Natural numbers k such that concatenation of the first k positive integers ending with 1, 3, 7, or 9 (starting with 1) is prime:
2, 3, 5, 136, ...
Натуральные числа k, такие что конкатенация (приписывание подряд) первых k положительных целых чисел, оканчивающихся на 1, 3, 7 или 9 (начиная с 1), является простым числом:
2, 3, 5, 136, ...
Натуральное число n назовём непривычным, если сумма кубов всех его собственных делителей (включая 1) равна n^2.
Имеется предположение, что единственным непривычным числом является число 6. Как это доказать или опровергнуть?
У Насти и Даши номера квартир такие, что если к произведению цифр номера прибавить квадрат их разности, снова получается сам номер.
Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, найдите номера квартир Насти и Даши, если известно, что у Насти номер квартиры меньше, чем у Даши.
Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, найдите наибольшее 4-значное число, которое кратно сумме своих цифр и в котором первая цифра совпадает с третьей, но не совпадает со второй.
Назовём крутым натуральное число, которое увеличивается в 4,5 раза, если в нём поменять местами цифры.
а) Найдите хотя бы одно крутое число;
б) Докажите, что крутых чисел бесконечно много;
в) Найдите хотя бы два непересекающихся бесконечных семейства крутых чисел.
1) Настя утверждает, что нашла простое число, которое начинается с цифры 7, оканчивается двумя цифрами "99", а все остальные цифры в нём - пятёрки.
«Ты что-то напутала!» — ответила Насте её подружка Даша.
Докажите, что Даша права.
2) В зашифрованном равенстве OX*OF=FOX цифры заменены буквами: одинаковые цифры — одной и той же буквой, а разные — разными буквами. Найдите все возможные расшифровки, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.
В 7-ом номере журнала "Квант" 1989 года предлагалась следующая задача:
Когда Петя разбил свою копилку, в ней оказалось 16 медных монет. Он разложил их на 4 кучки по 4 монеты так, чтобы денег в кучках было поровну. Тут он заметил, что наборы монет во всех кучках разные. Сколько денег было в копилке?
В следующем номере журнала был дан ответ:
Таких наборов монет два:
(2, 2, 3, 3),
(1, 3, 3, 3),
(1, 1, 3, 5),
(1, 2, 2, 5) — в сумме получается 40 копеек;
и
(2, 2, 2, 2),
(1, 2, 2, 3),
(1, 1, 3, 3),
(1, 1, 1, 5) — в сумме получается 32 копейки.
Однако существует ещё и третий набор:
(5, 5, 1, 1),
(5, 3, 3, 1),
(5, 3, 2, 2),
(3, 3, 3, 3) — в сумме получается 48 копеек.
Пожалуйста, помогите разобраться: это в "Кванте" проворонили ещё одно решение или я где-то ошибаюсь?
Студентка Настя и её преподавательница Даша заметили, что сумма их возрастов записывается одинаковыми цифрами. Мало того, произведение их возрастов также записывается одинаковыми цифрами!
Сколько лет Насте и сколько лет Даше?
(возраст считаем целым числом, Даша старше Насти, Насте больше трёх лет)
