Учит ли Физтех делить на ноль и пересечению параллельных?
В ответ на задолбавший уже вопрос «Почему нельзя делить на ноль» @cSharpminor пишет:
В матане можно и нужно. И параллельные прямые пересекаются в геометрии Лобачевского. Просто на уровне среднего образования это бессмысленно объяснять
Предмет, в рамках которого в физтехе нам объясняли принцип и применение деления на ноль, назывался математический анализ.
Надеюсь, он клевещет на МФТИ. Вероятно, его отчислили после первой сессии за неуспеваемость по матану и за невежество в вопросах школьной программы, парень даже не успел привыкнуть к выражению "на Физтехе" и пишет "в физтехе".
Не мог Физтех так низко пасть. Комментатор просто не понял и не запомнил, чему его учили.
Параллельные прямые не пересекаются ни в какой геометрии по определению. Причем в геометрии Евклида для данной прямой есть одна параллельная, проходящая через заданную точку вне ее. В геометрии Лобачевского таких параллельных бесконечное (континуальное) множество, иногда параллельными называют только две из них - крайние. Наконец, в геометриях типа сферической параллельных нет вовсе.
Н. И. Лобачевский, Геометрические исследования по теории параллельных линий. В геометрии Лобачевского для любой прямой BC и точки A вне неё есть целый класс проходящих через A и не пересекающих BC прямых, две из которых Лобачевский назвал параллельными.
Нет параллельных и в проективной геометрии, про которую иногда говорят, что в ней параллельные пересекаются в бесконечно удаленной точке: в нестрогом смысле так и есть, но бесконечная точка для того и введена, чтобы можно было работать как бы в Евклидовой геометрии, но объявив, что параллельных прямых в ней нет.
В быту можно говорить, что параллельные прямые пересекаются в проективной геометрии, но формально это неверно, там все прямые объявлены непараллельными. В геометрии же Лобачевского параллельные прямые есть и они не пересекаются - по определению.
Это студент Физтеха должен был узнать еще из школы. В обычных школах неевклидовы геометрии не проходят (хотя в учебнике Атанасяна в конце про них немного говорится), но определение параллельных даётся в любом учебнике, и из него понятно, что параллельные не могут пересекаться ни в какой геометрии, если не придумать для слова "параллельный" какое-то нестандартное определение.
Атанасян, Бутузов, Геометрия 7-9 классов.
Атанасян, Бутузов, Геометрия 7-9 классов. Приложение 2.
Погорелов, Геометрия 7-9 классов.
Перейдем к навету на Физтех, будто там на матанализе учат делить на ноль.
На ноль в математическом анализе не делят.
Изучают сходимость отношения двух функций или последовательностей, вторая из которых бесконечно малая. И получают ответ: если первая не бесконечно малая, то оно (отношение) - бесконечно большое, в противном случае общего правила нет и можно раскрыть неопределенность, например, методом Лопиталя. На ноль при этом никто не делит.
В обычных школах этому не учат: пропустив тему пределов, сразу переходят к производным. Но если бы @cSharpminor успешно закончил первый семестр на Физтехе, его бы этому научили. Вот скан из физтеховского учебника по матану:
Кудрявцев, Курс математического анализа, т. 1.
Можно ли делить на ноль где-то еще, не в математическом анализе? В принципе можно, рассматриваются алгебраические структуры, для которых это допустимо. Так как такие структуры не обладают полезными свойствами (они не поля, не кольца, даже не полуполя), их редко изучают в вузах.
Предвижу типичные комментарии и сразу на них отвечу.
"В матанализе делят не на ноль, а на бесконечно малое число" - нет, в традиционном матанализе нет понятия бесконечно малого числа. Единственное число, которое так можно было бы назвать, это ноль. И в матанализе не учат делить ни на какое число. Вы путаете деление на число с нахождением предела отношения двух функций, одна из которых стремится к числу.
"В матанализе делят не на ноль, а на число, стремящееся к нулю" - число никуда не стремится, стремятся функции и последовательности.
"Делить можно, получается бесконечно большое число" - бесконечно большого числа не существует, кроме как в некоторых экзотических расширениях. Причем в том расширении, которое используется чаще - аффинном - на ноль все равно делить нельзя, потому что непонятно, какое из двух бесконечных чисел взять. В обычных же определениях, как и в быту, числа "бесконечность" нет. В матане его тоже нет: значок ∞ используется как сокращенная запись того, что функция или последовательность неограниченно возрастает.
"Параллельные прямые пересекаются в бесконечности" - не совсем, см. объяснение выше. Это евклидовы параллельные прямые, не пересекаясь в евклидовом пространстве, могут считаться условно пересекающимися на некой бесконечно удаленной прямой. Польза от такого определения только в том, что пропадает понятие параллельности, а евклидовы аксиомы меняются так, что допускается двойственность: можно назвать точки прямыми, а прямым точками, и все старые утверждения останутся верными.