Попробуем найти равновесие в смешанных стратегиях для игры «камень-ножницы-бумага».
Напомним правила данной игры :
Ножницы режут бумагу,
Камень ломает ножницы,
Бумага покрывает камень.
Эта игра действительно проста и хорошо известна. Например, ей смогли научить нескольких шимпанзе (пантроглодитов). Это забавное исследование было проведено китайскими и японскими исследователями на 7 животных (3 молодых и 4 пожилых) из Института исследований приматов Киотского университета (Япония). Ученые смогли объяснить нашим «родственникам» правила игры, а затем приматы должны были выбрать правильный ход на сенсорном экране, чтобы выиграть игру. По результатам исследования, представленным в 2017 г. в научной статье, 5 из 7 шимпанзе успешно завершили обучение, продемонстрировав тем самым свое владение правилами этой игры. Ученые не обнаружили никаких зависимостей результатов от возраста или пола этих животных.
В 2013 году в Японии сконструировали робота, который со стопроцентным успехом побеждает человека в «камень-ножницы-бумага». Выигрыш получается не за счет конкретной стратегии, а за счет анализа движений руки человека с помощью высокоскоростной камеры. Но как найти баланс в игре между двумя людьми?
Построим платёжную матрицу для данной игры. Это игра с нулевой суммой, в которой «1» – это победа, «-1» – поражение, «0» – ничья.
Пусть первый игрок выбирает камень с вероятностью x, ножницы с вероятностью y и бумагу с вероятностью 1−x−y.
Тогда математическое ожидание выигрыша второго игрока в случае выбора им камня будет равно 0∙x+(-1)∙y+1∙(1-x-y).
В случае выбора ножниц это математическое ожидание будет равно
1∙x+0∙y+(-1)∙(1-x-y), а в случае выбора бумаги будет равно (-1)∙x+1∙y+0∙(1-x-y).
Тогда равенство потенциальных доходов можно записать в виде:
Решив систему двух уравнений с двумя неизвестными, находим, что в равновесии наш ожидаемый выигрыш будет равен 0 и достигается, когда y = x = 1/3.
Аналогично можно определить и оптимальную стратегию для второго игрока. Логично, что в этой симметричной игре она такая же, как и у первого игрока.
На самом деле, «игра в монетку» и игра в «камень-ножницы-бумагу» весьма специфичны. Лучшей стратегией, как мы уже поняли, является случайный равновероятный выбор одного из вариантов. Но тогда средним выигрышем будет 0!.. Как же тогда существуют чемпионы по данным играм? Это просто лотерея или что-то большее? Почему они так популярны? На самом деле, данные игры весьма психологичны, так как, что ни говори, всё равно оба игрока будут пытаться предсказать ход противника.
Самая крупная сумма, выигранная в этих играх, составляет 50 тысяч долларов. Его выиграл в Лас-Вегасе Шон Сирс, который не собирался участвовать в тот вечер в игре «камень-ножницы-бумага». Но он неожиданно обыграл за вечер 300 противников и заслужил прозвище «сумасшедшие пальцы». Сирс объяснял свой успех умением наблюдать за противником в конкретной ситуации и не придерживаться одной тактики.
В книге «Эволюция кооперации» (1984) Роберт Аксельрод исследовал поведение игроков в повторяющейся дилемме заключенного. Он предложил своим коллегам реализовать алгоритмы, реализующие данную игру и провёл турнир среди данных алгоритмов. В турнире приняло участие много программ, реализующих алгоритмы. Интересно, что по поведению программ можно было наделять их человеческими качествами. Например, оказалось, что «жадные» программы начинали терпеть поражение после нескольких игр, то есть, в долгосрочной перспективе они оказывались несостоятельными. «Альтруистические» программы, стремящиеся к кооперации приводили, опять таки, в долгосрочной перспективе, к положительным результатам в плане выигрыша. Аксельрод показал, что возможен естественный отбор, приводящий к альтруистическому поведению при начальном эгоистичном поведении.
Среди представленных программ были как очень сложные, так и очень простые, как детерминистические (не зависящие от случайных чисел), так и не детерминистические (смешанные). Интересно, что наилучшей из детерминистических стратегий оказалась стратегия «око за око», которая состояла всего из четырёх строк на бейсике. Она всегда сотрудничала на первом шаге, а на следующих шагах она повторяла поведение соперника, то есть, «предавала», если предавал соперник, и «сотрудничала», если сотрудничал соперник. Если добавить к этой стратегии элемент случайности, например, чтобы в случае предательства программа иногда, с вероятностью 1-5%, прощала, то результат мог бы оказаться ещё лучше. Это помогало разрушить цикл взаимного предательства (интересно звучит).
Анализируя результаты турнира, Аксельрод выделил несколько условий, способствующих высоким результатам в игре.
Стратегия не должна предавать до тех пор, пока ее не предаст противник. Почти каждая стратегия в верхней части турнирной таблицы обладала данным свойством, назовем его добротой. Интересно, что для получения наибольшей выгоды для себя, то есть из чисто корыстных побуждений, стратегия не должна предавать противника первой.
Стратегия должна реагировать на попытку противника предать ее. Стратегия всепрощения обречена на провал, потому что всегда найдется «подлая» стратегия, которая непременно воспользуется такой наивностью. Другими словами, успешная стратегия должна быть мстительной.
Если противник перестанет предавать, хорошей стратегией будет возобновление сотрудничества. Стратегия должна быть мягкой. Стратегия должна уметь прощать.
Зависть – желание набрать очков больше, чем соперник. Это – плохое свойство, хорошие стратегии независтливы.
Вывод из этого эксперимента звучит странно: для того, чтобы стратегии-эгоисты получали как можно больше выгоды для себя, они должны быть добрыми, независтливыми и прощающими. Неожиданно, не так ли?
Игра в монетки
Давайте проанализируем следующую игру.
Имеется два игрока. Один из них прячет монету в руке. Другой пытается угадать, где монета. Игрок, угадавший, в какой руке монета у партнёра, забирает её. Если угадать не получилось, мы отдаём партнёру по игре свою монетку.
Построим матрицу платежей для данной игры.
Как мы видим, в данной игре ВООБЩЕ нет никаких равновесий – ни по Нэшу, ни Парето-оптимальных.
Как вы думаете, какое будет равновесие в смешанных стратегиях в данной игре?
Вы можете попробовать поиграть в данную игру со своими друзьями, чтобы попробовать найти вашу лучшую стратегию.
0) «... Реальные дуополисты не живут ровно одним решением, а принимают новые и новые решения день за днем. ...»
----
Вообще-то как раз нередко принимают стратегическое решение и далее пытаются просто продавить его силой, или просто тупо бьются как мухи об стекло не понимая есть их фантазии о реальности, а есть объективное столкновение с этой реальностью.
... Ловушка невозвратных затрат – одна из форм более широкого когнитивного искажения под названием «эскалация вовлеченности» ...
Но для таких людей как правило: «вся жизнь война», им не важнен результат, для них важней оказаться правым (даже если просто тупо смошенничал исковеркав «игру»).
1) «... Третья стратегия – это делать одну шляпу до тех пор, как ваш противник делает то же самое, но переключится на две шляпы на следующий день после того, как ваш противник первым попытался на вас навариться. Если вы измените свою стратегию, то это потому, что ваш противник сам изменил ее, сделав две шляпы без предупреждения. ...»
---
Можно короче: принцип ведомого (отзеркаливание действий соперника).
Но у этой модели проблема в том что ты ведомый, т.е. реагируешь на ситуацию, а не задаёшь её исход.
2) «... Для однократной игры партнёрам стоит использовать принцип минимакса вне зависимости от того, содержит ли матрица платежей седловую точку или не содержит. Этот же принцип целесообразно использовать и при многократной игре с седловой точкой. ...»
---
Тут проблема в том что игрокам не всегда понятно когда игра разовая.
Вроде отжал «здесь и сейчас» по максимуму свою «львиную долю» пользуясь «правом силы», а игра оказалась в долгую (многократные игры).
И тут в игру вступает новая переменная «память о прошлых играх» (результаты предыдущих взаимодействий).
3) «... Поэтому «чем случайнее, тем вернее», именно непредсказуемо случайное чередование стратегий не позволит добиться сопернику выигрыша. ...»
---
В реальности тут скорее начинается «картельный сговор». Игра из однократной превратилась а серию/цикл и чтоб её не порушить своей, или чужой жадностью и безрассудством приходится договариваться о внутренних правилах этой серии игр.
Вилке выигрышев в среднем и максимально для каждого в отдельно взятой игре (самоконтроль), допустимом давлении на оппонента и пр.
4) Как писал чуть ранее неоднократность игры, её переход в серию + память о прошлых играх переводят эту «сериальную игру» в категорию кооперативных, в ином случае исходя из высших побуждений (справедливость) вечно проигрывающий игрок может из неё выйти и тем самым уничтожить оставив всех без выигрыша (см. игра «Ультиматум»).
Ага, я сейчас опять и снова про инновационную сферу и рационализаторскую деятельность.
Фирма считающая себя монополистом на местечковом рынке инноваций демпенгует через закупочные цены и роялти (авторские отчисления) на рацпредложения, изобретения, оптимизации и прочие инновации исходя из логики: «кому ты ткт ещё сможешь продать свои рацухи?, бери сколько заплатили».
Тем более что чиновники принимающие решения считают себя анонимным, организованным единством (говорящим от лица компании), а всех этих «Кулибиных» оголодавшими (финансирование из других источников) которые не умеют думать наперёд (просчитывая свою выгоду), которые не могут посмотреть историю прошлых игр для ретроспективного и проективного анализа инновационной игры чтоб понять какова будет их «гонорар успеха», или просто общаясь в своей среде поспрашивать у тех кто сыграл и сделал выводы уже Делёжка шкуры не убитого медведя (см. комментарии).
Как успехи?
См. https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Индекс_глобальной_конкурентоспособности + https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Интеллектуальный_капитал. В общем плохо, пока у нас игры «Царь Горы» и попытка урвать сиюминутно в псевдоразовой (однократной) игре, считая что тут игра с нулевой суммой, и готовые загрысть ради «победы». В других местах приоритет отдают долговременному, взаимовыгодному сотрудничеству (кооперативные игры) т.к. понимают что автор «гонорар успеха» потратит на себя в месте обитания, т.е. оставит деньги «на земле» и в экономике, а не законсервирует в золотом унитазе, часах стоимостью в элитную квартиру, океанскую яхту на которой бываешь 1~3 недели в год и прочий «дорого, пафосно и бесполезно».
Классическая https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Игра_РП-РџР% где каждый сам за себя и сам по себе что и приводит к https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Трагедия_антиобщин в виде проигрыша всех кто в этой «лодке». Ага, оказывается мы все по одну сторону, только на разных уровнях общества и государства, кто-то «как рабы на галерах», кто-то рулевой, кто-то просто разносчик чего-то там и вместо слаженной работы (кооперации) выясняем кто главный, кто-то себе строит плот из обшивки корабля (мне нужнее), кто-то топливо продаёт чтоб купить себе велосипед/трактор, кто-то паруса порезал на воздушный шар. В сумасшедшем доме попытка одиночного побега :-))) В общем, самовыживание без сотрудничества в основе которой «верхи не могут, низы не хотят» что и приводит к внутрикорпоративным войнам на истощение (в живых должен остаться только один).
По некоторым позициям обогнав нас в «эволюционной гонке» прогресса (НТР) на десятилетия (та же микроэлектроника, биоинженерия и пр. промышленное (а не лабораторное) производство).
Если рациональное сотрудничество невозможно в дилемме заключенных, как же дуополисты в реальной жизни могут договориться? Причина заключается в том, что реальный мир более сложен, чем вымышленные миры. Реальные дуополисты не живут ровно одним решением, а принимают новые и новые решения день за днем. Дилемма заключенных не отражает суть такого продолжающегося экономического взаимодействия, но мы можем создать «игрушечную игру», предполагая, что Алиса и Фантомас должны играть в данную игру дилеммы заключенных каждый день с сегодняшнего дня и до вечности. Их выигрыши в этой новой игре – это просто их средний ежедневный доход.
Когда мы будем изучать повторяющиеся игры серьезно, мы найдем, что Алиса и Фантомас имеют огромное, в общем виде счётное, количество стратегий, но сейчас мы будем просто смотреть на три: одна шляпа, две шляпы, и «я такой внезапный». Третья стратегия – это делать одну шляпу до тех пор, как ваш противник делает то же самое, но переключится на две шляпы на следующий день после того, как ваш противник первым попытался на вас навариться. Если вы измените свою стратегию, то это потому, что ваш противник сам изменил ее, сделав две шляпы без предупреждения. Итак, чтобы не рисковать проигрышем, вы отныне и навсегда будете делать то же самое.
Если использовать только стратегии «1 шляпа» и «2 шляпы», дилемма повторяющихся заключенных будет такой же, как и однократная, но у нас также есть стратегия «я такой внезапный». Когда игрок «я такой внезапный» играет с любителем такой же или одношляпной стратегии, то они всегда делают по одной шляпе, и каждый день оба получают по 14 евро.
Всё становится сложнее, когда игрок «я такой внезапный» наталкивается на двухшляпного. В первый день он сделает одну шляпу, а во второй – две. Но далее каждый игрок будет делать по 2 шляпы каждый день. Тогда каждый получит средний выигрыш в 11 евро, так как выигрыш в первый день не имеет значения при вычислении средних над бесконечным периодом.
Согласовав полученные значения, мы переходим к матрице выигрышей, указанной на таблице. Данная таблица – лишь малая часть общей платёжной матрицы повторяющейся дилеммы заключенных, потому что мы рассмотрели только три стратегии из счётного множества. В полной таблице мы сможем наблюдать бесконечное множество равновесий, так какое же необходимо выбрать? Или к какому сойдётся игра? На самом деле, ответ на данный вопрос получить так просто нельзя, поэтому обычно в задачах просят просто найти множество равновесий по Нэшу, или Парето-оптимум, или, опять же, ставят более явный вопрос.
Смешаные стратегии
Если матрица платежей содержит седловую точку, то существуют хорошие стратегии для обоих игроков. Для однократной игры партнёрам стоит использовать принцип минимакса вне зависимости от того, содержит ли матрица платежей седловую точку или не содержит. Этот же принцип целесообразно использовать и при многократной игре с седловой точкой.
Стратегия меняется, как только речь заходит о многократной игре без седловой точки. В этом случае постоянное повторение стратегии может привести к невыгодным результатам. Например, если мы будем играть в «камень-ножницы-бумагу» и ходить всё время только одинаково, то даже если соперник немного умственно неполноценен, успеха нам это не принесёт.
В повторяющихся играх каждая из стратегий однократной игры называется чистой стратегией.
Смешанная стратегия – это присвоение вероятности каждой чистой стратегии.
Это позволяет игроку случайным образом выбирать чистую стратегию. Поскольку вероятности непрерывны, игроку доступно бесконечно много смешанных стратегий. Интерес к смешанным стратегиям объясняется просто – если соперник определит, какая из ваших стратегий будет применяться в очередной игре, он сможет использовать эти знания для улучшения своего результата (и ухудшения вашего). Поэтому «чем случайнее, тем вернее», именно непредсказуемо случайное чередование стратегий не позволит добиться сопернику выигрыша.
Логично, что чистые стратегии можно представить как частный случай смешанных, например, в том случае, когда частота одной из стратегий – 1, а остальных – 0.
В оптимальных смешанных стратегиях игрок, отклонившийся от своей оптимальной стратегии, изменяет средний выигрыш в невыгодную для него сторону.
Полностью смешанная стратегия – это смешанная стратегия, в которой игрок присваивает каждой чистой стратегии строго положительную вероятность.
Решение игры есть совокупность применения каждым из игроков своих оптимальных стратегий.
Цена игры – результат, достигнутый при решении игры, то есть, средний выигрыш (математическое ожидание выигрыша) при применении оптимальных стратегий обоими игроками.
Те стратегии, которые присутствуют в оптимальной стратегии игрока с ненулевыми частотами, называются полезными (другое название – активными).
В 1928 году фон Нейман доказал, что для каждой игры имеется не менее одного решения. Это решение может находится в том числе в области смешанных стратегий.
Давайте сейчас рассмотрим пример, приведённый в книге Кена Бинмора.
Шляпники из страны чудес делают цилиндры из картона. Так как шляпники безумны, они считают свой труд бесплатным, и поэтому функция производства включает в себя только картон в качестве входных данных. Чем больше шляпники делают шляп, тем больше они торопятся и тратят всё больше и больше картона на каждую шляпу.
Точная производственная функция для количества шляп определяется уравнением: a= sqrt(r) (sqrt - обозначение квадратного корня, наверняка знакомое программистам).
Это значит, что из r листов картона шляпник может сделать a=sqrt(r) шляп. Например, для изготовления одной шляпы потребуется всего один лист картона, а вот для двух шляп – уже 4.
Алиса является монополистом в шляпном бизнесе. Картон можно приобрести на один евро за лист, и поэтому один цилиндр обойдется в 1 доллар, а вот 2 – уже в 4. Таким образом, функция общей стоимости может быть выражена, как c(a)= a^2.
Если Алиса продаёт шляпы по цене p евро за каждую, то её прибыль после продажи a шляп будет равна π=a∙p-a^2.
Чтобы узнать, как получить как можно больше прибыли, Алисе нужно знать, сколько шляп (a) она сможет продать, если она будет продавать по цене p евро. Логично, что чем дешевле вещь, если она не является жизненно необходимой, тем больше её будут покупать. В стране чудес эта информация задается уравнением спроса: 30 = a∙p.
После подстановки получим, что π=30-a^2, а, значит, прибыль будет максимальной, если она продаст всего одну, но зато очень дорогую шляпу.
Классический монополист задаёт цену сам, он имеет полную власть над ней. Торговцы на совершенно конкурентном рынке продают товар по сумме, близкой к стоимости производства, то есть, издержкам – ибо цена уменьшается для оттягивания на себя доли рынка.
Какое отношение имеет к этому примеру теория игр? А вот сейчас мы это узнаем.
Предположим, что в страну чудес попал ещё один шляпный бизнесмен. Например, пусть это будет Фантомас.
Пусть Алиса производит a шляп, а Фантомас – b шляп. Тогда каждая шляпа будет продана за p = 30/(a + b) евро. Если и Алиса и Фантомас будут пытаться максимизировать только свою прибыль, то что они получат?
Упростим задачу – пусть каждый из участников рынка думает только о выборе между одной или двумя шляпами для производства.
В таком случае, мы можем составить платёжную матрицу получившейся игры.
В дуополии, Алиса и Фантомас попытаются получить вместе побольше денег и, если оба сделают только по одному цилиндру, то есть, в общей сложности только два цилиндра, каждый из них получит прибыль в размере 14 евро.
Тем не менее, обычно игроки пытаются максимизировать свою собственную индивидуальную прибыль. И вот тут-то и возникает дилемма заключенных. Тут всегда сильно доминирует изготовление двух шляп. В результате каждый получает всего по 11 евро.
Минимаксная теорема Джона фон Неймана (иногда называемая фундаментальной теоремой теории игр для двух игроков), продемонстрированная в 1926 году, является важным результатом в теории игр.
Вернёмся к играм с нулевой суммой. В них на пересечениях стратегий в платёжной матрице записаны не пары чисел, а одно число – сумма, которую получает первый игрок от второго. Такое представление игры называется «матричной игрой».
Можно показать, что седловая точка является точкой наибольшей целесообразности для обоих игроков. Почему? Пусть первый игрок выбрал i-ю стратегию. Тогда элементы строки i в матрице будут означать его возможные выигрыши. Если второй игрок применит оптимальную для него стратегию, то выигрыш первого игрока, очевидно, будет равен минимальному элементу в i-й строке. Таким образом, первому игроку требуется выбрать такую строку, чтобы минимальный элемент в ней был наибольшим среди всех минимальных элементах в строках.
Число α=max1≤i≤m min1≤j≤n a_ij (то есть, такое число, которое является максимумом из всех минимальных значений по строкам) называется нижней ценой игры, стратегия первого игрока, приводящая к нему, называется максиминной.
Максиминная стратегия позволяет первому игроку получить гарантированный выигрыш, не меньший α вне зависимости от действий второго игрока.
Второй игрок заинтересован в том, чтобы первый игрок выиграл как можно меньше. Если он выберет j-ю стратегию (это будет соответствовать j-му столбцу платёжной матрицы), то при выборе первым игроком стратегии i выигрыш первого составит a_ij. Первый игрок, очевидно, выберет строку с наибольшим значением в столбце j и, следовательно, второму игроку требуется выбрать такой столбец, в котором такое наибольшее значение минимально. Выигрыш второго игрока при его наилучшей стратегии будет равен -max 1≤i≤m a_ij.
Число β=min 1≤i≤m max1≤j≤n a_ij является верхней ценой игры, а стратегия второго игрока, приводящая к нему, называется минимаксной.
Такая стратегия позволяет получить гарантированный выигрыш не меньший -β вне зависимости от действий первого игрока.
Эти стратегии, минимаксная и максиминная, являются осторожными стратегиями (они носят обобщённое название «минимаксные» стратегии), а сам принцип называется «принципом минимакса».
Если нижняя и верхняя цены игры совпадают, то игра называется игрой с седловой точкой, а это совпадающее значение носит название «цена игры».
Давайте выполним небольшое упражнение – найдём верхнюю и нижнюю цену игры с заданной платежной матрицей.
Решение. Давайте для каждой строки матрицы найдём наименьший элемент. Запишем справа от соответствующей строки. Для каждого столбца найдём наибольший элемент. Запишем его под соответствующим столбцом.
Тогда нижняя цена данной игры равна max(1; −1; 3; −1) = 3 ; верхняя цена игры равна min(3; 3; 5; 4; 5) = 3.
Есть ли у данной матрицы седловые точки? Да, причем их две, других нет – это точки на пересечении третьей строки с первым и вторым столбцами. Значит, оптимальной стратегией первого игрока будет выбрать третью строку, а второму без разницы, выбирать первый или второй столбец. Хотя я бы на месте второго игрока выбрала вторую стратегию, потому что в соответствующем ей столбце в целом поменьше числа. То есть, в равноценных ситуациях можно выбирать ту, куда выгоднее сходить, если есть шанс, что оппонент не настолько рационален, как вы. =)
Существуют игры, в которых можно явным образом откинуть заведомо нецелесообразные стратегии. Например, подобное мы наблюдали в рассмотренных ранее задачах.
Введём более формальное определение:
Убирание всех доминируемых строк из матрицы не приведёт к изменению решения. Этот принцип полезен для уменьшения размера платёжной матрицы. Подобное определение и метод уменьшения размера матрицы существует и для столбцов.
Как вы уже поняли, главная цель моих постов – познакомить вас с наиболее классическими задачами из теории игр, а так же понять их математику и психологию.
Охота на оленя
Рассмотрим игру «Охота на оленя». В теории игр, охота на оленя — это игра, описывающая конфликт между безопасностью и социальным сотрудничеством. Ее также называют «игра на доверие», «игра на координацию» и «дилемма уверенности».
Впервые описанная Жан-Жаком Руссо в 1755 году, данная кооперативная симметричная игра, описывающая конфликт между личными интересами и общественными интересами, звучит так:
Если охотились на оленя, то каждый понимал, что для этого он обязан оставаться на своем посту; но если вблизи кого-либо из охотников пробегал заяц, то не приходилось сомневаться, что этот охотник без зазрения совести пустится за ним вдогонку и, настигнув добычу, весьма мало будет сокрушаться о том, что таким образом лишил добычи своих товарищей.
Каждый охотник желает знать.... что он хочет выбрать – пойти застрелить зайца или застрелить оленя. Каждый игрок выбирает действие, не зная, как поступит второй. Если один выбирает оленя, то он должен стрелять вместе со вторым, чтобы достигнуть успеха. Если зайца человек может застрелить и в одиночку, то на оленя мощности одного выстрела уже не хватит.
Построим платежную матрицу для данной игры. Здесь мы считаем прибылью вес хорошего мяса, которое добудут охотники.
«Охота на оленя» – это игра, в которой есть два равновесия – одно доминирует по риску, другое по выигрышу. Пара «Олень, Олень» доминирует по выигрышу, так как выплаты больше для обоих игроков. С другой стороны, пара «Заяц, Заяц» доминирует по риску, так как если существует неопределенность в отношении действий другого игрока, побег за зайцем обеспечит более высокую ожидаемую отдачу. Чем больше неопределенность игроков о действиях другого игрока, тем больше вероятность, что они будут выбирать аналогичную стратегию.
Мы тут ввели новые понятия доминируемости, что они значат?
Равновесие доминирует по выигрышу в игре, если оно есть Парето-улучшение всех остальных равновесий. Доминирующее равновесие при некооперативной игре даёт каждому из игроков наибольший выигрыш и поэтому каждый игрок использует именно доминирующее по выигрышу равновесие.
Бассейн притяжения равновесия – зона при наличии неопределённости относительно стратегий других участников, в которой игрок выбирает стратегию, ведущую к данному равновесию.
Равновесие, имеющее наибольший бассейн притяжения, доминирует по риску.
Эти концепции доминирования были определены Джоном Харсани и Рейнхардом Сельтеном в 1972 г.
Несмотря на капризы погоды, лето неумолимо приближается. Значит, занятия в спортивном зале или домашние тренировки получится заменить на активности под открытым небом. Собрали для вас товары, которые сделают уличные воркауты интереснее, увлекательнее и полезнее.
Мегамаркет дарит пикабушникам промокод килобайт. Он дает скидку 2 000 рублей на первую покупку от 4 000 рублей и действует до 31 мая. Полные правила здесь.
В компактную поясную сумку поместятся телефон, ключи, кошелек или другие нужные мелочи. Во время тренировки все это не гремит и не мешает, но всегда находится под рукой. Материал сумки прочный и влагонепроницаемый, вещи в ней защищены от повреждений, царапин или пота.
С фитнес-резинкой можно тренировать все группы мышц: руки, ноги, кор, ягодицы. А еще она облегчает подтягивания и помогает мягко растягиваться. В сети можно найти огромное количество роликов с упражнениями разной степени сложности. Нагрузка легко дозируется: новичкам подойдет резинка с сопротивлением до 23 кг, опытным атлетам — до 57 кг. При этом оборудование максимально компактно и поместится даже в небольшую сумку.
Для тех, кому надоели обычные тренировки. Слэклайн — это стропа шириной 50 мм, с помощью которой осваивают хождение по канату. Тренажер учит сохранять баланс, прокачивает координацию и концентрацию, а еще дает отличную нагрузку на спину, руки и ноги.
Настольный теннис — простой в освоении вид спорта, который отлично помогает размяться и тренирует скорость реакции. В комплект входят две ракетки, три мяча, сетка, накладка и чехол — все, что нужно, чтобы поиграть вечером во дворе с другом или устроить небольшие соревнования. Этот недорогой набор подойдет именно для развлечения и веселья, устанавливается почти на любой стол.
Еще один вид спорта, которым можно заниматься, даже не имея серьезной подготовки — бадминтон. С набором от Wish Steeltec вы сможете потренировать силу удара, побегать и просто хорошо провести время. Детали яркие, так что их трудно потерять даже на природе. Леска натянута прочно, ресурса ракеток должно хватить не на один сезон.
Фрисби воспринимается как простое пляжное развлечение. Тем не менее перекидывание друг другу тарелки задействует все группы мышц и развивает скорость реакции. Эта тарелка летит далеко и по понятной траектории — отличный снаряд для начала. Кстати, фрисби — это еще и ряд спортивных дисциплин со своими правилами и техническими сложностями, так что игра с друзьями может перерасти в серьезное увлечение.
Стильный мяч из износостойкой резины отлично подходит для уличных тренировок. Вы сможете поиграть компанией в баскетбол или стритбол или просто отработать броски. При производстве используется технология сбалансированного сцепления: это значит, что снаряд не сбежит от вас и будет двигаться по стабильной траектории.
Футбол — один из самых популярных в России видов спорта. Играя, можно отлично побегать, потренировать меткость и отработать взаимодействие в команде. Футбольный мяч Torres Striker выполнен из качественного полиуретана и резины и выдержит не один десяток матчей, не потеряв упругости. Отличная балансировка и оптимальный размер делают его подходящим как для взрослых, так и для подростков. Он достаточно тяжелый, почти как в профессиональном спорте, так что совсем малышам не понравится.
Пляжный или обычный волейбол? А может быть, пионербол, как в детском лагере? Мяч TORRES SIMPLE COLOR подойдет для любой из этих игр. Камера отлично держит давление, поэтому вам не придется постоянно подкачивать его, а качественные материалы (полиуретан и бутил) сохраняют все характеристики даже при интенсивном использовании.
Многоскоростной велосипед с рамой 19-го размера подойдет как мужчинам, так и женщинам. Это отличный вариант для новичков: модель доступная, удобная. Поможет понять, нравится ли вам велоспорт. Конструкция велосипеда позволяет ездить по дорогам разных типов, поэтому вы сможете перемещаться по городу или отправиться в поход. Есть складной механизм — велосипед с ним легко возить в машине, на электричке и просто хранить в кладовке.
Более продвинутая модель для тех, кто уже оценил прелесть движения на двух колесах. Геометрия велосипеда предполагает вертикальную посадку. Это обеспечивает более удобное положение тела, чем на других байках. В конструкции предусмотрены детали для комфорта и безопасности: пружинная вилка с ходом 100 мм, сервисная подводка тросов и дисковые гидравлические тормоза.
Если вы не фанат велоспорта, но хотите получить свою дозу физической нагрузки, перемещаясь по городу, выбирайте самокат. В модели PLANK Magic 200 есть регулировка руля по высоте, надежные тормоза и прочная увеличенная дека из алюминия. Когда вы катаетесь на самокате, работают мышцы ног, ягодиц, спины и живота, а заодно добираетесь, куда нужно. Если вы решите сделать паузу в тренировках, самокат легко складывается для хранения.
Любая активность на свежем воздухе требует хорошей обуви, специально сделанной для занятий спортом. Яркие кроссовки Hoka RINCON 3 с облегченным весом амортизируют, снижают нагрузку на суставы. Выраженный рельеф подошвы обеспечивает сцепление с поверхностью вне зависимости от того, где проходит тренировка: на специальной площадке, асфальте или грунте.
Легкие женские кроссовки из линейки Clifton подходят для занятий на твердых покрытиях. Дышащий сетчатый верх поддерживает вентиляцию стоп, чтобы можно было тренироваться даже в жару. Подошва из легкой пены EVA гасит силу ударов. Кроссовки беговые, подходят для тренировок на длинных дистанциях.
Во время занятий на свежем воздухе важно защитить голову от перегрева. С этим отлично справится легкая и светлая бейсболка — например, от GLHF. Она удобно сидит на голове, не сваливается и не отвлекает от занятий, благодаря сетке голова меньше потеет. Козырек жесткий и не мнется.
Не забудьте защитить кожу от солнца — чтобы не было мучительно больно на следующий день после тренировки под открытым небом. В этом поможет крем против пигментных пятен с сильной защитой от ультрафиолета SPF50. Водостойкая текстура легко наносится и быстро впитывается, действует два часа — потом крем нужно обновить.
Удобные и стильные солнцезащитные очки защищают глаза благодаря фильтру UV400, который поглощает до 99.99% ультрафиолета. Они выполнены из легких материалов и плотно прилегают к голове. Ударопрочные поликарбонатные линзы с антибликовым покрытием подходят для разных видов спорта.
Используйте промокод килобайт на Мегамаркете.Он дает скидку 2 000 рублей на первую покупку от 4 000 рублей и действует до 31 мая. Полные правила здесь.
Реклама ООО «МАРКЕТПЛЕЙС» (агрегатор) (ОГРН: 1167746803180, ИНН: 9701048328), юридический адрес: 105082, г. Москва, ул. Спартаковская площадь, д. 16/15, стр. 6
Я тут читаю книжку. Читаю, понятное дело, с середины и пролистывая. Дошел до главы, где теория на примере карибского кризиса разбирается. И вот там строятся разные древа решения, считаются вероятности и т.д. А у меня возник вопрос, где в теории учитывается, сколько раз надо играть, что бы применять это на практике? Ведь это существенно должно влиять на поведение. Т.е. условно если это одна игра и дальше взаимодействия не будет, независимо от исхода, или так или иначе тебя заставят играть снова и снова в будущем, возможно в другие игры, и как этот момент принуждения и будущности вообще учитывается?