил, что в американской системе записи дат (месяц / число) дата 14 марта — 3/14 совпадает с числом π и предложил учредить к этой дате математический праздник – День числа π.
Праздник быстро стал популярным и в 2006 году Конгресс США включил его в официальный список американских праздников, а спустя несколько лет решением ЮНЕСКО за ним закрепили международный статус. Ну а в этом году у числа π еще и свой юбилей – 314 лет с того времени, как его придумали. В 1706 году британский математик Уильям Джонс впервые предложил греческую букву π для обозначения отношения длины окружности к её диаметру (поскольку эта буква начальная в греческих словах περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр).
Важный момент, Джонс придумал наименование, сама эта величина была известна достаточно давно, просто под более длинным наименованием «величина, равная отношению длины окружности к её диаметру» и т.п.
Ее вычислением занимались тысячелетия назад, еще в Древнем Египте, есть также легенда, что эту постоянную использовали при проектировании Вавилонской башни. Внес свой вклад в ее расчеты известный древнегреческий математик, физик и инженер Архимед.
В те времена перед античными математиками встала проблема – как вычислять площадь криволинейных фигур, кругов, овалов и т.п. Частично решить ее удалось с помощью метода исчерпывания (впервые его применил Евклид, а Архимед взял на вооружение и усовершенствовал).
Чтобы его использовать, надо вписать один многоугольник в окружность, а другой описать вокруг нее, тем самым зажав ее между ними. Площадь многоугольников вычислять греки умели, значение площади окружности располагалось где-то в интервале между большим и меньшим многоугольником. Причем, чем больше было сторон у многоугольников, тем меньше был интервал, а следовательно – точнее был результат вычисления площади окружности. И первым эту идею выдвинул как раз Архимед, для начала заменив шестиугольник (который использовали до него) на двенадцатиугольник.
Далее он продолжил увеличивать число сторон и дошел до фигуры с 96 углами. В итоге, была сформулирована т.н. «аксиома Архимеда» о том, что можно найти настолько близкий к площади криволинейной фигуры многоугольник, насколько пожелаешь, но при этом точного результата все равно не достигнешь. Ограничением, по сути, служили цели вычислений, для хозяйственных нужд можно было округлять сильнее, а для научных трактатов – вычислять с максимально возможной точностью. Сам Архимед рассчитал, что соотношение длины окружности и диаметра равно 3( 10)⁄71, он также доказал, что площадь круга равна числу этого соотношения, умноженному на квадрат радиуса круга.
В дальнейшем Архимед еще не раз возвращался к вычислениям методом исчерпывания, стремясь достичь еще большей точности. По легенде, изложенной Плутархом, именно этим ученый занимался и тогда, когда римские войска ворвались в его родной город Сиракузы (хотя немало времени он уделял и вопросам обороны города, но это уже другая история). Он так увлекся, что даже не заметил ворвавшихся солдат. Неожиданно перед ним возник легионер, который потребовал от Архимеда явиться к Марцеллу (командующему римским войском). Погруженный в задачу, Архимед лишь отмахнулся от него – «Не трогай моих кругов», легионер же, офигев от такого отношения, не нашел ничего лучше, как зарубить ученого. Правда, Марцелл за это легионера наказал, поскольку хотел именно пленить Архимеда, которого называл «Бриареем среди геометров».
Свой метод Архимед применял и к объемным фигурам, вычислив соотношение площадей поверхности цилиндра и вписанного в него шара. С этим связана еще одна легенда, что Архимед завещал выбить изображение шара, вписанного в цилиндр на своем надгробии вместо эпитафии. Впрочем, Цицерон утверждал, что своими глазами видел это надгробие, так что, возможно, это не такая уж легенда.
Панциферные формулы
Перед вами так называемые панциферные формулы (т.е. использована каждая цифра по одному разу).
Первая формула интересна тем, что она даёт значение числа "пи" с точностью до 11 знаков.
Вторая же формула даёт значение числа "е" с гораздо большей точностью - до нескольких ... септиллионов знаков (септиллион это миллиард квадриллионов)! Это может показаться волшебством только для неискушенного читателя.
А человек, знакомый с математикой, путём нехитрых преобразований получит, что
и сразу вспомнит формулу второго замечательного предела:
вот и весь секрет)
Николай Андреев - Число Пи
Что такое число Пи и как определить его наглядно? Каким образом математики прошлого пытались рассчитать его точное значение? Можно ли в десятичной записи числа Пи встретить любую последовательность цифр? Как узнать на какой позиции в числе Пи можно отыскать дату своего дня рождения? Рассказывает Николай Андреев, кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией популяризации и пропаганды математики Математического института им. В. А. Стеклова РАН.
Новый мировой рекорд по вычислению числа пи: 31,4 трлн знаков
Формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа, которая позволяет извлечь любую конкретную шестнадцатеричную или двоичную цифру числа пи без вычисления предыдущих.
Вычислительный кластер Google Compute Engine за 121 день на 25 виртуальных машинах рассчитал наибольшее количество цифр в числе пи, установив новый мировой рекорд: 31,4 триллиона знаков после запятой. Это первый раз, когда для расчёта числа пи такой величины использовалось общедоступное облачное программное обеспечение.
Рекорд будет записан на имя Эммы Харуки Ивао (Emma Haruka Iwao) из подразделения высокопроизводительных вычислений в Google. Именно она использовала инфраструктуру Google Cloud для вычислений. Предыдущий мировой рекорд был установлен Питером Трубом в 2016 году, он рассчитал число до 22,4 триллиона цифр на специально сделанном сервере, который тоже спонсировал работодатель.
Как и Труб, инженер Google применила для расчёта y-cruncher. Эта программа использует алгоритм Чудновского, быстрый алгоритм вычисления числа пи. Ещё в 80-е годы сами братья Чудновские с его помощью рассчитали миллиард знаков после запятой.
В свою очередь, алгоритм основан на свойстве быстрой сходимости гипергеометрического ряда:
Эмма Харука Ивао увлеклась «волшебным» числом, узнав о нём на уроке математики в школе, пишет Wired. В университете один из её профессоров, Дайсуке Такахаси (Daisuke Takahashi), был рекордсменом по количеству рассчитанных цифр числа с помощью суперкомпьютера. Сегодня рекорд может поставить практически любой заинтересованный инженер, у которого есть доступ к серьёзным вычислительным ресурсам и большому дисковому хранилищу (для хранения результата вычислений). Созданная в 2009 году программа y-cruncher предназначена для вычисления математических констант, таких как пи. Она поддерживает массивную многопоточность и триллионные диапазоны. Эта программа фактически коммодитизировала вычисления констант.
«Вам нужен довольно большой компьютер, чтобы побить мировой рекорд, — говорит Ивао. — Не получится сделать это на компьютере из магазина, поэтому раньше люди строили кастомные машины». В сентябре 2018 года Ивао начала рассматривать, как технически будет работать процесс вычисления в диапазоне за пределами рекордного диапазона. Сразу стало понятно, что основной проблемой станет объём данных для хранения. В итоге получилось, что рассчитанный результат занимает 170 терабайт. Вместо сборки кастомного сервера, как предшественники, девушка использовала инфраструктуру Google Cloud.
Ивао подняла 25 виртуальных машин: «Но вместо того, чтобы нажимать эту кнопку виртуальной машины 25 раз, я автоматизировала её, — объясняет она. — Ты можешь сделать это за пару минут, но если тебе нужно так много компьютеров, то потребуется несколько дней, чтобы всё настроить». Затем непрерывно в течение 121 дня Ивао управляла работой y-cruncher на этих 25 виртуальных машинах.
Для корректности вычислений виртуальные машины должны были работать постоянно. Инженер установила систему мониторинга, которая предупредила бы её, если что-то пошло не так, например, о внезапном сбое на одной из виртуальных машин. Всего одна авария — даже на пару минут — могла поставить под угрозу весь процесс вычислений, если бы не резервное копирование.
«В кранчере и Google Cloud есть системы резервного копирования, и я настроила их так, чтобы вы могли мгновенно снимать копии этих дисков, не останавливая вычисления», — говорит Ивао. Эти данные затем копировались и сохранялись извне, на других дисках, в виде моментальных снимков.
«В начале было несколько параметров, которые я изменила, например, сколько данных вы могли читать или писать за один раз, и как границы будут меняться по мере увеличения», — говорит Ивао.
С увеличением количества цифр объём файлов становился больше, а сложность вычислений возрастала нелинейно. Это очень усложнило первоначальный расчёт, когда Ивао пыталась посчитать, какой ресурс виртуальных машин ей потребуется для проекта.
Сейчас завершены и вычисления, и проверка результата: в y-cruncher встроены два базовых алгоритма — один для вычисления самого пи, а другой для проверки. Алгоритм проверки работает параллельно с вычислением, но вычисляет только одну цифру, так что рекорд можно регистрировать официально.
Теоретически, новый мировой рекорд можно установить, если просто взять предыдущий файл и применить формулу Бэйли — Боруэйна — Плаффа для расчёта ещё одного числа. Но это наверняка противоречит правилам регистрации подобных мировых рекордов: скорее всего, каждый претендент должен начинать расчёт сначала. Как вариант: улучшить предыдущее достижение на N%, что по формуле Бэйли — Боруэйна — Плаффа сделать не получится.
Статья на Хабре: https://habr.com/ru/post/443998/
Поиграем в бизнесменов?
Одна вакансия, два кандидата. Сможете выбрать лучшего? И так пять раз.
Побит мировой рекорд вычисления
Сотрудница компании Google Эмма Харуко Ивао посчитала значение числа "Пи" до 31 триллиона знаков после запятой. Раньше число "Пи" знали только до 22-триллионной цифры.
Для расчетов понадобилось 20 терабайт памяти, 25 виртуальных машин и 121 день.