Если спутник находится достаточно далеко от Кербина (домашняя планета игры, аналог Земли), то с него видна примерно половина поверхности планеты. Поскольку на половине поверхности всегда есть наземная станция космической связи, то для обеспечения соединения с таким спутником ничего специального придумывать не нужно. А вот для аппаратов, находящихся близко к поверхности, потери связи (и, соответственно, потери управления - я использую повышенные настройки сложности, включающие в себя, в том числе, потерю управления при потере связи) случаются постоянно. И если для спутников на низкой орбите это неприятно, но не критично, поскольку обычно можно дождаться следующего витка для проведения маневра, то потеря управления при входе в атмосферу нередко приводит к быстрой незапланированной разборке аппарата или другим очень неприятным последствиям.
Как видно (надеюсь) на этой маленькой картинке, каждый из двух спутников обеспечивает связью почти половину поверхности планеты, и не покрытой остается только узкая полоса между этими половинами. В случае Кербина, учитывая радиус 600 км и сферу влияния 84159 км, минимальная ширина этой полосы получается около 0°48' или 1.3 км.
Добавив третий спутник, можно избавиться от этой полосы, оставив не покрытыми связью лишь небольшие участки у полюсов (картинка из Гугла):
Добиться лучших результатов с помощью трех спутников невозможно - три точки в пространстве всегда лежат в одной плоскости, так что хотя бы с одной стороны самая дальняя от этой плоскости точка планеты (и некоторая ее окрестность) покрыта не будет.
Учитывая, что на полюса всем обычно более или менее плевать, в реальной игре стоит использовать эту схему (или предыдущую, с двумя спутниками). Дешево, мало спутников, легко понять, легко реализовать, и вообще супер. А на полюса всем плевать, верно? В крайнем случае, если когда-нибудь в будущем перестанет быть плевать, можно будет добавить один или два спутника на очень сильно вытянутой полярной орбите - такой спутник будет больше 99% времени проводить в одном полушарии.
Но это не наш метод, он гарантий не дает. И вывести две такие тройки спутников (насколько я понял, эта модель была впервые предложена Роджером Истеном в 1969) в разные плоскости для гарантированного покрытия - тоже не наш, 6 спутников - это много.
К сожалению, у меня не получилось самостоятельно придумать созвездие из меньшего количества, которое бы гарантировало непрерывную связь на всей поверхности планеты (точнее, придумалось-то дофига, но все оказалось с ошибками, как показало моделирование). Поэтому я на эту тему погуглил. Пришлось затратить немало усилий, но они окупились, и вторая ссылка из поисковой выдачи привела меня к патенту номер 4,854,527 от 8 августа 1989 года (уже передан в общественное достояние), в котором есть ссылка на статью Draim J. E. Three-and four-satellite continuous-coverage constellations //Journal of Guidance, Control, and Dynamics. – 1985. – Т. 8. – №. 6. – С. 725-730. с хорошим обзором на эту тему. Собственно, как и стоило ожидать, NASA уже давно изучило этот вопрос.
В статье описывается достаточно простое созвездие из 5 спутников на синхронных орбитах (поскольку орбиты синхронные, показаны треки спутников на поверхности планеты, экваториальные спутники относительно поверхности не двигаются):
А также созвездие из 3 спутников, обеспечивающее постоянное покрытие одного полушария:
Оно интересно тем, что, с одной стороны, в статье приведены теоремы о том, что это созвездие оптимально (которые я не объясню, потому что не осилил, стереометрия - не мое), а с другой - для глобального покрытия достаточно всего 4 спутников аналогичным образом: по два спутника на наклонных орбитах для каждого из полушарий, а экваториальные не нужны, если есть спутники другого полушария. Не уверен, что удалось понятно описать, что за созвездие будем выводить, поэтому вот еще картинки из патента:
Спутники 1 и 3 обслуживают, преимущественно, северное полушарие, а 2 и 4 - южное. В один и тот же момент времени спутники 1 и 3 находятся с одной стороны от планеты, а 2 и 4 - с противоположной. Угол между любой из орбит и экватором (наклонение) - 33°, а эксцентриситет орбит (показывает, насколько орбита вытянута, для круговой равен 0, для орбиты убегания равен 1) - 0.28.
Полярная проекция. Долготы восходящих узлов орбит отличаются на 90°. Спутники 1 и 3 находятся с одной стороны орбиты, а 2 и 4 - с противоположной.
Параметры орбит спутников из патента. Обратите внимание, что периоды всех спутников одинаковые, но любые.
Более практические рассуждения.
Возвращаясь к нашим баранам, нужно выбрать оптимальную полуось орбит спутников, решить, как именно их на эти орбиты выводить, и построить спутники и ракету-носитель для них.
У нас есть одна-единственная степень свободы - это период (или полуось, поскольку период у всех орбит с одинаковой полуосью одинаковый) орбит. Полуось - это полусумма периапсиса и апоапсиса.
Эллипс - это орбита спутника. F₁ - центр планеты, слева - периапсис, справа - апоапсис. Большая полуось (или просто полуось) - а.
С одной стороны, хочется, чтобы спутники летали как можно выше - задержки сигнала в KSP нет, и для наличия управления достаточно просто наличия соединения. Зато более высокие орбиты спутников уменьшают требования Δv, поскольку требуется меньшее изменение наклонения (а это очень дорогая процедура, и она нам потребуется при запуске). Но главное даже не это, а то, что если спутники нашей системы связи расположены достаточно высоко, то увеличивается их высота над горизонтом. Соответственно, можно их менее точно выводить.
График из патента. По оси Х - период обращения спутников созвездия в часах, по оси Y - минимальный угол над горизонтом. График приведен для Земли, в случае Кербина несложная математика дает нулевой минимальный угол при полуоси 4350 км.
С другой стороны, если спутники находятся слишком высоко, то у космического аппарата может не хватить мощности антенны для связи со спутником созвездия. Учитывая, что я хочу обеспечить связь раз и навсегда, исходим из предположения, что у космического аппарата нет антенн, кроме встроенной маломощной. При моих настройках максимальное расстояние, на котором возможна связь между встроенной антенной и релейной антенной максимальной мощности (которую мы будем использовать для спутников связи) - около 15 тысяч километров. Учитывая, что это ограничение на апоапсис, получаем, что полуось должна быть не больше 11278 км.
С третьей стороны, в игре у Кербина есть спутник - Муна, и нужно, чтобы она не мешала. Если бы наше созвездие располагалось достаточно высоко, то нужно было бы синхронизироваться с Муной во избежание затмений спутников ею (мы же хотим постоянное покрытие!). Но учитывая, что наше созвездие находится не слишком высоко, а как раз где-то около орбиты Муны (полуось ее орбиты - 12000 км), нам нужно также убедиться, что спутники никогда не окажутся достаточно близко к Муне, чтобы она повлияла на их орбиты (в реальности это невозможно, и пришлось бы просто располагать спутники, по возможности, пониже, и корректировать их орбиты, но в игре, с ее концепцией "зон влияния", это достижимо).
Учитывая, что мы хотим как можно большую полуось, синхронизировать спутники с Муной точно не получится, так что просто найдем максимальную полуось, при которой эллипс орбиты (с учетом наклонения) и тор зоны влияния Муны не пересекаются. Путем нехитрых расчетов у меня получилось, что максимальная возможная большая полуось орбиты немногим меньше, чем 10200 км. Округлим вниз на всякий пожарный, и будем выводить наше созвездие на орбиты с большой полуосью 10100 км.
Теперь, когда принято решение о том, на какие именно орбиты выводить эти спутники, нужно решить, как это сделать. В реальном мире спутники связи обычно запускаются небольшими группами. Здесь же запускать спутники по два было бы вряд ли сколько-нибудь удобно, поэтому нужно запускать их по одному или все вместе. Поскольку я сомневаюсь в своих способностях по точному выводу спутников на орбиты, будем запускать их все вместе - гораздо проще добиться правильного расположения спутников относительно друг друга, если в начале пути их позиции совпадали.
Спутники хочется запускать следующим образом:
1. Запуск на низкую экваториальную орбиту (атмосфера Кербина полностью заканчивается на 70 км, так что спутники могут летать на высоте около 80 км, с учетом небольшого запаса высоты на всякий случай).
2. Повышение апоапсиса для выхода на орбиту, переходную к резонансной. Ее периапсис находится низко (на тех же 80 км, грубо говоря), а апоапсис совпадает с апоапсисом резонансной орбиты.
3. Переход на орбиту, резонансную к опорной, посредством повышения периапсиса. Резонансная орбита - это орбита, одна из точек которой совпадает с целевой, а период обращения на которой соотносится с периодом обращения на целевой орбите заданным образом - например, как 9 к 8.
4. Последовательное отделение каждого из 4 спутников системы связи от ракеты-носителя. Каждый из спутников отделяется в той точке резонансной орбиты, которая совпадает с опорной, и сразу же переходит на опорную орбиту. Поскольку период резонансной орбиты больше, чем период опорной, таким образом мы получаем четыре спутника, расположенные на одной и той же опорной орбите, через равные промежутки. А длину этого промежутка можно регулировать изменением отношения периодов резонансной и опорной орбит.
5. Каждый из 4 спутников, с разницей в 90 градусов дуги, изменяет наклонение своей орбиты на 33°. После этого этапа все орбиты находятся в нужных плоскостях, и остается лишь изменить их апоапсис и периапсис.
6. Изменение периапсиса орбит спутников.
7. Изменение апоапсисов орбит спутников.
8*. Возвращение ракеты-носителя на Кербин. Мы же не хотим оставлять космический мусор, верно?
Шаг 4 - это стандартная процедура вывода нескольких спутников на одну и ту же круговую орбиту. Например, если мы хотим вывести три спутника на желтую орбиту на картинке выше. Что мы делаем? Мы выводим ракету-носитель с тремя спутниками на борту на зеленую орбиту. В точке пересечения орбит (на картинке - желтый круг сверху) один из спутников отделяется и немного тормозит, переходя на желтую орбиту. К тому моменту, когда ракета-носитель сделает один полный оборот по зеленой орбите, спутник сделает 4/3 оборота и окажется в левой точке, отмеченной треугольником. В этот момент мы отсоединяем второй спутник - он тоже тормозит, переходя на желтую орбиту. Еще через оборот, аналогичным образом, отсоединяем третий спутник.
Шаги 2-3 и 6-7 - это стандартный Гомановский переход между орбитами. Представим себе, что мы хотим перейти с зеленой орбиты на рисунке выше на красную. Как это сделать? Сначала ускоримся на Δv и тем самым перейдем на желтую орбиту (апоапсис которой совпадает с апоапсисом красной), а потом выполним второе включение двигателя, ускорившись еще на Δv', и тем самым перейдем на красную орбиту. Эта вся схема была придумана Гоманом ещё сто лет назад. Она является оптимальной для случая, если начальная и конечная орбиты отличаются не слишком сильно (а если сильно, то она начинает проигрывать бипараболической траектории по требуемому изменению скорости, но разница там буквально в единицы процентов, и она обычно не стоит увеличения продолжительности полета).
Остаётся самое главное: определить высоту опорной орбиты в алгоритме выше. Хочется, чтобы она была в резонансе с целевыми орбитами спутников - разные спутники созвездия проведут на опорной орбите разное время, и хочется упростить математику вычисления их относительных сдвигов. Идеальным вариантом, конечно, стала бы опорная орбита с той же самой полуосью, что и орбиты спутников - в этом случае их относительные позиции вообще не будут меняться с течением времени, и на опорной орбите можно будет болтаться сколько угодно. Но, к сожалению, этот вариант нам не подходит - эта орбита пересекает область влияния Муны, и болтаться на ней придется достаточно долго, чтобы Муна в любом случае успела нас поймать. Поэтому берём следующий вариант - резонанс 2:1, то есть, период опорной орбиты вдвое больше, чем периоды орбит спутников. Ее полуось при этом получается равной 16032.751 км. На этой опорной орбите наши спутники нужно расположить с разницей в 45° - они превратятся в 90° задержки на более низкой орбите (целевой), и еще столько же набежит за то время, на которое спутник дольше находится на опорной орбите. В итоге - одна пара спутников находится с одной стороны от планеты, другая - с другой, как и написано в патенте.
В общем, собираем все в одну кучу и добавляем немного расчетов для определения Δv.
1. Вывод ракеты-носителя со спутниками на борту на низкую экваториальную орбиту Кербина (80 х 80 км). Требуемая Δv для типичной ракеты - около 3400 м/с. Еще около 800 м/с накинем на компенсацию аэродинамического сопротивления, все же, мы выводим на орбиту целых четыре спутника с огромными антеннами.
2. Переход на переходную орбиту 80 х 18052.091 км. Δv около 887 м/с.
3. Переход на резонансную орбиту 15432.751 х 18052.091 км. Δv около 303 м/с.
4. Каждый раз в периапсисе отделяем один из четырех спутников. Спутники скругляют орбиту до опорной высотой 15432.751 км. Δv около 17.4 м/с.
5. Изменение наклонения орбиты каждого из четырех спутников до 33°. Δv около 266.6 м/с.
6. Переход на переходную к целевой орбите 6672 х 15432.751 км для каждого из четырех спутников. Δv около 98.6 м/с.
7. Переход на целевую орбиту 6672 х 12328 км для каждого из четырех спутников. Δv около 29 м/с.
8. Возвращение верхней ступени ракеты-носителя с использованием гравитационного маневра у Муны. Грубо можно оценить в 30 м/с, но, пожалуй, накинем еще столько же на всякий случай - мало ли, какие еще коррекции где потребуются.
Итого получается, что нам нужно 5450 м/с изменения скорости у ракеты-носителя и около 400 м/с у спутников.
Внешний вид каждого из четырех спутников. Каждый спутник состоит из самой большой антенны, самого маленького (а значит, легкого) управляющего модуля, маленького гироскопа для ориентации, четырех больших аккумуляторов (столько нужно для передачи максимального количества науки с научной лаборатории, вряд ли за один раз мне потребуется больше, а до следующего сеанса передачи данных успеем накопить заряда), четырех небольших солнечных батарей, самого маленького топливного бака и самого маленького двигателя. Очень важно выбрать именно самый маленький двигатель, чтобы достичь требуемой точности расположения спутников. Запас изменения скорости в такой конфигурации получается 519 м/с - немного больше, чем нужно, так что будет запас на всякий случай.
Оказывается, на пикабу есть ограничение в 51 блок на пост. Поэтому непосредственно полет будет размещен в отдельном посте.