Преподаю я давным-давно, сама, понятное дело, ОГЭ и ЕГЭ решаю быстро и безболезненно... Ну почти. Кроме первых пяти ОГЭшных задач. Сейчас объясню.
Там такие задачи... Такие... Ну вот как вырезка из газеты. Или как будто вам прислали письмо из управляющей организации про задолженности по ежеквартальной премии... Короче, бредово звучит примерно так через раз на второй.
И для себя я даже не пробую разобраться. Прямо так и предупреждаю с порога: первые пять номеров в ОГЭ вы подготовите сами.
- А как? Как подготовим? - спрашивают, разумеется, отдельные люди. Спрашивают отдельные, а лучше бы все бы спрашивали. Там потому что проблемы всегда у всех.
Короче. Берёте сто задач №1. Тексты там всё равно повторяются от №1 к №5. И подготовка по ним нужна как раз именно с текстом.
Из этих обрывков газет и домовых книг текстов выписываете непонятные слова. И там их будет вагон. На сотню задач легко наберётся полсотни слов, которых не слышали даже друзья родителей.
Слова эти надо погуглить. И с новым знанием перечитать задачи №1 сотню штук (см. выше).
ЗЫ если вы на физмате, вас это тоже касается - вы же небось не заглядывали в №№1-5, типа там тривиальное. А вы загляните. Пусть этот ужас накроет вас до экзамена - пусть у вас будет время что-нибудь с этим сделать.
Если a / b = c, то b * c = a. Соответственно, если b = 0, то c * 0 = a. Если в этом случае a равно 0, то подходит любое число. Если же a не равно 0, то заметим, что если любое число умножить на 0, то будет 0. А значит, ни одно число не подходит
Мем врёт: порядок операций не был определён в 1912, просто кодифицирован в одном из западных учебников.
Сначала попробую рассказать, откуда взялся порядок операций. Вот видео, перескажу его вкратце.
Итак, пересказ видео
Порядок операций по умолчанию — не математическая истина, а договорённость.
Чтобы явно указать этот порядок, используют скобки. Экстремальный вариант — взять в скобки каждую операцию (т.н. полная скобочная запись), но тогда даже очень простое выражение быстро становится нечитаемым.
((2·(x²)) + (3·x)) − 5
Потому хотелось бы уменьшить количество скобок, отсюда порядок операций «если иное не указано».
Но давайте сначала сделаем две ремарки.
В математике плюс и умножение переместительны и сочетательны (коммутативны и ассоциативны, как говорят в вузе) — a+b=b+a, a+(b+c)=(a+b)+c. На компьютере формально нет сочетательности, но глюки значимы очень редко. То есть не важно, в каком порядке суммировать/множить.
Вычитание — это нечто близкое к сложению: a−b = a+(−b). А деление — нечто близкое к умножению: a/b = a·(b⁻¹). Потому то и другое будет иметь одинаковый приоритет.
Из этих ремарок автоматически отпадает одна скобка: (2·(x²)) + (3·x) − 5.
А почему остальные скобки выпали до 2·x² + 3·x − 5 — есть очень много аргументов.
Аргумент точности и гипероператоров
Степень обычно приводит к большим цифрам. Умножение — к меньшим. Сложение — к совсем маленьким. Если нужно очень приближённо вычислить что-то, сначала получают самые большие члены (например, степенны́е), а потом всё ближе и ближе подходят к ответу, умножая и прибавляя, пока точности не будет хватать. И математики это обобщили в гипероператоры.
Гипероператор нулевого порядка — это следующее число x′ = x+1.
Гипероператор первого порядка — это сложение a+b = a″…″ (много штрихов) = a+1+…+1.
Гипероператор второго порядка — это умножение a·b = a+a+…+a.
Гипероператор третьего порядка — это степень aᵇ = a·a·…·a.
А гипероператор четвёртого порядка называется тетрация и приводит к вообще астрономическим числам.
Аргумент анализа размерностей
Считать по формулам обычно нужно потому, что эти числа имеют какое-то отношение к реальности — то есть тащат за собой единицы измерения. И запрещается складывать самолёты с часами, можно только самолёты с самолётами и часы с часами. А множить самолёты на часы не возбраняется, и получаются самолёто-часы — часы авиационной работы.
Анализ размерностей заключается вот в чём: смотрим, в каких единицах каждый член, и всё это должно совпадать. Вот несложная формула из физики: s = vt + at²/2. Считаем: s — метры. vt — (м/с)·с — тоже метры. И так далее.
Мне, Mercury13, приходилось делать несложную мобильную гонку. Да, она несложная, но движок работал на единицах СИ, и подобным анализом я исправлял очень много ошибок.
Аргумент алгебры
Сложение и умножение обладают также распределительностью (дистрибутивностью) — a·(b+c) = a·b + a·c. Порядок «сначала умножение, потом сложение» позволяет легче видеть в выражениях подобные шаблоны.
Аргумент многочленов
Многочлены вроде ax²+bx+c играют большую роль во многих отраслях математики, и хотелось бы их держать без скобок.
…В общем, на Западе всё это объясняют аббревиатурой PEMDAS.
Parentheses — скобки
Exponent — возведение в степень
Multiplication/Division — умножение/деление
Addition/Subtraction — сложение/вычитание
Но откуда тогда взялся мем, если порядок типа-определённый?
А взялся он из одного разночтения и трёх дополнительных факторов. Напоминаю, порядок операций — не математическая истина, а договорённость, призванная уменьшить количество скобок.
Первое и главное. Имеет ли неявное умножение ab (то есть умножение без явно прописанного знака «умножить») приоритет перед делением?
В профессиональной математике — и даже в старших классах — крайне редко делят двоеточием a:b. Чаще используется дробная черта, явно показывающая, что на что делить. В некоторых договорённостях эти знаки неравноценны, но забьём.
На компьютерах математикам приходится вытягивать свои выражения в строчку. Не столько для программирования (там поставят столько скобок, сколько комп требует), сколько для передачи другим математикам через системы общего назначения вроде форумов или электронной почты.
Как видите, есть разночтения, и комп их усилил. Отбивка пробелами также призвана их закрыть: операции, отбитые пробелами, считаются менее приоритетными, чем записанные слитно.
О калькуляторах и зарубежных учебниках будет рассказ в этом видео. В общем, есть калькуляторы, у которых неявное умножение имеет более высокий приоритет, есть те, у которых наравне с остальным. На одни калькуляторы ругались учителя, на другие — профессионалы.
А я попробую рассказать про наши родные источники. В любом случае в наших учебниках разночтений типа a/b(c+d) не будет: вылезут из кожи, но сверстают настоящую дробь. В профессиональной литературе такие места единичны, и пролистав доступные книги, получаю такое.
Бейко ИВ и др. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации. К: 1983. Набор металлический. С.149 первая формула (что-то там)/(γ+1)||g(yᵏ)|| — неявное умножение раньше дробной черты, с учётом ремарок VI на с.147 и (ii) на с.148. Также нашёл на с.324.
Каханер Д и др. Численные методы и программное обеспечение. М: 1998. Набор неизвестной издательской системой (Word?). Вытянутых в строчку формул очень мало, но с. 201 третья строка — 1/√π ∫ в интеграле ошибок явно говорит, что дробная черта раньше неявного умножения. В другом месте на с.328 написали (что-то там)/(2L).
А теперь различные докомпьютерные источники по этому правилу.
Репьёв ВВ. Методика преподавания алгебры в восьмилетней школе. М: 1967. — с.81.
Уже видно, что с этим разногласие даже у методистов.
А теперь разрешите процитировать одного комментатора из-за бугра: «В этом примере смешаны запись из начальной школы и институтская, причём бессмысленно. Те, кто помнит арифметику, ответят 9. Те, кто больше помнят алгебру, вероятнее, ответят 1».
Каково математическое определение такой «привычной» нам операции, как деление? Почему невозможно получить результат деления на ноль? Можно ли разделить ноль сам на себя и что из этого получится? Как невозможность деления на ноль можно объяснить физически?
Рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых, научный руководитель Кавказского математического центра АГУ, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН.
Ролик создан при поддержке Ассоциации волонтёрских центров в рамках Международной премии МЫВМЕСТЕ.
Математика в футболе? Да! Как Россия могла НЕ выйти из группы на ЧМ по футболу 2018, и как это можно доказать математически? Может ли футбольная команда выиграть 2 матча из 3-х и не выйти из группы? А может ли дважды проиграть и всё-таки выйти? И в чём здесь может быть отличие группового этапа чемпионата мира по хоккею от футбольных чемпионатов?
Рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых, научный руководитель Кавказского математического центра АГУ, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН.
Ролик создан при поддержке Ассоциации волонтёрских центров в рамках Международной премии МЫВМЕСТЕ.
В чём заключается загадка Талмуда про раздел наследства? Как она объясняется с точки зрения теории игр? Почему её решение настолько важно для общества, что оно было отмечено Нобелевской премией по экономике 2005 года? В каком сюжете русской классики также можно увидеть теоретико-игровой подход?
Об этом рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых, научный руководитель Кавказского математического центра АГУ, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН.
Ролик создан при поддержке Ассоциации волонтёрских центров в рамках Международной премии МЫВМЕСТЕ.
Как появились комплексные числа, что это такое и как математики пришли к необходимости их изучения? Какое отношение имеют комплексные числа к уравнениям со всеми вещественными корнями? Как они представляются геометрически и какие операции с ними можно производить? Об этом рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых, научный руководитель Кавказского математического центра АГУ, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН.
Ролик создан при поддержке Ассоциации волонтёрских центров в рамках Международной премии МЫВМЕСТЕ.
