Можно короче: принцип ведомого (отзеркаливание действий соперника).

Но у этой модели проблема в том что ты ведомый, т.е. реагируешь на ситуацию, а не задаёшь её исход.

2) «... Для однократной игры партнёрам стоит использовать принцип минимакса вне зависимости от того, содержит ли матрица платежей седловую точку или не содержит. Этот же принцип целесообразно использовать и при многократной игре с седловой точкой. ...»

---

Тут проблема в том что игрокам не всегда понятно когда игра разовая.

Вроде отжал «здесь и сейчас» по максимуму свою «львиную долю» пользуясь «правом силы», а игра оказалась в долгую (многократные игры).

И тут в игру вступает новая переменная «память о прошлых играх» (результаты предыдущих взаимодействий).

И оказывается что «никто не забыт, ничто не забыто» и тебе могут выставить «счёт» за прошлое. Аналогично и ты можешь «предъявить» «ты мне - я тебе». По сути с этого момента некооперативная игра начинает приобретать черты кооперативной, т.к. приходится учитывать интересы другого игрока, а не тупо «урвал побольше - убежал подальше», т.к. «куда ты денешься с подводной лодки?»© (мы в этой лодке до конца игры).

В пример см. Процессный подход и совершенствование с пункта «В».

3) «... Поэтому «чем случайнее, тем вернее», именно непредсказуемо случайное чередование стратегий не позволит добиться сопернику выигрыша. ...»

---

В реальности тут скорее начинается «картельный сговор». Игра из однократной превратилась а серию/цикл и чтоб её не порушить своей, или чужой жадностью и безрассудством приходится договариваться о внутренних правилах этой серии игр.

Вилке выигрышев в среднем и максимально для каждого в отдельно взятой игре (самоконтроль), допустимом давлении на оппонента и пр.

Но опять-таки это всё для формально равноправных участников. Если один из игроков (например фирма) думает что «я здесь власть) и купив трудовые услуги человека может его эксплуатировать. ... В реальности в договременоом сотрудничестве человек пользуясь «информационной асимметрией» https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Асимметричность_информации (неявным знанием о работе для которой его наняли https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Неявное_знание) будет восстанавливать социальную справедливость в меру своего понимания. В основе этой философии поведения лежит https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Занавес_неведения и Некооперативные игры. Размышляя над «Ультиматумом» (мой комментарий по поводу игры «Ультиматум»).

4) Как писал чуть ранее неоднократность игры, её переход в серию + память о прошлых играх переводят эту «сериальную игру» в категорию кооперативных, в ином случае исходя из высших побуждений (справедливость) вечно проигрывающий игрок может из неё выйти и тем самым уничтожить оставив всех без выигрыша (см. игра «Ультиматум»).

Ага, я сейчас опять и снова про инновационную сферу и рационализаторскую деятельность.

Фирма считающая себя монополистом на местечковом рынке инноваций демпенгует через закупочные цены и роялти (авторские отчисления) на рацпредложения, изобретения, оптимизации и прочие инновации исходя из логики: «кому ты ткт ещё сможешь продать свои рацухи?, бери сколько заплатили».

Тем более что чиновники принимающие решения считают себя анонимным, организованным единством (говорящим от лица компании), а всех этих «Кулибиных» оголодавшими (финансирование из других источников) которые не умеют думать наперёд (просчитывая свою выгоду), которые не могут посмотреть историю прошлых игр для ретроспективного и проективного анализа инновационной игры чтоб понять какова будет их «гонорар успеха», или просто общаясь в своей среде поспрашивать у тех кто сыграл и сделал выводы уже Делёжка шкуры не убитого медведя (см. комментарии).

Как успехи?

См. https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Индекс_глобальной_конкурентоспособности + https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Интеллектуальный_капитал. В общем плохо, пока у нас игры «Царь Горы» и попытка урвать сиюминутно в псевдоразовой (однократной) игре, считая что тут игра с нулевой суммой, и готовые загрысть ради «победы». В других местах приоритет отдают долговременному, взаимовыгодному сотрудничеству (кооперативные игры) т.к. понимают что автор «гонорар успеха» потратит на себя в месте обитания, т.е. оставит деньги «на земле» и в экономике, а не законсервирует в золотом унитазе, часах стоимостью в элитную квартиру, океанскую яхту на которой бываешь 1~3 недели в год и прочий «дорого, пафосно и бесполезно».

Классическая https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Игра_РП-РџР% где каждый сам за себя и сам по себе что и приводит к https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Трагедия_антиобщин в виде проигрыша всех кто в этой «лодке». Ага, оказывается мы все по одну сторону, только на разных уровнях общества и государства, кто-то «как рабы на галерах», кто-то рулевой, кто-то просто разносчик чего-то там и вместо слаженной работы (кооперации) выясняем кто главный, кто-то себе строит плот из обшивки корабля (мне нужнее), кто-то топливо продаёт чтоб купить себе велосипед/трактор, кто-то паруса порезал на воздушный шар. В сумасшедшем доме попытка одиночного побега :-))) В общем, самовыживание без сотрудничества в основе которой «верхи не могут, низы не хотят» что и приводит к внутрикорпоративным войнам на истощение (в живых должен остаться только один).

По некоторым позициям обогнав нас в «эволюционной гонке» прогресса (НТР) на десятилетия (та же микроэлектроника, биоинженерия и пр. промышленное (а не лабораторное) производство).

«Гонка на дно» продолжается.

Всё становится сложнее, когда игрок «я такой внезапный» наталкивается на двухшляпного. В первый день он сделает одну шляпу, а во второй – две. Но далее каждый игрок будет делать по 2 шляпы каждый день. Тогда каждый получит средний выигрыш в 11 евро, так как выигрыш в первый день не имеет значения при вычислении средних над бесконечным периодом.

Согласовав полученные значения, мы переходим к матрице выигрышей, указанной на таблице. Данная таблица  – лишь малая часть общей платёжной матрицы повторяющейся дилеммы заключенных, потому что мы рассмотрели только три стратегии из счётного множества. В полной таблице мы сможем наблюдать бесконечное множество равновесий, так какое же необходимо выбрать? Или к какому сойдётся игра? На самом деле, ответ на данный вопрос получить так просто нельзя, поэтому обычно в задачах просят просто найти множество равновесий по Нэшу, или Парето-оптимум, или, опять же, ставят более явный вопрос.

Смешаные стратегии

Если матрица платежей содержит седловую точку, то существуют хорошие стратегии для обоих игроков. Для однократной игры партнёрам стоит использовать принцип минимакса вне зависимости от того, содержит ли матрица платежей седловую точку или не содержит. Этот же принцип целесообразно использовать и при многократной игре с седловой точкой.

Стратегия меняется, как только речь заходит о многократной игре без седловой точки. В этом случае постоянное повторение стратегии может привести к невыгодным результатам. Например, если мы будем играть в «камень-ножницы-бумагу» и ходить всё время только одинаково, то даже если соперник немного умственно неполноценен, успеха нам это не принесёт.

В повторяющихся играх каждая из стратегий однократной игры называется чистой стратегией.

Смешанная стратегия – это присвоение вероятности каждой чистой стратегии.

Это позволяет игроку случайным образом выбирать чистую стратегию. Поскольку вероятности непрерывны, игроку доступно бесконечно много смешанных стратегий. Интерес к смешанным стратегиям объясняется просто – если соперник определит, какая из ваших стратегий будет применяться в очередной игре, он сможет использовать эти знания для улучшения своего результата (и ухудшения вашего). Поэтому «чем случайнее, тем вернее», именно непредсказуемо случайное чередование стратегий не позволит добиться сопернику выигрыша.

Логично, что  чистые стратегии можно представить как частный случай смешанных, например, в том случае, когда частота одной из стратегий – 1, а остальных – 0.

В оптимальных смешанных стратегиях игрок, отклонившийся от своей оптимальной стратегии, изменяет средний выигрыш в невыгодную для него сторону.

Полностью смешанная стратегия – это смешанная стратегия, в которой игрок присваивает каждой чистой стратегии строго положительную вероятность.

Решение игры есть совокупность применения каждым из игроков своих оптимальных стратегий.

Цена игры – результат, достигнутый при решении игры, то есть, средний выигрыш (математическое ожидание выигрыша) при применении оптимальных стратегий обоими игроками.

Те стратегии, которые присутствуют в оптимальной стратегии игрока с ненулевыми частотами, называются полезными (другое название – активными).

В 1928 году фон Нейман доказал, что для каждой игры имеется не менее одного решения. Это решение может находится в том числе в области смешанных стратегий.

После подстановки получим, что  π=30-a^2, а, значит, прибыль будет максимальной, если она продаст всего одну, но зато очень дорогую шляпу.

Классический монополист задаёт цену сам, он имеет полную власть над ней. Торговцы на совершенно конкурентном рынке продают товар по сумме, близкой к стоимости производства, то есть, издержкам – ибо цена уменьшается для оттягивания на себя доли рынка.

Какое отношение имеет к этому примеру теория игр? А вот сейчас мы это узнаем.

Предположим, что в страну чудес попал ещё один шляпный бизнесмен. Например, пусть это будет Фантомас.

Пусть Алиса производит a шляп, а Фантомас – b шляп. Тогда каждая шляпа будет продана за p = 30/(a + b)  евро. Если и Алиса и Фантомас будут пытаться максимизировать только свою прибыль, то что они получат?

Упростим задачу  – пусть каждый из участников рынка думает только о выборе между одной или двумя шляпами для производства.

В таком случае, мы можем составить платёжную матрицу получившейся игры.

В дуополии, Алиса и Фантомас попытаются получить вместе побольше денег и, если оба сделают только по одному цилиндру, то есть, в общей сложности только два цилиндра, каждый из них получит прибыль в размере 14 евро.

Тем не менее, обычно игроки пытаются максимизировать свою собственную индивидуальную прибыль. И вот тут-то и возникает дилемма заключенных. Тут всегда сильно доминирует изготовление двух шляп. В результате каждый получает всего по 11 евро.

Максиминная стратегия позволяет первому игроку получить гарантированный выигрыш, не меньший α вне зависимости от действий второго игрока.

Второй игрок заинтересован в том, чтобы первый игрок выиграл как можно меньше. Если он выберет j-ю стратегию (это будет соответствовать j-му столбцу платёжной матрицы), то при выборе первым игроком стратегии i выигрыш первого составит a_ij. Первый игрок, очевидно, выберет строку с наибольшим значением в столбце j и, следовательно, второму игроку требуется выбрать такой столбец, в котором такое наибольшее значение минимально. Выигрыш второго игрока при его наилучшей стратегии будет равен -max 1≤i≤m a_ij.

Число β=min 1≤i≤m max1≤j≤n a_ij является верхней ценой игры, а стратегия второго игрока, приводящая к нему, называется минимаксной.

Такая стратегия позволяет получить гарантированный выигрыш не меньший -β вне зависимости от действий первого игрока.

Эти стратегии, минимаксная и максиминная, являются осторожными стратегиями (они носят обобщённое название «минимаксные» стратегии), а сам принцип называется «принципом минимакса».

Если нижняя и верхняя цены игры совпадают, то игра называется игрой с седловой точкой, а это совпадающее значение носит название «цена игры».

Давайте выполним небольшое упражнение – найдём верхнюю и нижнюю цену игры с заданной платежной матрицей.

Решение. Давайте для каждой строки матрицы найдём наименьший элемент. Запишем справа от соответствующей строки. Для каждого столбца найдём наибольший элемент. Запишем его под соответствующим столбцом.

Тогда нижняя цена данной игры равна max(1;  −1; 3;  −1) = 3 ; верхняя цена игры равна min(3; 3; 5; 4; 5) = 3.

Есть ли у данной матрицы седловые точки? Да, причем их две, других нет – это точки на пересечении третьей строки с первым и вторым столбцами. Значит, оптимальной стратегией первого игрока будет выбрать третью строку, а второму без разницы, выбирать первый или второй столбец. Хотя я бы на месте второго игрока выбрала вторую стратегию, потому что в соответствующем ей столбце в целом поменьше числа. То есть, в равноценных ситуациях можно выбирать ту, куда выгоднее сходить, если есть шанс, что оппонент не настолько рационален, как вы. =)

Существуют игры, в которых можно явным образом откинуть заведомо нецелесообразные стратегии. Например, подобное мы наблюдали в рассмотренных ранее задачах.

Введём более формальное определение:

Убирание всех доминируемых строк из матрицы не приведёт к изменению решения. Этот принцип полезен для уменьшения размера платёжной матрицы. Подобное определение и метод уменьшения размера матрицы существует и для столбцов.

Построим платежную матрицу для данной игры. Здесь мы считаем прибылью вес хорошего мяса, которое добудут охотники.

«Охота на оленя» – это игра, в которой есть два равновесия – одно доминирует по риску, другое по выигрышу. Пара «Олень, Олень» доминирует по выигрышу, так как выплаты больше для обоих игроков. С другой стороны, пара «Заяц, Заяц» доминирует по риску, так как если существует неопределенность в отношении действий другого игрока, побег за зайцем обеспечит более высокую ожидаемую отдачу. Чем больше неопределенность игроков о действиях другого игрока, тем больше вероятность, что они будут выбирать аналогичную стратегию.

Мы тут ввели новые понятия доминируемости, что они значат?

Равновесие доминирует по выигрышу в игре, если оно есть Парето-улучшение всех остальных равновесий. Доминирующее равновесие при некооперативной игре даёт каждому из игроков наибольший выигрыш и поэтому каждый игрок использует именно доминирующее по выигрышу равновесие.

Бассейн притяжения равновесия – зона при наличии неопределённости относительно стратегий других участников, в которой игрок выбирает стратегию, ведущую к данному равновесию.

Равновесие, имеющее наибольший бассейн притяжения, доминирует по риску.

Эти концепции доминирования были определены Джоном Харсани и Рейнхардом Сельтеном в 1972 г.

Друзья, мы продолжаем цикл, посвящённый популяризации науки в России. Вы узнаете мнение наших лекторов о том, какой должна быть популяризация науки, её проблемах и достижениях, социальном и практическом значении, о том, как они пришли к этой деятельности, и зачем ею необходимо заниматься. Рассказывает Сергей Попов, астрофизик, профессор РАН, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Государственного астрономического института имени П. К. Штернберга.