Можно и подсчитать
Это были упоротые измерения, а хотелось бы упоротый расчёт. Ну, там, исходные данные - толщина бумаги, внешний и внутренний диаметр рулона. Методика, формулы, интегрирование, ряд Фибоначчи и так далее. То, что все в школе проходили, но уже забыли.
В целом...
Итак, поперечное сечение рулона, как правило, описывается спиралью Архимеда. При этом ставится условие, что поперечное сечение втулки является окружностью, а зазоры между витками отсутствуют. Следует отметить, что спираль Архимеда не обладает постоянным шагом, если под этим понимать длину отрезка нормали к любой паре соседних витков в любой точке. Иными словами, если записать уравнение спирали Архимеда как:
то задействовав переход к декартовым координатам с последующим вычислением тангенса угла наклона касательной (производная), получим, что:
Разрешением этого обстоятельства было бы использование кривых Бертрана или в данном случае, учитывая фактор плоской задачи, эквидистантные кривые, но в первом приближении забьём на это обстоятельство и поработаем с Архимедом.
Длина полотна в рулоне (при соблюдении различных условий) или в данной задаче длина спирали Архимеда рассчитывается по известной формуле:
Как же неудобно оформлять, но ладно.
Обратим внимание, что в нашем варианте уравнения спирали имеется постоянный член, грубо говоря, отвечающий за наличие втулки. Упростим расчёты с аргументацией типа "она и так не является параллельной, что нам эти дельты по переменным в точке перехода ловить?", для чего установим следующий подход к вычислению длины:
Задать радиус втулки,
Задать внешний радиус рулона,
Найти длину спирали Архимеда для обоих радиусов,
Подсчитать разность.
В таком случае, получим следующую формулу:
Славная формула, но вдруг можно упростить? Согласно быстро найденным данным, примем толщину бумаги, то есть шаг спирали, равным 0.1 мм (шаг спирали равен 2*pi*h). Зададимся диаметром втулки, равным 35 мм, в таком случае для первого угла получим значение примерно 1100 рад. Это значение отличается от sqrt(1100^2+1) примерно на 4.55e-4, что составляет не более 0.000042% от 1100. Нетрудно догадаться, что для большего радиуса разность станет ещё меньше. В противовес можно заявить о толщине бумаги, но строить поверхность разностей в зависимости от толщины бумаги и радиуса... будем.
Есть начало обоснования в пользу упрощения выведенной ранее формулы. Искать ещё аргументацию не будем кто как хочет, хех. Упростим формулу длины:
Перейдём к радиусам и введём переменную d, являющуюся толщиной бумаги. После упрощений получим:
Итак, по этой формуле можно оценить длину бумаги в рулоне. Отметим, что некоторые онлайн калькуляторы рулона используют эту формулу без второго слагаемого, что в ряде ситуаций обосновано. Например, для рулона офсетной бумаги с внешним диаметром 1000 мм, диаметром втулки 76 мм и толщиной 100 мкм, второе слагаемое равно примерно 0.02 мм.
Обратимся к первому слагаемому. Нетрудно заметить, что определение длины через него фактически базируется на представлении поперечного сечения рулона как множество концентрических окружностей и том факте, что с ростом количества витков форма внешнего витка спирали всё больше приближается к окружности (доказывается тривиально, достаточно рассмотреть отношение минимального и максимального расстояния от центра до витка).
Несложно вывести обратную формулу, то есть расчёт внешнего радиуса рулона в зависимости от длины. Для формулы только с первым слагаемым всё довольно просто, для двух слагаемых необходимо выполнить некоторые преобразования:
Полученное уравнение относительно R2 является трансцендентным, то есть оно не алгебраическое. И тут на сцену выкатывается тяжёлая артиллерия в виде W-функции Ламберта, позволяющей записать решение некоторого множества трансцендентных уравнений. Она определяется через функциональное уравнение следующим образом:
Используем её для нашего уравнения, для чего выполним преобразования:
Надо отметить, что если аргумент W-функции окажется большим, то имеет смысл задействовать асимптотику функции.
В сущности, всё зависит от коэффициента b. В результате получим следующее:
Вот это уже пойдёт. Пример. Воспользуемся онлайн калькулятором и зададим внутренний диаметр (втулка) 35 мм, внешний — 90 мм, а толщина равна 100 мкм. Сайт даёт длину, равную 53.99612373 м (следует отметить, что как раз один из найденных онлайн калькуляторов посчитал по упрощённой формуле без слагаемого с логарифмом). Применим обратную формулу и найдём модуль разности между исходным значением внешнего радиуса и рассчитанным. Получим достаточно малую величину 5.3189e-06 мм. Расчёты подтвердились.
Формулы красивые, выводил их (по расчёту радиуса от длины) лет десять назад. Всем раздать формулы.
Интеграл хороший. Канал не веду, так что в телеграм не приглашаю.
P. S. Всем качественных рулонов и да прибудет с вами сила математики.
P. P. S. Можно, конечно, построить куда более сложную модель и развлекаться там. Пс-сс, как насчёт задания толщины бумаги как стохастической функции и расчётов плоскопараллельной задачи из области сопромата?
Записки юного учителя #10. Объяснения через еду
На педсовете обсуждали всякие педагогические штуки, и речь зашла о том, как мы объясняем.
Большинство сошлось на том, что это лучше всего делается через еду. Еда — это же самое близкое для детей, то, с чем они сталкиваются каждый день.
Я запомнил парочку примеров, за дословность не ручаюсь, но примерно так было.
Пример 1. Учительница математики рассказывает, как она начинает объяснять детям тему функций.
Дети! Скоро Новый год!
А какие у нас символы Нового года?
*дети перечисляют, кто-то обязательно говорит про мандарины*
О, мандарины! А давайте представим, что мы с вами решили пойти в магазин и купить килограмм мандаринов. Вот мы заходим во фруктовый отдел, видим мандарины по 150 рублей за килограмм.
Если мы купим 1 килограмм мандаринов, то мы заплатим 150 рублей.
А если мы купим 2 килограмма, то уже заплатим 300 рублей.
От чего зависит стоимость нашей покупки? От веса!
Таким образом, функция — это зависимость одной вещи от другой. А если говорить точнее, функция зависит от переменной величины — чего-то, что может меняться. У нас меняется вес мандаринов — меняется и стоимость нашей покупки!
//Ну и дальше рассказывается уже, что y = 150x в этом случае, и т.д. Как по мне, прекрасное начало объяснения функций.//
Пример 2. Преподавательница по одному из музыкальных предметов рассказывает, как она объясняет детям понятия "часть" и "целое".
Дети! Представьте, что мы решили купить пиццу! Мы её можем поделить! На сколько кусков? На 4! На 8! На 12! Да, мы можем разрезать её на столько кусков, сколько хотим! И когда мы сложим все эти куски вместе, у нас получится целая пицца!
Но подумайте — а как она получает такой вид? Для повара, который её готовит, её части совсем другие! Это отдельно ветчина, отдельно грибы, тесто, сыр, огурчики...
Получается, что одно и то же ЦЕЛОЕ можно составить из разных ЧАСТЕЙ.
Вот такая вот штука. Можете поделиться в комментах, какие вы слышали самые лучшие объяснения :)
Остальные посты серии положил тут.
Подписывайтесь, если интересно :)
Вы хотите головоломок?
Их есть у нас! Красивая карта, целых три уровня и много жителей, которых надо осчастливить быстрым интернетом. Для этого придется немножко подумать, но оно того стоит: ведь тем, кто дойдет до конца, выдадим красивую награду в профиль!
Секанс
Функция. Область определения функции
В новом видео вспомним, что такое функция и разберем самые основные виды функций. Научимся находить область определения функции.
Приятного просмотра!
Математика на примере овцы
Что надо успеть за выходные
Выспаться, провести генеральную уборку, посмотреть все новые сериалы и позаниматься спортом. Потом расстроиться, что время прошло зря. Есть альтернатива: сесть за руль и махнуть в путешествие. Как минимум, его вы всегда будете вспоминать с улыбкой. Собрали несколько нестандартных маршрутов.