Буквально по определению нуля: "0 = 1-1"
(да-да когда мы определяем наши числа - мы сначала определяем "числа для счёта предметов" 1,2,3,4...., а потом определяем ноль, как "0 = 1-1" и отрицательные числа).
И вот тот, кто пытается делить на 0.
1. хочет найти такое число: Inf = 1/0.
2. Это значит, что, умножив обе части на 0: 1 = 0 * Inf.
3. Это значит, что 1 = 0 * Inf => 1 = (1 - 1) * Inf => 1 = Inf - Inf.
4. Т.е. если бы такое число существовало, то оно обладало бы свойством: 1 = Inf - Inf.
СТОП ЕЩЁ РАЗ.
Если бы наше обозначение Inf - было бы числом, то оно бы "унаследовало" все свойства чисел, то есть выполнялось бы:
1 = 0 * Inf ... (тут эти свойства применяем) ... 1 = Inf - Inf - но это же ерунда, такого быть не может. Значит единственный выход - наше предположение не верно и Inf это не число.
ДЛЯ ТЕХ, КТО ХОЧЕТ ПОПОДРОБНЕЕ.... давайте начнём с начала.
1
У нас есть 1, 2, 3, 4, 5... - ну они нам нужны для счёта баранов.
При этом мы знаем, что числа:
- ассоциативны: 3 + 4 = 7 = 4 + 3;
- коммутативны: (3 + 4) - 2 = 5 = 3 + (4 - 2)
это мы попросту на баранах можем проверить.
В математике это называется множество N натуральных чисел и определённая на нём операция "+" с ассоциативностью и коммутативностью и "-".
2. Теперь мы хотим подсчитать 0 баранов и "долг" баранов.
Что нам для этого надо?
- ввести эти самые "0" чисел и отрицательные числа
- проверить, что эти "0" и отрицательные числа - хорошие полноправные числа (все свойства чисел, с ассоциативностью и коммутативностью + сохранятсся).
2.1 - введём числа:
Ноль: 1 - 1 = 0.
Отрицательные: 0 - X = -X
2.2 САМЫЙ ВАЖНЫЙ ПУНКТ - проверка свойств.
Теперь проверим, что для отрицательных чисел - ассоциативность и коммутативность "+" сохраняются:
- ассоциативность: (3 + -7) = -4 = -7 + 3;
- коммутативность: (3 + -7) + 2 = -2 = 3 + (-7 + 2).
Проверили - мы молодцы и вот ТОЛЬКО сейчас после проверки можно вводить 0 и отрицательные числа.
(много воды утекло, ввели дробные, рациональные действительные и комплексные числа).
7. Мы хотим делить на 0, давайте введём это точно также как и отрицательные числа раньше.
7.1 Введём такое число: "1 / 0" = Inf.
7.2 Давайте проверим, что Inf - число, т.е. все операции (+,-,*./ - с их свойствами с Inf работают нормально)
7.2.а)
1 / 0 = Inf => 1 = 0 * Inf.
6 * 1 = 6 * (0 * Inf) => (применим коммутативность) => (6 * 0) * Inf = 0 * Inf = 1.
(ой что-то пошло не так, давайте ещё раз)
7.2.б)
1 / 0 = Inf => 1 = 0 * Inf
1 = 0 * Inf => 1 = (1 - 1) * Inf => (применим дистрибутивность) => 1 = 1*Inf - 1 * Inf => 1 = Inf - Inf.
Ой опять получилась ерунда!
Вывод - если ввести отрицательные числа, то всё получается "хорошо" и отрицательные числа полноправные числа.
А вот если (точно так же ) ввести 1/0 = Inf, то это никакое не число, т.к. с ним законы коммутативности / дистрибутивности не работают.