224

Как связаны кролики и Парфенон?

Люди повсюду используют математику, и даже сама природа ищет математические законы. Это пост о красивой константе, найденной и человеком, и эволюцией

В 12 веке родился Леонардо Пизанский. Он стал первым крупным европейским математиком. Именно он положил начало использованию позиционной системы счисления. Проще говоря, благодаря ему мы пишем числа удобными арабскими цифрами, а не длинными рядами римских. Сравните: MMXVIII и 2018

Как связаны кролики и Парфенон? Наука, Математика, Научпоп, Фибоначчи, Золотое сечение, Человек наук, Биология, Гифка, Длиннопост

Вам этот математик может быть известен под именем Фибоначчи. Однажды, он поставил следующую задачу:

Некто приобрел пару новорождённых кроликов и поместил их в огороженный со всех сторон загон. Сколько пар кроликов будет через год, если считать, что каждый месяц пара дает в качестве приплода новую пару кроликов, которые со второго месяца жизни также начинают приносить приплод?

Попытаемся решить её! Так выглядят наши кролики в первый месяц — маленькие мальчик и девочка

Как связаны кролики и Парфенон? Наука, Математика, Научпоп, Фибоначчи, Золотое сечение, Человек наук, Биология, Гифка, Длиннопост

Во второй месяц кролики подрастают

Как связаны кролики и Парфенон? Наука, Математика, Научпоп, Фибоначчи, Золотое сечение, Человек наук, Биология, Гифка, Длиннопост

В третий рождается ещё одна пара — также мальчик и девочка. Из-за того, что тут происходит, назовём это семейство Таргариенами

Как связаны кролики и Парфенон? Наука, Математика, Научпоп, Фибоначчи, Золотое сечение, Человек наук, Биология, Гифка, Длиннопост

В четвёртый месяц наши первоначальные кролики рождают ещё одну пару, а малыши Дейенерис и Визерис подрастают

Как связаны кролики и Парфенон? Наука, Математика, Научпоп, Фибоначчи, Золотое сечение, Человек наук, Биология, Гифка, Длиннопост

Итак, сколько же пар кроликов будет через 12 месяцев? Допустим, что кролики живут в идеальных условиях — не стареют, не погибают и не свергаются другой династией

Взрослых кроликов будет столько же, сколько всего кроликов было на предыдущем шаге: так как взрослые останутся, а малыши подрастут. Запишем это:

взрослые[n] = кролики[n-1]

Детей же в новом месяцу будет столько же, сколько было взрослых в прошлом. А их, как говорит формула выше, — столько же, сколько кроликов всего в позапрошлом!

дети[n] = взрослые[n-1] = кролики[n-2]

Получаем итоговую формулу: кроликов в этом месяце будет столько, сколько их было вместе в предыдущие 2 месяца:

кролики[n] = кролики[n-1] + кролики[n-2]

То есть, нашу последовательность можно продлить на сколько угодно месяцев вперёд! Получим 1 1 2 3 5 8 13 21… Это называется последовательностью Фибоначчи. Сможете ли вы теперь дать ответ на задачу?

Красота последовательности


Оказалось, что этот ряд чисел, найденный при помощи такой абстрактной задачи, обладает очень интересными свойствами! Несмотря на то, что кролики в реальной жизни ведут себя не так, эта последовательность присутствует в природе повсюду

Как связаны кролики и Парфенон? Наука, Математика, Научпоп, Фибоначчи, Золотое сечение, Человек наук, Биология, Гифка, Длиннопост

Стороны прямоугольника — это числа Фибоначчи

Вот одно из её свойств. Отношение соседних чисел в ней назвали золотым соотношением. Соседние числа относятся друг к другу одинаково (чем дальше, тем точнее это приближается к одному числу, равному 1,618).

Считается, что «золотые пропорции» лучше и приятнее воспринимаются человеком. Парфенон строился с множеством архитектурных ухищрений так, чтобы выглядеть наиболее приятно. Одним из таких приёмов считается золотое сечение:

Как связаны кролики и Парфенон? Наука, Математика, Научпоп, Фибоначчи, Золотое сечение, Человек наук, Биология, Гифка, Длиннопост

Но самые прекрасные примеры золотого соотношения можно найти в природе. Например, раковины моллюков:

Как связаны кролики и Парфенон? Наука, Математика, Научпоп, Фибоначчи, Золотое сечение, Человек наук, Биология, Гифка, Длиннопост

Такая форма наиболее выгодна и выработалась эволюционно. Разберём, почему это так и ещё одно свойство золотого отношения на моём любимом примере

Растения

Представьте себя растением. Надеюсь, вам в голову пришёл могучий дуб, но для этого примера лучше представить цветок или, скажем, спиральный алоэ

Как связаны кролики и Парфенон? Наука, Математика, Научпоп, Фибоначчи, Золотое сечение, Человек наук, Биология, Гифка, Длиннопост

Предположим, вам только предстоит вырастить листья. Будучи очень умным алоэ, вы хотите расположить их максимально эффективно. Единственный параметр, который вам доступен — это угол, на который можно повернуть следующий лист

Разберём на примере. Первый лист можно расположить, где угодно

Как связаны кролики и Парфенон? Наука, Математика, Научпоп, Фибоначчи, Золотое сечение, Человек наук, Биология, Гифка, Длиннопост

Предположим, выбран угол поворота 180 градусов. Или, более просто — половина окружности, ½. Тогда второй лист будет напротив. Третий — на месте первого и так далее

Как связаны кролики и Парфенон? Наука, Математика, Научпоп, Фибоначчи, Золотое сечение, Человек наук, Биология, Гифка, Длиннопост
Как связаны кролики и Парфенон? Наука, Математика, Научпоп, Фибоначчи, Золотое сечение, Человек наук, Биология, Гифка, Длиннопост
Как связаны кролики и Парфенон? Наука, Математика, Научпоп, Фибоначчи, Золотое сечение, Человек наук, Биология, Гифка, Длиннопост

Если вы хотите быть конкурентоспособным растением, а не обнимашек, то кажется, это не самый эффективный способ. Может быть попробовать 1/3 окружности?

Как связаны кролики и Парфенон? Наука, Математика, Научпоп, Фибоначчи, Золотое сечение, Человек наук, Биология, Гифка, Длиннопост

Тогда будет 3 «пика» и возможность вдохновить братьев Райт.

Но похоже, что число пиков равно знаменателю дроби! Растение, знакомое с математикой, могло бы сказать, что тогда выгоднее всего использовать иррациональное число — которое нельзя представить в виде дроби. Таким числом и является золотое соотношение φ! А самым выгодным оказывается угол поворота 1/φ. Так будет выглядеть распределение листов, использующее золотое соотношение:

Как связаны кролики и Парфенон? Наука, Математика, Научпоп, Фибоначчи, Золотое сечение, Человек наук, Биология, Гифка, Длиннопост

А так выглядит реальное растение!

Как связаны кролики и Парфенон? Наука, Математика, Научпоп, Фибоначчи, Золотое сечение, Человек наук, Биология, Гифка, Длиннопост

Можно поиграть с симуляцией самостоятельно

Если нравятся посты о науке и учёбе, заглядывайте ко мне в ВК и телеграм

Найдены дубликаты

+32

А ещё маленьких кроликов жестоко растянула мобильная версия сайта. По её версии кролики рождаются заблюренными и с течением жизни набираются чёткости

Иллюстрация к комментарию
+14

А знаете, что самое прекрасное? Придумать название и структуру поста, а затем найти статью, в которой ставится под сомнение, что в Парфеноне используется золотое сечение. Это не то, что хочется найти в 2 часа ночи :D

Ссылка для интересующихся, мифы о золотом сечении: http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/maa/markowsky.p...

Если нужно, могу сделать перевод :)

раскрыть ветку 6
+2

Ещё недавно вышло занимательное видео от Numberphile где очень наглядно показано, что любая последовательность из n=(n-1) + (n-2) идёт к золотому сечению. Последовательность Фибоначчи лишь часный случай. Начать можно с любых двух чисел, только продолжать нужно долго :)

Спасибо за пост.

раскрыть ветку 3
+1

Вот видео о растениях https://www.youtube.com/watch?v=sj8Sg8qnjOg

0

Числа Люка

0

И у них же есть более подробное видео о примере с цветами :) Доберусь до компьютера — дам ссылку

+2

Конечно делай

раскрыть ветку 1
+7

Осторожнее этот пост может вас чему то научить!!!!!!! Будте бдительны!!!!!

+3
Круто, но только там было что-то про то, что золотое соотношение стремится к какой-то конечной десятчной дроби, что неверно. Он стремится к х=(sqrt(5) + 1)/2
раскрыть ветку 1
+3

Верно, я очень грубо округлил. Спасибо за дополнение!

+1
🤣🤣🤣
Иллюстрация к комментарию
0
Еще круто что 1/1.618=0.618
0

Очень понятная и интересная статья. И все бы хорошо, но тот момент, когда со мной заговорило растение...

0
А почему выгоднее всего использовать иррациональное число?
раскрыть ветку 3
0

Так распределение листьев получается более хаотичным, без пиков, которым соответствует знаменатель дроби — ведь дробью это число выразить невозможно. Что забавно, число Пи не так выгодно — оно «не очень иррационально», потому что имеет очень хорошее приближение в виде дроби 22/7. И на картине с его использованием наблюдается 7 пиков :)

раскрыть ветку 2
0

может 22 пика?

раскрыть ветку 1
0

Все круто, вот только откуда растение знает про дроби? Шах и мат! ))

Это шутка если что, статья крутая)

0

Вспомнилось решение задачи о кроликах от Модеста

https://www.youtube.com/watch?v=HUzNeSDeAlY

Похожие посты
Возможно, вас заинтересуют другие посты по тегам: