“Его или ему приспичило, пришла крайняя нужда, вынь да положь, роди да подай.” (В. И. Даль, толковый словарь)
А как “непреодолимое желание” связано с “палочкой из дерева, картона или бумаги, снабжённая зажигательной головкой, служащей для получения открытого огня” (Wiki)? Никак.
Происхождение слова “Приспичить” связано с спицей - заострённой деревянной палочкой или занозой. В этимологическом словаре Н. М. Шанского слово “Спичка” определено как Уменьшительно-ласкательная форма слова “спица”.
Всем вам знакомо то чувство, когда Вы занозили палец. У вас тут же возникает острое желание немедленно извлечь занозу. Но слово “Приспицило”, для описания этого желания, не слишком удобно для произношения и оно трансформировалось в “ приспичило”.