Субфакториал
Субфакториал (или subfactorial) - обозначается символом !n и представляет собой количество перестановок n элементов, в которых ни один элемент не остается на своем месте (по сути - это аналогия полного беспорядка). Для небольших значений n это можно проиллюстрировать следующим образом:

Для n = 1: !1 = 0. Единственный элемент не может "переставляться" сам с собой.

Для n = 2: !2 = 1. Всего две возможные перестановки (1, 2) и (2, 1), и только одна из них соответствует требованию "ни один не остается на своем месте".

Для n = 3: !3 = 2. Возможные перестановки: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). В двух из них ни один элемент не остается на своем месте: (2, 3, 1) и (3, 1, 2)

Более жизненная интерпретация субфакториала: профессор дал тест 4 студентам – 1, 2, 3 и 4 – и хочет, чтобы они оценили тесты друг друга. Конечно, ни один студент не должен оценивать свой собственный тест. Сколько существует способов, чтобы никто не получил обратно свой собственный тест для проверки?

Таких вариантов 9, как и показывает формула

Первые десять значений субфакториалов натуральных чисел:

!1 = 0

!2 = 1

!3 = 2

!4 = 9

!5 = 44

!6 = 265

!7 = 1854

!8 = 14833

!9 = 133496

!10 = 1334961

Если внимательно присмотреться к формуле субфакториала, то можно увидеть, что она очень похожа на формулу разложения экспоненты в ряд Тейлора:

,

Если подставить "-1" вместо n, то можно получить любопытное отношение между факториалом и субфакториалом:

Эта величина - предел вероятности того, что выбранная во множестве перестановка является полным беспорядком. А еще можно увидеть, что !n является ближайшим целым числом к n!/e:

Субфакторион
Теперь перейдем к субфакторионам - числам, которые равны сумме субфакториалов своих цифр. Для начала определим верхнюю границу таких чисел. Итак:

Всё, что больше уже выбывает из статуса кандидата. Т.е. мы установили, что если субфакторион существует, то он максимум состоит из 6 цифр. Затем домножили на 6, по сути рассмотрев число 999999. Конечно, "потолок" можно опустить и пониже, но на скорость это не повлияет
Всё, что больше уже выбывает из статуса кандидата. Т.е. мы установили, что если субфакторион существует, то он максимум состоит из 6 цифр. Затем домножили на 6, по сути рассмотрев число 999999. Конечно, "потолок" можно опустить и пониже, но на скорость это не повлияет
Теперь нам нужен простейший код на Python и онлайн-компилятор:

Итоговый результат, который выдала программа :

И это единственное число, которое носит гордое название "субфакторион". Первые его следы можно найти в достаточно интересной книжке 1966 года "Математика на каникулах":

На странице 167 есть упоминание этого факта:

Однако, стоит заметить, что этот "топорный" код выполнялся бы на компьютерах середины 70-х очень долго. Так что стоит отдать почести простым студентам-энтузиастам за программирование решения такой интересной задачки.

– И какое же я, по-вашему, число?

– Иррациональное.

Она смеется и немного запрокидывает голову, открывая тронутую загаром шею и ямочку меж отворотами блузки.

– Что же со мной не так?

– Очевидно, вы непостижимы как бесконечная вереница цифр после запятой в экспоненте.

– Вероятно, вы преувеличиваете – я всамделишная, самая что ни на есть настоящая и очень простая.

Он хорошо помнит, что простые числа занимали еще пифагорейцев.

– Простые числа неопределимы и положены в основу крипто-шифрования.

– А вы, наверное, майнер, – едко замечает она.

– Нет, родители нарекли меня Витасом.

Ее высочество отворачивается к экрану – ирония не помогла, и тишина опять выбирается из темных углов. Витас отпивает дайкири и ждет – иногда лучше просто расслабиться. На ум ничего не идет, он ставит бокал на стол и прислоняется к спинке.

– Ну вот, сохранилась. – Она закрывает ноутбук, весело глядит на Витаса и жестом указывает на пустующий напротив стул, – а я Ира, как вы и посчитали… Или рассчитали?