Дурацкие графики
2 поста
Vladimir98
Занимаюсь наукой и пишу о ней
Награды:
68К рейтинг
925 подписчиков
59 подписок
156 постов
68 в горячем
Серии постов
Как лгать с помощью статистики — часть 2
Продолжаем разбирать, как можно ввести в заблуждение людей, некорректно используя статистику. Предыдущий пост
Выбор среднего
Часто в новостях и рекламе можно услышать слово «среднестатистический». Но что такое среднее? Существует среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и список можно продолжать! А неподходящий (случайно или осознанно) выбор среднего может существенно исказить результаты
Рассмотрим такой пример. Пусть у нас имеются три человека: бабушка Елена Анатольевна с пенсией 8000, сисадмин Вася с зарплатой 40000 и миллионер Павел Умнов, зарабатывающий в месяц ровно миллион
Если мы попросту вычислим среднее арифметическое, сложив их зарплаты и поделив на 3, то получим, что оно равно 350 тысяч рублей! Осталось обрадовать этой новостью бабушку
На логарифмической шкале эти значения даже не выглядят слишком далёкими друг от друга. Красная линия — среднее арифметическое
Для таких случаев лучше подходит такое среднее, как медиана. Это значение, которое делит все наши данные на две равные части (по количеству). Медианным значением для этого примера была бы зарплата сисадмина Васи — 40000. До неё и после неё находится одинаковое количество людей (по одному). Тогда Васю мы могли бы назвать человеком со среднестатистической зарплатой, всех получающих менее Васи — с небольшим достатком, больше — богатыми
Однако, с помощью медианы можно было бы наоборот скрыть очень выдающиеся (в большую или меньшую сторону) значения
Сложение нескладываемого
Вспомните пятибалльную систему оценивания в школе. Представьте, что семиклассник Данил написал диктант на 5, а его одноклассник Леонардо решил написать его справа налево и получил двойку. Делим 5 на 2 и получаем, что Данил написал диктант в 2,5 раза лучше! Верно?
Неверно. Баллы — это придуманная номинальная переменная, которая выражает цифрами словесные оценки отлично, хорошо и так далее. «Неудовлетворительно» ровно в 2,5 раза хуже, чем «отлично»?
Таким образом, считать средние баллы по оценкам или для каких-нибудь тестов математически не имеет смысла
Предвзятая выборка
По данным интернет-голосования 100% людей пользуются интернетом
Ещё до всякой статистики можно солгать, если неправильно собрать данные. Классический пример — президентская гонка США 1948 года: Дьюи против Трумана. Газета Chicago Tribune сразу после закрытия избирательных участков провела опрос, обзвонив огромное количество людей. А по результатам, предсказывающим оглушительный успех Дьюи выпустила газету с заголовком «ДЬЮИ ПОБЕЖДАЕТ ТРУМАНА». На фото — смеющийся Труман, победитель выборов 1948 года, с этой самой газетой в руках
Что пошло не так? Газета обзвонила достаточное для выборки число избирателей, причём действительно случайных. Неверным был лишь сам подход — телефон в то время не был доступен небогатому населению, основная масса которого и составляла поддержку Трумана
Ещё одним примером являются зарплаты выпускников, обещаемые вузами. В США дело доходило даже до судов — выпускники утверждали, что данные по зарплатам искусственно завышены. Но дело совершенно в другом: просто данными о своём заработке с вузом делятся только люди, довольные им
Ищу зарплату гендиректора по гибкому графику без опыта работы
«Наглядная» визуализация
Есть тысяча и один способ приукрасить данные. Например, наглядно их визуализировать. Это может помочь чтению скучных графиков, а если сделать это с долей хитрости, то и более выгодно их преподнести
Вот график потребления количества пива в США в миллионах баррелей и доли компании Schlitz. Он действительно впечатляет!
Но приведём этот график в более строгий вид: отобразим данные точками и начнём ось y от нуля:
Уже не кажется таким внушительным. При изображении точек графика в виде бочек, люди визуально воспринимают не верхушки бочек, а их объём. А при увеличении стороны бочки в 2 раза объём увеличивается в 8 раз! С таким размахом помогает начинающаяся со 100 ось y
Вот ещё один пример. Замечательная инфографика, которая показывает сколько денег тратится на борьбу с заболеваниями и смертность от них
Идея великолепна. Однако присмотритесь внимательнее к цифрам. Цена при оранжевом круге примерно в 2 раза меньше, чем при розовом. Но розовый круг больше в 4 раза!
Авторы предпочли сделать зависимым от цены радиус круга. Но мы визуально воспринимаем вовсе не радиус, а площадь фигуры! А формула площади круга зависит от радиуса квадратично
Ещё лучше эту инфографику можно сделать, если расположить одинаковые болезни на одной линии. Так выглядит исправленная версия:
Визуализация не только более правдоподобна, но и явно доносит мысль: некоторые болезни не так опасны, сколько денег на них тратится, а борьба с другими финансируется недостаточно
Пример качественной визуализации
На графике размер армии Наполеона. Крайняя правая точка — Москва, откуда начинается отступление, показанное чёрной полосой. К графику отступления также привязан график времени и температуры. Крайне наглядно!
После двух статей на эту тему вот вам задачка: скажите, что не так с этим графиком?
Если интересны посты про науку, заглядывайте в мою группу ВК и канал телеграм
Показать полностью
10
Мария Сибилла Мериан — художник и исследователь
Мария Сибилла Мериан была нетипичной женщиной, особенно для 17 века. Её увлечением с детства было рисование насекомых. Она впервые изобразила многие удивительные вещи — например, превращение гусеницы в бабочку. А её изображение паука-птицееда сначала было названо людьми "чистой выдумкой"!
Акварельный рисунок дерева гуайявы (Psidium guajava), паука-птицееда (Avicularia avicularia), паука-крестовика (Avicularia gen. spec.), паука-волка (Rhoicinus spec.), американского таракана (Periplaneta americana), муравья-листореза (Atta cephalotes), муравья-портного (Oecophylla spec.), колибри (Trochilidae gen. spec.)
Превращение гусеницы в бабочку
Но художницу это не останавливало: бесконечно восхищаясь природой, она подарила миру богатейшую коллекцию его изображений. Некоторых из запечатлённых ею насекомых, исследователи ищут по всему миру и по сей день! Спустя один век её рисунки были использованы Карлом Линнеем для создания классификация царства растений. Это породило биологию такой, какой мы её знаем сегодня
Титульный лист третьей части «Новой книги цветов»
Цветение банана
Кстати, одна из самых больших коллекций акварельных рисунков художницы сегодня хранится в архиве РАН в Санкт-Петербурге
Портрет художницы кисти её зятя
Показать полностью
6
Мифы о Золотом сечении
В одном из постов я рассказывал о том, что такое золотое сечение. Его идея настолько красива, что стала очень популярной ещё сотни лет назад и остаётся такой до сих пор. За это время она обросла мифами, а люди попытались найти заветное золотое соотношение даже там, где его нет
При написании прошлого поста я наткнулся на статью, опровергающую некоторые популярные мифы. Этот пост — её пересказ с небольшими дополнениями. Автор оригинальной статьи — Джордж Марковски, PhD по математике из Гарварда
Миф 1. Термин «Золотое сечение» использовался в античности
Многие считают, что знакомый нам сегодня термин был известен и в Античности, и у Леонардо да Винчи (одним из мифов является также то, что знаменитый художник и изобретатель использовал его в своих работах)
Пятиконечная звезда содержит золотые пропорции. Во славу математике, конечно
Но впервые термин в таком виде (разве что, на немецком) появился в 1835 году в книге Мартина Ома, брата знаменитого физика Георга Ома. На английском языке популярное сегодня название было впервые напечатано в 1875 году в Британской энциклопедии
Проблемы с измерениями
Часто золотое сечение находят в знаменитых памятниках архитектуры — египетские пирамиды, Парфенон. Иногда авторы таких открытий рисуют золотые прямоугольники, игнорируя части объекта, не придерживаются какой-либо стандартной методологии или чистоты критериев. Неудивительно, что так им удаётся обнаружить искомое соотношение. На иллюстрациях можно заметить, что углы, с которых сделано фото и границы прямоугольников сильно отличаются:
Измерения реальных объектов всегда могут быть только приближениями. Но, если допустимая ошибка в измерениях составит ±1%, то ошибка соотношения будет составлять уже ±2%! Для инженеров-строителей рекомендовано придерживаться интервала ±0,2%, но в оригинальной статье автор принимает допустимой ошибку измерения ±1%, то есть интервал [1,58; 1,66] для золотого соотношения φ
Но одно лишь попадание соотношения сторон в этот интервал не значит, что φ запланировано внесено в конструкцию. Это лишь первый тест, означающий, что имеет смысл исследовать ситуацию дальше
Миф 2. Великие пирамиды разработаны так, чтобы соответствовать φ
Многие люди находили φ в Великой пирамиде Хеопса, построенной за 2500 лет до нашей эры. Согласно одному из источников, длины сторон основания пирамиды варьируются от 755,43 футов до 756,08 футов, так что оно не является идеальным квадратом. Средняя длина — 755,79 футов. Высота указана равной 481,4 фута
Некоторые авторы утверждают, что Великая пирамида спроектирована так, что высота наклонной стороны относится к половине длины основания, как φ. По теореме Пифагора находим неизвестную сторону — она равна 612,01 футов
Это отношение действительно отличается от φ всего на 0,1%! Значит, имеет смысл провести более глубокое исследование
Гипотеза о нахождении φ в Пирамиде подтверждается словами древнегреческого историка Геродота. По его словам египетские жрецы сообщили ему, что размеры Великой пирамиды были подобраны так, что площадь квадрата, сторона которого была равна высоте пирамиды, равнялась площади треугольника стороны
Из этого утверждения выводится уравнение, решением которого действительно является φ. Проблема с опорой на утверждения Геродота в массе явных ошибок по отношению к описанию пирамид. Так, он указывает, что высота пирамиды, как и сторона квадрата в основании равнялась 800 футам. Но это не соответствует действительности ни сейчас, ни в прошлом. Также стоит заметить, что Геродот описывал Пирамиду через 2 тысячелетия после того, как она была построена
Так выглядит пирамида сегодня
Таким образом, эта гипотеза имеет мало смысла. Непонятно также, почему Египтяне хотели бы построить пирамиду именно таким образом, и неизвестно, знали ли они число φ — оно почти не встречается в других их строениях
Миф 3. Греки использовали φ в Парфеноне
Парфенон был построен в 5 веке до нашей эры. Многие прикладывают золотой прямоугольник к его фасаду, утверждая, что он идеально подходит. Однако, этих людей почему-то не смущает, что части здания выходят за пределы прямоугольника! Обратите внимание на ступени снизу и выступающие углы сверху:
Измерения Парфенона значительно отличаются у разных авторов, потому что каждый проводит их из разных точек. С таким широким разбросом данных энтузиаст может выбрать, какие удобно ему для получения лучшего результата
Например, одни авторы определяют высоту здания равной 45 футам и 1 дюйму, ширину — 101 футу, длину — 228 футам и 1/8 дюйма. Точки, между которыми проводились измерения не указываются. Но даже при этом отношение ширина/высота = 2,25 = 9/4, и длина/ширина = 2,25 — далеко за пределами допустимого интервала для φ. Можно предположить, что пропорции здания попросту отмерены в соотношении 4:9. Но другой автор приводит высоту, равной 59 футам. Тогда отношение ширины к высоте равно 1,71, что также не совпадает с золотым сечением.
Многие стремятся окутать мистицизмом древние строения, найти в них такие константы, как φ или π. Иногда такие случаи действительно встречаются, но это не значит, что мы можем обобщить их для всех знаменитых памятников. Слишком легко переоценить важность случайных отношений, которые, к тому же, могут быть неверно измерены
********
Оказалось, что пересказывать таким образом статью с английского довольно утомительно, поэтому в этом посте примерно половина. Если людям будет интересно, выйдет вторая часть
Если интересны посты про науку и учёбу, заглядывайте ко мне в группу ВК и канал телеграм
Показать полностью
5
Как связаны кролики и Парфенон?
Люди повсюду используют математику, и даже сама природа ищет математические законы. Это пост о красивой константе, найденной и человеком, и эволюцией
В 12 веке родился Леонардо Пизанский. Он стал первым крупным европейским математиком. Именно он положил начало использованию позиционной системы счисления. Проще говоря, благодаря ему мы пишем числа удобными арабскими цифрами, а не длинными рядами римских. Сравните: MMXVIII и 2018
Вам этот математик может быть известен под именем Фибоначчи. Однажды, он поставил следующую задачу:
Некто приобрел пару новорождённых кроликов и поместил их в огороженный со всех сторон загон. Сколько пар кроликов будет через год, если считать, что каждый месяц пара дает в качестве приплода новую пару кроликов, которые со второго месяца жизни также начинают приносить приплод?
Попытаемся решить её! Так выглядят наши кролики в первый месяц — маленькие мальчик и девочка
Во второй месяц кролики подрастают
В третий рождается ещё одна пара — также мальчик и девочка. Из-за того, что тут происходит, назовём это семейство Таргариенами
В четвёртый месяц наши первоначальные кролики рождают ещё одну пару, а малыши Дейенерис и Визерис подрастают
Итак, сколько же пар кроликов будет через 12 месяцев? Допустим, что кролики живут в идеальных условиях — не стареют, не погибают и не свергаются другой династией
Взрослых кроликов будет столько же, сколько всего кроликов было на предыдущем шаге: так как взрослые останутся, а малыши подрастут. Запишем это:
взрослые[n] = кролики[n-1]
Детей же в новом месяцу будет столько же, сколько было взрослых в прошлом. А их, как говорит формула выше, — столько же, сколько кроликов всего в позапрошлом!
дети[n] = взрослые[n-1] = кролики[n-2]
Получаем итоговую формулу: кроликов в этом месяце будет столько, сколько их было вместе в предыдущие 2 месяца:
кролики[n] = кролики[n-1] + кролики[n-2]
То есть, нашу последовательность можно продлить на сколько угодно месяцев вперёд! Получим 1 1 2 3 5 8 13 21… Это называется последовательностью Фибоначчи. Сможете ли вы теперь дать ответ на задачу?
Красота последовательности
Оказалось, что этот ряд чисел, найденный при помощи такой абстрактной задачи, обладает очень интересными свойствами! Несмотря на то, что кролики в реальной жизни ведут себя не так, эта последовательность присутствует в природе повсюду
Стороны прямоугольника — это числа Фибоначчи
Вот одно из её свойств. Отношение соседних чисел в ней назвали золотым соотношением. Соседние числа относятся друг к другу одинаково (чем дальше, тем точнее это приближается к одному числу, равному 1,618).
Считается, что «золотые пропорции» лучше и приятнее воспринимаются человеком. Парфенон строился с множеством архитектурных ухищрений так, чтобы выглядеть наиболее приятно. Одним из таких приёмов считается золотое сечение:
Но самые прекрасные примеры золотого соотношения можно найти в природе. Например, раковины моллюков:
Такая форма наиболее выгодна и выработалась эволюционно. Разберём, почему это так и ещё одно свойство золотого отношения на моём любимом примере
Растения
Представьте себя растением. Надеюсь, вам в голову пришёл могучий дуб, но для этого примера лучше представить цветок или, скажем, спиральный алоэ
Предположим, вам только предстоит вырастить листья. Будучи очень умным алоэ, вы хотите расположить их максимально эффективно. Единственный параметр, который вам доступен — это угол, на который можно повернуть следующий лист
Разберём на примере. Первый лист можно расположить, где угодно
Предположим, выбран угол поворота 180 градусов. Или, более просто — половина окружности, ½. Тогда второй лист будет напротив. Третий — на месте первого и так далее
Если вы хотите быть конкурентоспособным растением, а не обнимашек, то кажется, это не самый эффективный способ. Может быть попробовать 1/3 окружности?
Тогда будет 3 «пика» и возможность вдохновить братьев Райт.
Но похоже, что число пиков равно знаменателю дроби! Растение, знакомое с математикой, могло бы сказать, что тогда выгоднее всего использовать иррациональное число — которое нельзя представить в виде дроби. Таким числом и является золотое соотношение φ! А самым выгодным оказывается угол поворота 1/φ. Так будет выглядеть распределение листов, использующее золотое соотношение:
А так выглядит реальное растение!
Можно поиграть с симуляцией самостоятельно
Если нравятся посты о науке и учёбе, заглядывайте ко мне в ВК и телеграм
Показать полностью
15
Зачем нужна математика?
Многие в школе задавали этот вопрос. Мне пришло в голову, что в 21 веке он не имеет смысла. Вы читаете этот текст, благодаря математике, зашитой в программы ваших устройств. Вы можете отправить сообщение человеку в любой точке планеты и только он сможет его прочитать, потому что данные защищены математическими алгоритмами. Ваш телефон или компьютер работают благодаря электричеству, а сила тока и напряжение в розетках точно рассчитаны. Здание, в котором вы сейчас находитесь, построено прежде всего на бумаге — для того, чтобы воздвигнуть дом, нужна математика!
И так я понял, что этот вопрос не имеет смысла не только в 21 веке. Люди сотни лет возводят дома и гораздо более сложные строения, для которых необходима математика. Люди строили корабли и путь для них, основываясь на расчётах природных сил и движения звёзд. Для того, чтобы произвести самое эффективное оружие, а затем снабдить им армию требовался сперва не кузнец, но математик!
Можно прожить и без знания математики, но это язык, на котором говорит наша вселенная. А смотреть на мир, понимая, как он устроен, гораздо интереснее
Любовь, доказанная математически
Как вам такие ботанские милости? с:
Знаю, что глупо, но, надеюсь, что хотя бы мило :D
В жизни выглядит вот так:
Моя группа ВК и телеграм-канал
Показать полностью
2
Какой реальный математический смысл имеет эта физическая абстракция?
Этот вопрос задал студент мехмата МГУ на семинаре знаменитого советского математика Гельфанда. Это забавно, потому что обычно задаётся совершенно противоположный вопрос. Но для математика мир чисел оказался куда реальнее "абстрактного" физического мира
