Натуральное число n назовём непривычным, если сумма кубов всех его собственных делителей (включая 1) равна n^2.

Имеется предположение, что единственным непривычным числом является число 6. Как это доказать или опровергнуть?

У Насти и Даши номера квартир такие, что если к произведению цифр номера прибавить квадрат их разности, снова получается сам номер.

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, найдите номера квартир Насти и Даши, если известно, что у Насти номер квартиры меньше, чем у Даши.

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, найдите наибольшее 4-значное число, которое кратно сумме своих цифр и в котором первая цифра совпадает с третьей, но не совпадает со второй.

Назовём крутым натуральное число, которое увеличивается в 4,5 раза, если в нём поменять местами цифры.

а) Найдите хотя бы одно крутое число;

б) Докажите, что крутых чисел бесконечно много;

в) Найдите хотя бы два непересекающихся бесконечных семейства крутых чисел.

1) Настя утверждает, что нашла простое число, которое начинается с цифры 7, оканчивается двумя цифрами "99", а все остальные цифры в нём - пятёрки.

«Ты что-то напутала!» — ответила Насте её подружка Даша.

Докажите, что Даша права.

2) В зашифрованном равенстве OX*OF=FOX цифры заменены буквами: одинаковые цифры — одной и той же буквой, а разные — разными буквами. Найдите все возможные расшифровки, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.

Студентка Настя и её преподавательница Даша заметили, что сумма их возрастов записывается одинаковыми цифрами. Мало того, произведение их возрастов также записывается одинаковыми цифрами!

Сколько лет Насте и сколько лет Даше?

(возраст считаем целым числом, Даша старше Насти, Насте больше трёх лет)